Математика для инженеров(теория)I том

20 . Упрощение уравнений поверхностей второго порядка. Напомним, что уравнение поверхности второго

ч и с л а и х о т я б ы о д и н и з к о э ф ф и ц и е н т о в

тогда уравнение (25) примет вид

213

Поверхность второго порядка называется централь-

ной, если det A ¹ 0 , и нецентральной, если det A = 0 .

С помощью ортогонального преобразования приведем квадратичную форму (26) к каноническому виду Q1 (x¢, y¢,z¢) = λ1 (x¢)2 + λ2 ( y¢)2 + λ3 (z¢)2 , г д е λ1,λ2 ,λ3 − к о р н и х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я

1. Все числа λ1,λ2 ,λ3 одного знака. Тогда уравнение

(30)

в зависимости от λ1 и d1 (λ1d1 > 0, λ1d1 < 0,d1 = 0) можно при-

вести к одному из следующих видов:

(32) не удовлетворяют координаты ни одной точки про- странства (определяет мнимый эллипсоид), уравнению

214

2. Знак одного из этих чисел противоположен знаку двух других (предположим, что λ1λ2 > 0 ). Тогда уравнение

(30) в зависимости от λ1 и d1 (λ1d1 > 0, λ1d1 < 0,d1 = 0) можно привести к одному из канонических видов:

Уравнения (34), (35), (36) определяют соответственно однополост- ный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и конус второго порядка.

денности квадратичной формы (26), одно или два из чисел

ся к одному из следующих канонических видов:

215

Уравнение (41) определяет эллиптический цилиндр, уравнению (42) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства (мнимый эллиптический цилиндр), уравнения (43) и (44) определяют гиперболический ци- линдр, уравнение (45) определяет пару пересекающихся плоскостей.

водится к одному из канонических видов:

216

ни одна точка пространства (пара мнимых параллельных плоскостей).

Пример 2. Каков геометрический смысл уравнения x2 + y2 + z2 − yz − xz − xy = 0 ?

Решение. Умножим данное уравнение на 2: 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2yz − 2xz − 2xy = 0

или

(x − y)2 + ( y − z)2 + (x − z)2 = 0 .

Этому уравнению удовлетворяют координаты только тех точек, для которых выполняются равенства

x = y, y = z, x = z .

(x − 2)2 − ( y − 4)2 = 2(z − 6) .

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало точку O1′(2; 4; 6) . Тогда

x = x′ + 2, y = y′ + 4, z = z′ + 6 . Получим уравнение (x′)2 − ( y′)2 = 2z′ ,

определяющее гиперболический параболоид. □ Пример 4. Привести к каноническому виду уравне-

ние

Решение. Используя пример 11.1, применим к урав- нению (51) ортогональное преобразование

217

Итак, каноническое уравнение имеет вид (54) и пред- ставляет собой однополостный гиперболоид. □

Задания для самостоятельной работы

2. Найти все базисы системы векторов:

218

3e1, e1 - e 2 , e 3 - e 2 также образуют базис.

4. Определить ранг системы векторов:

a1 = (2; -1; 3; - 2; 4), a 2 = (-4; - 2; 5;1; 7), a3 = (2; -1;1; 5; 2) .

6. Найти векторы, дополняющие следующие системы до ортонормированных базисов:

7. Установить, какие из данных векторов x1, x 2 , x3 являются собст- венными векторами матрицы А, и найти их собственные значения,

8. Найти характеристический многочлен и спектр матрицы

9. Найти собственные числа и собственные векторы мат- рицы А (ограничиться только вещественными собствен- ными числами):

219

10. Привести к диагональному виду следующие матрицы:

агональному виду.

12. Записать матрицу каждой из квадратичных форм:

13. Записать квадратичную форму по данной матрице А:

14.Найти ранг квадратичной формы Q(x1, x2 , ..., xn ) :

а) Q(x1, x2 ) = x12 - 3x1 x2 + 2 x22 ;

б) Q(x1, x2 , x3 ) = x12 - 3 x22 + 4 x32 - 8x1 x2 +12 x1 x3 .

15.Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму Q(x1, x2 , ..., xn ) , и за-

писать соответствующий канонический вид квадратичной формы:

а) Q(x1, x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 ;

б) Q(x1, x2 , x3 ) = x12 + 5 x22 - 4 x32 + 2x1 x2 - 4 x1 x3 .

16.Выяснить какие поверхности определяются следующими уравнениями:

a)x2 + 2y2 + 2z2 - 4y + 4z + 4 = 0;

б) x2 + y2 - z2 - 2x - 2y + 2z + 2 = 0;

220

в) 5x2 − z2 −18x −18y − 6z + 4 = 0;

г) 3x2 + 3y2 −12x +12y − 2z + 4 = 0.

17.Привести к каноническому виду уравнения:

а) 4x2 + 9y2 + 36z2 − 8x −18y − 72z +13 = 0; б) 2x2 + 7 y2 + zy − 3x + 2 = 0;

в) x2 + z2 − 5xy + 3z − 2y + 3 = 0.

18.Каков геометрический смысл уравнения

x2 + 4y2 + 9z2 +12yz + 6xz + 4xy − 4x − 8y −12z + 3 = 0 ?

221

ГЛАВА 5

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 1. Числовые последовательности

10. Числовая последовательность. Способы задания. Пусть –

множество натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число xn , то говорят, что опре-

делена числовая последовательность x1, x2 ,..., xn ,... . Числа xn ,n Î ,

называют элементами или членами последовательности. Числовую последовательность (в дальнейшем – последовательность) будем еще

записывать в виде { xn} , а выражение xn называть общим членом

последовательности, n – номером члена.

Последовательности встречались в курсе средней школы.

ваются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей { xn } и { yn } (для частного yn ¹ 0 , n ).

Простым способом задания последовательности является аналити- ческий способ, т.е. задание с помощью формулы n-го члена:

Формула (1) позволяет определить любой член последователь- ности по номеру n.

Так, равенства

vn = n2 +1, zn = (-1)n × n, un = nn-1, yn = 1n , nÎ

задают соответственно последовательности