|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
Здесь |
x = 0 |
– точка |
разрыва функции g(x) , т.к. |
lim g (x) = lim |
sin x |
|
=1, а g(x) |
|
x=0 |
= g(0) = 2 . |
|
|
x |
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции y = f (x) , если в этой точке существуют конечные пределы функции
слева и справа, |
т.е. lim f (x) = A1 и |
lim f (x) = A2 . При этом: |
|
|
x→a−0 |
x→a+0 |
а) |
если A1 = A2 , то точка а называется точкой устранимого разрыва; |
б) |
если A1 ¹ A2 , |
то точка а называется точкой конечного разрыва. |
Величину A1 - A2 называют скачком функции в точке разрыва x = a .
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x) , если по крайней мере один из односторонних пределов
|
(слева или справа) не существует. |
|
|
Так, функция y = |
1 |
|
(рис. 1) |
имеет разрыв второго рода в |
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
точке x = 2 . Для функции (1) |
(рис. 2) |
точка x = 2 является точкой |
разрыва первого рода со скачком, равным 1- 0 =1 . Точка x = 0 явля- ется точкой разрыва первого рода для функции (2) (рис. 3). Положив g (x) =1 (вместо g (x) = 2 ) при x = 0 , разрыв устранится, функция станет непрерывной в точке x = 0 .
§ 12. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства
Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a;b) , ес-
ли она непрерывна в каждой точке xÎ(a;b) . Если же, кроме того, 253
функция f (x) непрерывна в точке а справа, а в точке b – слева, то функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a;b] .
Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a;b] ,
если она непрерывна во всех внутренних точках [a;b] , за исключением
конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и b имеет соответствующие односторонние пределы.
10. Монотонность и непрерывность. Будем считать, что функция f (x) задана на отрезке [a;b] .
Утверждение 1. Монотонная на отрезке [a;b] функция f (x)
может иметь точки разрыва только первого рода.
Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если f (x) –
непрерывная функция на отрезке [a;b] .
Упражнение 1. Доказать справедливость утверждения 1, используя свойства ограниченных множеств (В.6.20).
20. Промежуточные значения непрерывных функций. Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции).
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0 ) ¹ 0 . Тогда суще- ствует δ -окрестность точки x0 , такая, что в этой окрестности функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x0 ) .
Доказательство. Пусть x0 – внутренняя точка отрезка [a;b] . Согласно определениям непрерывности и предела функции в точке x0 ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем: |
для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , |
что из неравенства |
|
x - x0 |
|
< δ следует неравенство |
|
f (x) - f (x0 ) |
|
< ε , или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) - ε < f (x) < f (x0 ) + ε . |
(1) |
Возьмем в качестве ε такое положительное число, |
чтобы вы- |
полнялось неравенство ε < |
|
f (x0 ) |
|
. В этом случае оба числа |
f (x0 ) - ε |
|
|
и f (x0 ) + ε будут иметь такой же знак, как и f (x0 ) и, согласно (1),
во |
всей |
окрестности |
x0 - δ < x < x0 + δ |
функция f (x) со- |
храняет знак числа |
f (x0 ) . □ |
В случае, если x0 совпадает с
точками а или b, доказательство от- личается тем, что рассматриваются
односторонние окрестности. Геометрический смысл этого утвержде- ния состоит в том, что, если функция f (x) непрерывна в точке x0 и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, про- ходящая через точку (x0; f (x0 )) , не пересекает ось Ox (рис. 1).
Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f (x)
непрерывна на отрезке [a;b] и на концах отрезка имеет |
значения |
разных знаков. Тогда существует точка cÎ(a;b) , в которой |
f (c) = 0 . |
Доказательство. Пусть |
f (a) < 0 |
и f (b) > 0 . Рассмотрим мно- |
жество |
X = |
{ |
x : f |
( |
x |
) |
} |
|
всех значений x из отрезка |
|
|
|
< 0 (множество |
[a;b] , для которых |
|
f (x) < 0 ). Очевидно, что a X и, значит, множе- |
ство X |
непустое. |
Поскольку |
f (b) > 0 , то X ограниченное сверху, |
например, числом b , и, согласно с теоремой В.6.1, у множества X существует точная верхняя граница. Обозначим ее буквой с. На основании утверждения 2 приходим к выводу, что существует правая окрестность точки а и левая окрестность точки b, для которых соответственно вы-
полняются неравенства f (x) < 0 и f (x) > 0 , и значит, точка с есть внутренняя точка отрезка [a;b] . Для этой точки и будет выполняться
равенство
Если допустить, что f (c) ¹ 0 , то снова на основании утвержде- ния 2, найдем окрестность c − δ < x < c + δ , во всех точках которой f (x) сохраняет определенный знак. Но последнее утверждение не может иметь места, т. к. на всем правом интервале (c;c + δ ) имеем f (x) ³ 0 , а на левом интервале (c -δ ;c) , согласно определению точ-
ной верхней границы, найдется хотя бы одно
|
значение x , для которого f (x) < 0 . □ |
|
|
Геометрический смысл этой |
теоремы |
|
также очевиден. Поскольку функция |
f непре- |
|
рывна на отрезке, то ее график состоит из од- |
|
ного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет |
Рис. 2 |
точки (a; f (a)) , (b; f (b)) , одна из |
которых |
лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox.
Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f (x)
непрерывна на отрезке [a;b] , причем f (a) ¹ f (b) . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между f (a) и f (b) , то существует точка
cÎ(a;b) , такая, что f (c) = C .
Другими словами, непрерывная на отрезке [a;b] функция принимает любое
|
свое промежуточное значение. |
|
Геометрический смысл этой теоремы |
|
показан на рис. 3. |
Рис. 3 |
|
Доказательство. Необходимо рас- |
смотреть только случай, когда f (a) ¹ f (b) и число С не совпадает с
f (a) и f (b) . |
Пусть f (a) |
< C < f (b) . Вспомогательная функция |
ϕ (x) = f (x) - C |
непрерывна, |
как разность двух непрерывных функ- |
ций и в конечных точках имеет значения разных знаков:
ϕ (a) = f (a) - C < 0, ϕ (b) = f (b) - C > 0.
На основании предыдущей теоремы на интервале (a;b) существует точка с такая, что ϕ (c) = f (c) - C = 0 , т.е. f (c) = C . □
30. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f (x)
непрерывна на отрезке [a;b] , то она ограничена.
Таким образом, если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] , то существует число M > 0 такое, что "x Î[a;b] : f (x) £ M .
Заметим, что если в теореме 3 вместо отрезка [a;b] рассматри- вать интервал (a;b) или какой-либо полуинтервал, то функция f (x) может быть и неограниченной, т. е. в этом случае утверждение об ог-
раниченности несправедливо. Например, функция f (x) = 1x непре-
рывна на полуинтервале (0;1] , но не ограничена на нем.
Упражнение 2. Пользуясь свойствами сходящихся последова- тельностей (см. п.2.30) доказать теорему 3.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке [a;b] функция f (x) достигает в некоторых точках отрезка
[a;b] своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют точки α и β , принадлежащие [a;b] , для которых имеет место
|
inf |
f (x) = f (α ) , |
sup f (x) = f (β ) . |
|
x [a;b] |
|
x [a;b] |
Таким образом, |
f (α ) £ f (x) £ f (β ) для всех xÎ[a;b] . |
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 4 для слу- |
чая верхней точной границы, т. е. |
f (β ) = M . Допустим противное, |
функция f (x) |
ни в одной своей точке не принимает значения, равно- |
го М, значит, |
для всех точек отрезка [a;b] выполняется неравенство |
f (x) < M . В таком случае функция ϕ (x) = |
1 |
имеет только |
M - f (x) |
положительные значения на отрезке [a;b] . Поскольку знаменатель M - f (x) ¹ 0 – непрерывная функция, то, согласно свойству непре- рывности частного, функция ϕ (x) также непрерывная на [a;b] . Со-
гласно |
теореме |
3, существует |
положительное число |
В такое, что |
ϕ (x) = |
1 |
£ B , откуда, |
с учетом неравенства |
M − f (x) > 0 , |
M - f (x) |
следует f (x) £ M - B1 .
Последнее равенство выполняется для всех x из отрезка [a;b] , что противоречит тому, что М – точная верхняя граница. □
Поскольку непрерывная на отрезке [a;b] функция f (x) дости-
гает в некоторых точках своих точных верхней и нижней границ, то
можно называть точную верхнюю границу максимальным значением функции, а точную нижнюю границу – ее минимальным значением на
отрезке [a;b] .
Если функция при изменении x на каком-либо промежутке I ограничена, то ее колебанием на этом промежутке называется раз- ность ω = M − m между ее точными верхней и нижней границами. Иначе можно определить колебание ω как точную верхнюю границу абсолютных величин разностей f (x′′) - f (x′) , где x′ и x′′ принимают независимо одно от другого произвольные значения на промежутке I :
ω = sup{ f (x¢¢) - f (x¢) } .
x′,x′′
Когда речь идет о непрерывной функции f (x) на отрезке [a; b],
то, как следует из доказанной теоремы, колебанием будет попросту
разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
вэтом промежутке.
Вэтом случае промежуток значений функций есть замкнутый промежуток [m; M ], и колебание дает его длину.
§ 13. Существование и непрерывность обратной функции
Имеет место следующая
Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна и монотонна на от- резке [a;b] , то на множестве ее значений [A; B] существует монотонная, непрерывная обратная функция.
Доказательство. Действительно, считая, что f (x) возрастает на отрезке [a;b] , имеем A = f (a), B = f (b) . Очевидно, что между от- резками [a;b] и [A; B] есть взаимно однозначное соответствие
(рис. 1), чем и обусловлено существование функции x = f −1 ( y), которая возрастает на отрезке [A; B] .
Непрерывность, согласно п.12.10, следует из того, что множество
значений обратной монотонной функции есть отрезок [a;b] . □ |
|
|
Функции arcsin x, arctg x, |
arccos x, arcctg x , обратные функциям |
|
|
|
|
sin x, |
tg x, cos x, ctg x , в силу названного |
|
|
|
|
свойства непрерывны при всех значениях x , |
|
|
|
|
при которых эти функции определены. |
|
|
|
|
Пример 1. Функция y = sin x непрерывна |
|
|
|
|
и монотонна на отрезке êé- |
π |
;π úù . Образом |
|
|
|
|
|
|
ë |
2 |
2 û |
sin x , |
|
|
|
|
этого |
отрезка, посредством |
функции |
|
Рис. 1 |
|
является отрезок [-1;1] . На основании при- |
|
|
|
|
веденного |
свойства |
существует |
определенная на отрезке êé- |
π |
;π úù , |
|
|
|
|
y = sin x , |
|
|
ë |
2 |
2 û |
обратная к функции |
непрерывная возрастающая функция |
x = arcsin y |
(-1£ y £1) . |
|
|
|
|
|
|
Для функции |
y = sin x , рассматриваемой на всей действитель- |
ной оси, не |
существует обратной функции, так как |
x = Arcsin y = (-1)k arcsin y + kπ , k = 0,±1,±2,K , т.е. каждому y Î[-1;1]
соответствует множество значений x , определяемых указанной формулой. □
§14. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые
10. Сравнение бесконечно малых функций. Как известно,
сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая (см. § 6). Отношение же двух беско-
нечно малых функций может быть конечным числом или вообще не
имеет предела. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f (x) |
|
|
и g (x) – бесконечно малые функции при x → a , |
т.е. lim f (x) = 0 и lim g (x) = 0 . Тогда: |
x→a |
|
|
x→a |
|
1. Если lim |
|
|
f (x) |
|
= A ¹ 0 ( AÎ R) , то f (x) и g (x) называются |
|
|
|
|
x→a |
|
|
g (x) |
|
бесконечно малыми одного порядка. |
2. Если lim |
|
f (x) |
= 0 , то f |
(x) называется бесконечно малой более |
|
|
|
x→a g (x) |
|
высокого порядка, чем g (x) . |
|
3. Если lim |
|
|
f (x) |
= ¥ , то |
f (x) называется бесконечно малой |
|
|
|
x→a g (x) |
|
более низкого порядка, чем g (x) .
4. Если lim f (x) не существует, то f (x) и g (x) называются |
x→a g (x) |
|
несравнимыми бесконечно малыми функциями. |
Пример 1. Сравнить порядок функций при x → 0 |
а) f (x) = 5x2 и g (x) =13x2 ; |
б) f (x) = tg x и g (x) = x2 ; |
в) f (x) = xsin 1x и g (x) = x .
Решение. а) При x → 0 данные функции являются бесконечно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малыми функциями одного порядка, т.к. lim |
|
f |
(x) |
= lim |
5x2 |
= |
|
|
5 |
|
¹ 0 . |
|
|
(x) |
|
13 |
|
|
|
|
x→0 g |
|
x→013x2 |
|
|
б) Так как lim |
f (x) |
= lim |
tg x |
= lim |
sin x |
× |
1 |
|
× |
1 |
|
= ¥ , то |
|
f (x) |
g (x) |
|
|
cos x |
x |
|
x→0 |
x→0 x2 |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть бесконечно малая функция более низкого порядка, чем g (x) .
|
|
|
|
1 |
|
|
|
в) В силу того, что lim |
f (x) |
= lim |
|
x ×sin x |
= lim sin |
1 |
не суще- |
g (x) |
|
x |
x |
x→0 |
x→0 |
x→0 |
|
ствует (см. пример 5.1), функции f (x) и |
g (x) |
при x → 0 являются |
несравнимыми. □
20. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства.
|
Если lim |
f (x) |
=1, то |
f (x) и g (x) называются эквивалентными |
|
|
|
x→a g (x) |
|
|
|
|
бесконечно малыми |
функциями (при x → a ) |
и обозначаются: |
|
f (x) ~ g(x) при x → a . |
|
|
|
Например, sin x ~ x при x → 0 , т. к. lim |
sin x |
=1. |
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
Для эквивалентных бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:
1.Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменит- ся, если каждую (или одну из них) заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
2.Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.
3.Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем последнее утверждение для двух функций.
Пусть |
f (x) ® 0, g (x) ® 0 |
при x → a , причем |
f |
(x) – |
бесконечно |
малая функция более |
высокого порядка, |
чем |
g (x) , |
т.е. lim f ((x)) = 0 . Тогда
x→a g x
|
|
f (x) + g (x) |
æ |
f (x) |
ö |
|
|
lim |
|
= lim ç |
|
+1÷ |
= lim |
|
g (x) |
g (x) |
|
x→a |
ç |
÷ |
x→a |
|
x→a è |
ø |
Следовательно, f (x) + g (x) ~ g (x) при
f ((x)) +1 = 0 +1 =1. g x
x → a . □
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых функций,
называется главной частью этой суммы.
30. Применение эквивалентных бесконечно малых функций к вычислению пределов. Для раскрытия неопределенностей вида 00
часто бывает полезным применять замену бесконечно малой функции на эквивалентную ей.
Приведем важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:
|
1. |
sin x ~ x при x → 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. tg x ~ x (x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
arcsin x ~ x |
(x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
arctg x ~ x |
(x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
1- cos x ~ |
x2 |
(x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ex -1~ x (x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. ax -1 ~ x ×ln a (x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
8. ln(1+ x) ~ x (x ® 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
loga (1+ x) ~ x ×loga e |
(x ® 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
10. (1+ x)k -1~ kx,k > 0 |
(x ® 0), в частности |
|
-1~ |
x |
. |
|
1+ x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Показать, что |
|
|
-1~ |
x |
при x → 0 . |
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Решение. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim ( |
|
|
|
|
-1)( |
|
|
|
|
+1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
1+ x |
1+ x |
|
|
|
lim |
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
×( |
|
|
1+ x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
x |
×( |
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 1 |
+ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
при x → 0 . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
1+ x -1~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти lim |
arcsin (x -1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x2 - 5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Так |
|
как |
arcsin(x -1) ~ (x -1) |
при x →1, то |
|
arcsin |
( |
x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x -1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
= - |
. □ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1) (x - 4) |
|
|
3 |
x→1 x |
|
- 5x + 4 |
|
x→1 |
|
x→1 x - 4 |
|
|
Отметим, что приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.
§ 15. Равномерная сходимость последовательности функций
Рассмотрим произвольную функциональную последовательность { fn (x)} , заданную на множестве X (отрезок, интервал, полуинтервал).
Используются различные виды сходимости последовательности
функций к функции f (x) на множестве X . Если lim fn (x0 ) = f (x0 )
n→∞
для каждой точки x0 из X , то говорят о сходимости в каждой точке.
При таком определении последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции. Свойство непрерывности функций сохраняется при, так называемой, равномерной сходимости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для любого ε > 0 |
существует номер N0 = N0 (ε) , |
N0 Î , |
такой, |
что |
для |
любого |
x X |
и любого |
n > N0 |
имеем |
|
fn (x) - f (x) |
|
|
< ε , |
то говорят, что функциональная |
последователь- |
|
|
ность |
{ fn (x)} |
равномерно сходится |
на множестве |
X к |
f (x) и |
пишут |
fn (x)Þ f (x) . |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что если последовательность { fn (x)} просто сходится |
к функции f |
на множестве X , то это означает, что для любого ε > 0 |
