Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 6032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Следовательно, в точке x1 = -3 рассматриваемая функция имеет локальный максимум: y(−3) = 28 , а в точке x2 =1 – локальный мини-

мум: y(1) = −4 . □

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть точка x0 есть стационарная точка функции f (x) , в которой суще-

ствует производная f ′′(x0 ) . Тогда, если f ′′(x0 ) < 0 ( f ′′(x0 ) > 0) , то точка x0 является точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x) .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора для функции f (x)

в точке x0 с остаточным членом в форме Пеано (n = 2) :
f (x) = f (x0 ) + f ¢(x0 )(x - x0 ) +				1	f ¢¢(x0 )(x - x0 )2 + o((x - x0 )2 ) .
f (x) = f (x0 ) + f ¢(x0 )(x - x0 ) +					f ¢¢(x0 )(x - x0 )2 + o((x - x0 )2 ) .
			2			f ′(x0 ) = 0, то
Так как x0 – стационарная точка, т.е.						f ′(x0 ) = 0, то
f (x) - f (x0 ) =		1	f ¢¢(x0 )(x - x0 )2 + o((x - x0 )2 ) .
f (x) - f (x0 ) =			f ¢¢(x0 )(x - x0 )2 + o((x - x0 )2 ) .
	2
Остаточный	член		можно			представить	в	виде

o((x - x )2 ) = α(x)(x - x )2 , где α(x) – бесконечно малая функция при
0	0
x ® x0 .
	æ	1		ö
Тогда	f (x) - f (x0 ) = ç		f	¢¢(x0 ) +α(x)÷(x - x0 )2 .
Тогда	f (x) - f (x0 ) = ç	2	f	¢¢(x0 ) +α(x)÷(x - x0 )2 .
	è	2		ø
Пусть	f ′′(x0 ) > 0 . Тогда в некоторой δ -окрестности точки				x0 ,
будет выполняться неравенство f ′′(x0 ) +α(x) > 0 . Это означает,					что
в этой δ -окрестности будет			f (x) - f (x0 ) > 0 , x ¹ x0 .
Следовательно, точка		x0		является точкой строгого локального
минимума функции f (x) .

Аналогично рассматривается случай, когда f ′′(x0 ) < 0 . □

Пример 2. С помощью теоремы 2 определить точки локального максимума и локального минимума функции f (x) из примера 1.

Решение. Найдем вторую производную функции y: y′′ = 6(x +1) . Определим знак y′′ в стационарных точках x1 = -3, x2 =1. Имеем y′′(-3) = -12 < 0, y′′(1) =12 > 0 .

Таким образом, в соответствии со вторым достаточным условием заключаем, что точка x = −3 является точкой локального максимума, а точка x =1 – точкой локального минимума. □

313

20. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] . По второй теореме Вейерштрасса (т.5.12.4) функция f (x) принимает на отрезке свое

наибольшее и наименьшее значения. Пусть требуется отыскать наибольшее значение функции f (x) . Тогда нужно найти все точки

локального максимума, найти значения функции в этих точках и зна- чения функции на концах отрезка. Сравнив значения функции во всех точках локального максимума и значения f (a) и f (b) , найдем наи-

большее из них. Оно и будет наибольшим значением функции f (x) на отрезке [a;b] .

Аналогично находится наименьшее значение функции f (x) на отрезке [a;b] .

Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значения функции часто возникает в приложениях, в том числе, в физике и технике.

§ 3. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции

10. Выпуклость графика функции. Пусть функция f (x) диф-

ференцируема на интервале X = (a;b) . Тогда в каждой точке ее гра- фика существует касательная. График функции y = f (x) называется

выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале X, если он целиком расположен ниже касательной в его произвольной точке; график функции y = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на

данном интервале, если он целиком расположен выше касательной в его произвольной точке.

Рис. 1

314

Утверждение 1. Если функция y = f (x) имеет на интервале X = (a;b) вторую производную f ′′(x) > 0 ( f ′′(x) < 0) во всех точках x X , то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.

Доказательство. Пусть x X имеем f ′′(x) > 0 . Выбираем x0 Î(a;b) , и записываем уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0; f (x0 )) :

					y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x - x0 ) .					(1)
Запишем теперь формулу Тейлора для заданной функции										f (x)
в точке x0	с остаточным членом в форме Лагранжа, приняв n =1 :
	f (x) = f (x0 ) + f ¢(x0 )(x - x0 ) +							f ′′(ξ )	(x - x0 )2 ,	(2)

где точка ξ							2!
	находится между x и x0.
Из формулы (2) получаем
	f (x) -		1		f ¢¢(ξ )(x - x0 )2 = f (x0 ) + f ¢(x0 )(x - x0 ) .					(3)
		2
						2
Поскольку		f		¢¢	(ξ )(x - x0 )		> 0 при x ¹ x0		и правые части ра-

венств (1) и (3) совпадают, то совпадают и их левые части, из чего следует, что значение у ординаты касательной больше значения функ-

ции f (x)	в точке x, x ¹ x0 . Последнее означает, что график функции
y = f (x)	лежит выше касательной, проведенной в его произвольной
точке (x; f (x)) , где x X , т.е. является выпуклым вниз.
	′′	<	0 . □
Аналогично рассматривается случай, когда f (x)

20. Точки перегиба графика функции. Говорят, что график непрерывной функции f (x) имеет при x = x0 точку перегиба, если

слева и справа от точки (x0; f (x0 )) график функции f (x) имеет разные

направления выпуклости.

Так, например, точка (0;0) является точкой перегиба графика функции y = x3 . Так как y′′ = 6x и x (−∞;0) имеем y′′ < 0 ,

а x (0;+∞) получаем y′′ > 0 , то на (−∞;0) график функции y = x3 – выпуклый вверх, а на (0;+∞) – выпуклый вниз, и точка (0;0) является точкой, разделяющей промежутки выпуклости графика разной на- правленности, т.е. является точкой перегиба графика функции y = x3 .

Утверждение 2. Если в точке x = x0 вторая производная функ- ции y = f (x) обращается в нуль и при переходе через нее меняет знак, то M0 (x0; f (x0 )) – точка перегиба графика этой функции.

315

Доказательство. Пусть f ′′(x0 ) = 0 и f ′′(x) < 0 при x0 - ε < x < x0 ,

а f ′′(x) > 0	при x0 < x < x0 + ε ,	где ε > 0 –некоторое вещественное
число.		график функции y = f (x) является
Тогда,	по утверждению 1,	график функции y = f (x) является

выпуклым вверх на интервале ( x0 - ε; x0 ) и выпуклым вниз на интервале (x0; x0 + ε ) . Значит, в точке M0 (x0; f (x0 )) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз, т.е. M0 – точка перегиба. □

30. Асимптоты графика функции. Говорят, что прямая x = a

является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) , если

хотя бы один из односторонних пределов								lim f (x) или lim f (x)
равен +∞ или −∞ .								x→a+0	x→a−0
				1
Так, график функции y =						имеет вертикальную асимптоту x = 0 ,

	1		1		x
потому что lim		= +¥, lim			= -¥ .

x→+0 x		x→−0 x					f (x)
Предположим, что функция								определена на промежутке
(a;+∞) .
Говорят, что прямая y = kx + l							является наклонной асимптотой
графика функции		f (x) при x → +∞ , если функция							f (x) представима
в виде		f (x) = kx + l +α(x) ,							(4)

где α(x) – бесконечно малая функция при x → +∞ , что означает не-

ограниченное приближение графика функции к прямой, являющейся его асимптотой.

Утверждение 3. Для того, чтобы график функции f (x) имел

асимптоту при x → +∞ , необходимо и достаточно, чтобы существова- ли конечные пределы:

lim	f (x)	= k,	lim	( f (x) - kx) = l .	(5)
	x
x→+∞			x→+∞
При выполнении условий (5) прямая y = kx + l					является асим-

птотой.

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции f (x)

имеет асимптоту

y = kx + l при x → +∞ , т.е. справедливо соотноше-

ние (4). Тогда из этого соотношения имеем:

f (x)

kx + l +α(x)

α(x) ö

lim

lim ç k +

= k ,

x→+∞

x→+∞ è

x ø

lim ( f (x) - kx) = lim (l +α(x)) = l .

x→+∞

316

Достаточность. Пусть существуют пределы (5). Из второго ра- венства имеем, f (x) − kx = l +α(x) , где α(x) – бесконечно малая

функция при x → +∞ . Это означает, что равенство (4) имеет место. □ Аналогично определяется наклонная асимптота графика функ-

ции f (x) при x → −∞ .

§4. Общая схема исследования функции и построения

ееграфика

Для полного исследования поведения функций и построения их графиков рекомендуется следующее:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции, вертикальные асимптоты (если существуют), точки пересечения с осями координат;

3)определить четность (нечетность), периодичность функции;

4)найти промежутки монотонности функции и точки локального экстремума;

5)определить промежутки выпуклости графика функции и точки его перегиба;

6)найти наклонные асимптоты (если существуют);

7)на основании полученных данных построить график функции (иногда полученные данные сводят в таблицу).

Пример 1. Построить график функции y = e−x2 .

Решение. 1) Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

2) Функция непрерывна на . Вертикальных асимптот не имеет. График функции y не пересекает ось Ox , так как x :

f (x) > 0 . Если x = 0 , то y =1, т.е. график функции y пересекает ось Oy в точке (0;1).

3) Функция является четной, так как x : f (−x) = e−(−x)2 = = e−x2 = f (x) . Свойством периодичности функция не обладает.

4) Найдем производную функции y′ = −2xe−x2 .

Очевидно, y′(x) > 0 при x (−∞;0) и y(x) < 0 при x (0;+∞) .

Следовательно, функция является возрастающей на промежутке

(−∞;0) и убывающей на (0;+∞) .

Стационарной точкой является только точка x = 0 . Из п. 4) сле- дует, что точка x = 0 является точкой локального максимума, y(0) =1.

317

5) Найдем вторую производную:

y′′ = −2e-x2

+ 4x2e-x2

= 2e-x2 (2x2 −1) .

Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль:

2e-x2 (2x2 −1) = 0, x

= ±

1,2

Отсюда следует, что

y′′(x) > 0, x (−∞;−

) (

;+∞) ;

y′′(x) < 0, x (−

;

) .

Таким образом, график функции

y = e-x2

является выпуклым

вниз на промежутках (−∞;−

)

(

;+∞)

и выпуклым вверх на

интервале (−

;

) . Значит, числа ±

являются абсциссами точек

перегиба графика функции.

6) Найдем наклонные асимптоты:

lim

f (x)

lim

e-x2

lim

= 0 ,

x®+¥

lim ( f (x) − kx) =

lim

e-x2

= 0 .

x®+¥

Следовательно,

прямая

y = 0

(ось

Ox )

является

наклонной

асимптотой при x → +∞ . Очевидно, эта прямая является асимптотой и при x → −∞ .

7) Для построения графика полученные результаты сведем в таблицу.

Таблица 1

-¥;-

−

1 ö

;

ç 0;

+∞ ÷

2 ø

y′

–

y′′

–

Поведение

возрастает

точка

убывает

max

функции,

выпуклый

точка

точка пе-

выпуклый

ее графика

выпуклый вверх

вниз

перегиба

региба

вниз

318

Рис. 1

На основании полученных данных строим график (рис. 1). Полученная кривая называется кривой Гаусса. Отметим, что в силу четности функции и симметричности ее графика относительно оси Oy

можно было ограничиться исследованием заданной функции лишь на промежутке (0;+∞) .

Задания для самостоятельной работы

1.Определить промежутки монотонности следующих функций:

а)	y =1- 4x - x2 ;		б) y = ex	2	−4x ;	в) y =		x	.
							x2	- 6x -16

2. Исследовать на экстремум следующие функции:
а) y = 2x3 + 3x2 -12x + 5 ;					б) y = x(x -1)2 (x - 2)3 ;
в)	y =	(x - 2)(x - 8)	;		г)	y = 2sin 2x + sin 4x .
		x2

3. Определить наибольшее и наименьшее значения следующих функций на указанных отрезках:

a ) y = x2 (x -12)2 на [–1, 2]; б) y = x2e−x на [–1, 1].

4.Доказать неравенство ex ³1+ x, x Î .

5.Кусок проволоки длины l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

6.Определить промежутки выпуклости и точки перегиба следующих функций:

319

а)

y = x3 − 6x2 +12x + 4 ;

б) y = sin x ;

в) y = x − sin x ;

г) y =

;

д) y = (1+ x2 ) ex .

x2 +12

Найти асимптоты графиков следующих функций:

а) y =

;

б) y =

;

в) y = e−x2 + 2 ;

x2 − 4

x2 + 4

sin x

г)

y = ex ;

д) y =

Построить графики указанных функций:

а) y = x3 − 3x2 ;

б) y =

;

+ x2

в) y =

;

г) y = x x + 3 ;

x2 − 4

д)

y = x + 2arctg x ;

е)

y = ln(1+ e−x ) ;

ж)

y = sin x +

sin 2x

320

ГЛАВА 9

КРИВИЗНА

§ 1. Дифференциал дуги плоской кривой

10 . Понятие длины дуги кривой. Пусть на отрезке

[a;b] задана дифференцируемая функция y = f (x) , графи-

1). Отрезок [a;b]

разо-

ком которой является дуга AB (рис.

бьем

на

частей

точками

a = x0 , x1, x2 ,..., xn−1, xn = b .

Этим

точ-

кам

будут

соответствовать

точки

M0 , M1,..., Mn дуги

AB . Соединим

их ломаной линией, которую на-

зывают ломаной, вписанной в дугу

= Mk−1Mk

AB .

Длина

звена lk

этой

ис. 1

ломаной

есть

расстояние между

точками

Mk−1 (xk−1; f (xk−1))

Mk (xk ; f (xk )) . Поэтому

= (x − x

+ (y

− y

k−1

и длина

всей ломаной

l = M0M1M2...Mn

будет

равна

= å

= å (xk − xk−1)2 + ( f (xk ) − f (xk−1))2 .

k=1

Введем понятие спрямляемой кривой.

Кривая

S называется спрямляемой, если

множество

{

} длин вписанных в кривую S

ломаных

l(xk ) , отвечаю-

щих всевозможным разбиениям отрезка [a; b], ограничено. При этом точная верхняя грань множества { l } называется длиной дуги кривой S и обозначается символом S .

Из сформулированного определения нетрудно заклю- чить, что длина S дуги S кривой всегда положительна.

321

	20 . Дифференциал дуги.
	Пусть кривая S – график не-
	прерывно	дифференцируемой
	функции	y = f (x) .	Такую кри-
	вую называют гладкой. Возь-
	мем точку	A за начало отсче-
	та. Пусть	M S , тогда длина
Р	та. Пусть	M S , тогда длина
Р	дуги AM	будет	функцией
ис. 2	абсциссы	x точки	M (рис. 2).
	абсциссы	x точки	M (рис. 2).

Обозначим эту функцию S(x) , т.е. AM = S(x). Найдем дифференциал функции S(x) , который называют дифференциалом длины дуги. По

определению, дифференциал				функции S(x) имеет		вид
dS = S′(x)dx .
Найдем выражение для			S′(x) . По определению, S′(x)			есть

предел отношения длины дуги MN к x :
S′(x) =	ds	= lim		S(x + Dx) - S(x)	.	(1)

	dx		x→0	Dx

Примем без доказательства следующее утверждение.

Утверждение 1. Предел отношения длины дуги глад- кой кривой к длине стягивающей ее хорды при условии, что хорда стягивается в точку, равен единице:

lim MN =1. x→0 MN

На основании этого утверждения и свойств эквива- лентных бесконечно малых величин (см. утверждение 1 из п.5.14.20)

при нахождении предела (1) заменим дугу

ей хордой

(Dx)2 + (Dy)2 .

Тогда

(Dx)2

+ (Dy)2

S (x) =

lim

= lim

(Dx)2

x→0

Отсюда

dS =

1+ y¢2 dx.

MN эквивалентной

æ	Dy ö2

1+ ç	÷	= 1+ y¢2 .
è Dx ø
		(2)

Внеся dx под знак корня, получим простой, легко за-

поминающийся вид формулы для дифференциала дуги


dS = dx2 + dy2 .			(3)

322

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 6032 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc