1.3. Твердые растворы

Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.

Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , ,  или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения _к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.

имеем У=АХ (2)

(2) позволяет поставить в соответствие каждому опретору произведение матрицы на координатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)

А= Укажем достаточное условие приводимости оператора к диагональному виду. Теорема 2. Если линейный оператор A в Rⁿ имеет  n  различных собственных значений, то собственные векторы, отвечающие им, образуют базис в Rⁿ, а матрица оператора в этом базисе диагональная. Доказательство для n=2 . Пусть  - собственные значения, а   -собственные векторы оператора A в R² . Покажем, что эти векторы линейны независимы. Пусть       и   

Отсюда            Значит,  . Аналогично,  . Теорема доказана.

ост. Только действительные числа. В случае камп-ого линейного пространства берем все Числа являются собственными значениями оператораf(A). Для каждого собственного значения , ему соответствующие. Для этого решаем СЛАУ: (А- J)X=0 (1) В общем случае она может иметь бесконечно много решений

Замечание: Пусть имеем многочлен P(λ). Под кратностью к корня уравнения P(λ)=0 понимают кол-во раз сколько он встречается в наборе тех корней многочлена P(λ).

Если корень мн-ва P(λ) кратности к, то P(λ)=0 Р(к)=0 (λк)=0

Кроме того P(λ) пред. В виде P(λ)= φλ, где φλ – многочлен степени degP( -λ)

Построим вектор Х ,с использ. координат его можно записать: Х=Еα-Е′α′

Это равенство в силу А перепишем в виде Еα=ЕАα′=>Е(α-Аα)′, отсюда α=Аα′(3) Формула (3) выражает зависимость между координатами вектора Х в базисе Е и Е′, т.е. зная координаты базиса Е в Е′ по формуле(3) можно найти координаты вектора, верно и обратное, т.к. из (3) следует:

Α=

.

(e₁, e₂) = 0      (f₂, e₁) + α (e₁, e₁) = 0. Отсюда α = −(f₂, e₁) (e₁, e₁) Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e₁, e₂,  … , e_{k − 1} . Тогда вектор e_k ищем в виде e_k = f_k + α₁ e₁ + α₂ e₂ + … + α_{k − 1} e_{k − 1}. (1) Из условий ортогональности вектора e_k и векторов e₁, e₂,  … , e_{k – 1} (f_k + α₁ e₁ + α₂ e₂ + … + α_{k − 1} e_{k − 1}, e₁) = 0, (f_k + α₁ e₁ + α₂ e₂ + … + α_{k − 1} e_{k − 1}, e₂) = 0, … … … … … … … … … … … … …  , (f_k + α₁ e₁ + α₂ e₂ + … + α_{k − 1} e_{k − 1}, e_{k − 1}) = 0

получаем (f_k, e₁) + α₁ (e₁, e₁) = 0, (f_k, e₂) + α₂ (e₂, e₂) = 0, … … … … … … …  , (f_k, e_{k − 1}) + α_{k − 1} (e_{k − 1}, e_{k − 1}) = 0

Отсюда α₁ = −(f_k, e₁) (e₁, e₁) ,  α₂ = −(f_k, e₂) (e₂, e₂) ,   … ,   α_{k − 1} = −(f_k, e_{k − 1}) (e_{k − 1}, e_{k − 1})