Математика для инженеров(теория)I том

Они выражают декартовы координаты (x; y; z) точки М через ее цилиндрические координаты (ρ; ϕ; z) .

§3. Векторы

Вматематике и ее приложениях различают величины скалярные и векторные. Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа и на- зываются скалярными. Это, например, площадь, объем, температура тела, масса, работа и т.д. Вместе с тем есть и такие величины, которые определяются не только числом, но и направлением. Например, изучая действие какой-либо силы, нужно указать не только ее значение, но и направ- ление действия этой силы. Такие величины называют вектор-

ными, и для их описания введем понятие вектора.

10 . Понятие вектора. По аналогии со школьным кур-

сом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.10 ) на плоскости или в пространстве.

Связанным вектором AB с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок АВ, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора на-

зывают еще точкой его приложения.

Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, a . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).

Если для направленного отрезка АВ фиксируютс я только длина и направление (при произвольности его по- ложения на плоскости и в пространстве), то он

85

Векторы a и b называются коллинеарными (парал- лельными), если они лежат на одной прямой или на парал-

лельных прямых, при этом пишут a || b .

Векторы AB и CD называются одинаково направлен- ными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены,

и противоположно направленными, если эти полупрямые п р о т и в о п о л о ж н о н а п р а в л е н ы .

Отметим, что коллинеарные векторы могут быть на- правлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или про- тивоположно направлены (см. рис. 2а)).

ить единственный вектор OM с началом в точке О, рав- ный вектору a , или, как говорят, отнести начало вектора a к точке О (см. рис. 3). Такие векторы в аналитической геометрии называют свободными: их можно отнести к общему началу.

Введем еще два понятия, используемые в векторной алгебре. Векторы a, b, c называют компланарными, если суще-

ствует плоскость, которой они все параллельны. Отметим, что нуле- вой вектор коллинеарен любому вектору, и поэтому компланарен с лю- быми двумя векторами.

Пусть в пространстве (или на плоскости) заданы два ненулевых вектора a и b . Отложим их от одной точки О: a = OM , b = ON . В плоскости, проходящей через точки О, M, N, определены два угла между лучами ОМ и ОN, которые

86

ортогонален всякому вектору по определению.

Рис. 3

20. Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось u

и некоторый вектор AB . Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные данной оси u и обозначим через A1 и

B1 точки пересечения этих плоскостей с осью u (рис.4). В общем

случае векторы расположены на скрещивающихся прямых. Для на- глядности изображений далее, как правило, будут рассматри- в а т ь с я р и с у н к и н а п л о с к о с т и .

Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)

87

Покажем, что имеет место равенство

§ 4. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

10. Координаты вектора. Пусть в пространстве задана декартова

88

Доказательство. Проведем через точки А и В плос- кости, перпендикулярные оси O y , и обозначим точки их

Oxy , то в формулах (1) отсутствует координата Z, то есть

третье равенство.

20 . Длина вектора. Рассмотрим произвольный вектор a = OA = (X ;Y;Z), считая, что его начало совпадает с нача- лом координат O . Пусть вектор a не лежит ни в одной координатной

Известно, что квадрат дли- Рис. 2 ны диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измере-

ний, т.е.

89

Формула (2) выражает длину вектора через его коор- динаты и справедлива и в том случае, если вектор a будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (2) одна из координат будет равна нулю).

Пример 1. Даны две точки A(x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2 ). Найти расстояние между ними.

Решение. Определим расстояние между точками А и В, как длину вектора AB = (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1) :

30. Направляющие косинусы вектора. Обозначим через α, β ,γ

углы между вектором a и осями координат (рис.2). Из формул (3.1) и (2) получаем:

вектора a .

Возводя в квадрат каждое из равенств (4) и складывая полученные результаты, получим

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любо- го вектора равна единице.

§ 5. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора a и b . Суммой a + b называется вектор, который имеет началом начало вектора a и концом – ко-

нец вектора b при условии, что начало вектора b совпа-

90

дает с концом вектора a (или диагональ параллелограмма,

п о с т р о е н н о г о н а в е к т о р а х a и b ) . Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов

a и b можно найти по правилу треугольника (рис. 1а)) или параллелограмма (рис. 1б)).

Рис. 1а) Рис. 1б)

По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности,

пусть заданы три вектора a,b и c . Сложив a и b , полу- чим вектор a + b. Прибавив к нему вектор c , получим век- тор a + b + c.

Разностью b - a векторов b и a называется вектор c , который в сумме с вектором a дает вектор b .

Пусть даны вектор a ¹ 0 и число α ¹ 0. Произведением α a называют вектор, который коллинеарен вектору a , имеет длину, равную α a , и направление такое же, как и вектор a , если α > 0 , и противоположное, если α < 0 (рис. 2). Если среди сомно- жителей a, α есть 0, то под произведением α a понимается

Упражнение 1. Доказать сформулированное утвер- ждение 1.

Основные свойства линейных операций.

91

1)a + b = b + a (коммутативность сложения),

2)(a + b ) + c = a + (b + c ) (ассоциативность сложения),

3)α(β a) = (αβ )a, α,β (ассоциативность умножения на

тельно суммы векторов).

Доказательство. Свойства 1) и 2) вытекают из определения суммы

произвольных векторов a,b ,c с использованием рис. 1а) или 1б). Для доказательства свойства 3) заметим, что векторы α(β a) и

(α β )a имеют одинаковую длину, так как

α(β a) = α β a = α β a , (α β )a = α β a = α β a .

Они также одинаково направлены, поскольку их направление по отношению к направлению вектора a определяется знаком одного

и того же числа α β .

Для доказательства свойства 4) допустим, что ненулевые числа α и β одного знака. Тогда

α a + β a = α a + β a = α a + β a = = (α + β ) a = α + β a = (α + β ) a ,

а значит, векторы в правой и левой частях равенства 4) имеют одина- ковую длину, и, кроме того, они одинаково направлены.

Пусть теперь α β < 0 и, для определенности, β > α . Отсюда

92