Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

осей,

или

виде

параметрических

уравнений

x = x(t), y = y(t), z = z(t) . Кривая,

которая описывается этими урав-

нениями,

называется

годографом, а начало координат полюсом годографа.

Пример 1. Найти значения вектор-функции

t [0;2π ] ,

r (t) = 4costi

+ 3sint j + 2k ,

при t = 0 ,

= π

и изобразить ее годограф.

Решение.

r (t) : x(t) = 4cost,

Рассмотрим

координаты

y(t) = 3sint,

z(t) = 2 .

При

t1 = 0

имеем

x(0) = 4 ,

y(0) = 0 ,

z(0) = 2 . Следовательно, r (0) = 4

+ 2

. Аналогично находим

значение вектор-функции при t2

= π

π ö

r ç

= 4cos

i + 3sin

+ 2k

= 2

2 i

2 j

+ 2k .

4 ø

Годографом данной вектор-функции является кривая, параметри-

ческие уравнения которой имеют вид:

x = 4cost, y = 3sint, z = 2 ,

t [0;2π ] .

Исключим

из

первых

двух

уравнений параметр t. Из первого

уравнения имеем

cost =

, из вто-

рого

получаем

sint =

Следова-

тельно,

эти

уравнения

эквива-

ис. 2

лентны

уравнению

=1.

Итак, уравнения

годографа

декартовых

координатах

имеют вид:

=1, z = 2 . Они определяют эллипс, расположен-

(рис. 2). □

ный в плоскости z = 2 , с полуосями

a = 4, b = 3

§ 6. Предел и непрерывность векторной функции

333

Пусть c – постоянный вектор и r = r (t) – вектор- функция, определенная на некотором интервале, содержа-

щем точку t0 .

называется пределом

вектор-функции

Вектор

r = r (t)

при

t ® t0 ,

если для любого

ε > 0

существует такое

δ = δ (ε) > 0 ,

что

| r (t) − c |< ε

для всех t,

удовлетворяющих

неравенству | t - t0 |< δ , t ¹ t0 , и обозначается

lim r (t) = c .

(1)

t→t0

Очевидно, равенство (1) эквивалентно равенству

lim | r (t) - c |= 0 .

(1΄)

t→t0

Если r (t) = x(t)

+ y(t)

+ z(t)

, а c = (x0; y0; z0 ) , то равенство (1)

выполняется тогда и только тогда, когда

lim x(t) = x0 , lim y(t) = y0 ,

lim z(t) = z0 .

(2)

t→t0

Действительно,

так как

| r (t) - c |=

(x(t) - x )2

+ (y(t) - y )2 + (z(t) - z

)2 ,

(3)

то | r (t) - c |³| x(t) - x0 |.

Из

последнего

соотношения

следует, что

условие

| r (t) − c |→ 0

при

t ® t0

влечет за собой условие | x(t) - x0 |® 0

при t ® t0 . Аналогично доказываются два других равенства

(2). Обратно, если выполнены равенства (2), то из (3) по-

лучаем, что | r (t) − c |→ 0 при t ® t0 , т.е. lim r (t) = c .

t→t0

Таким образом, для того, чтобы вычислить предел вектор-функции, достаточно найти соответствующие пре- делы координат этой функции. Если хотя бы один из пре- делов координат этой функции не существует, то не суще-

ствует и lim r (t) .

t→t0

Пример 1. Найти

	æ et - e			lnt			ö
limç			i +			j + (2 + t)k ÷ .

t→1	ç	t -1		1- t	÷
	è				ø

Решение. Согласно равенствам (2), применив правило Лопиталя,

получим

	et - e	æ	0 ö			(et - e)¢	= limet = e .
lim		= ç		÷	= lim
	t -1		0			(t -1)¢
t→1		è		ø	t→1		t→1

334

Аналогично,

lim

lnt

= -1, lim(2 + t) = 3 . Тогда

1- t

t→1

æ et

- e

ln t

lim

çç

i +

j + (2 + t)k ÷÷

= e i - j + 3k . □

t→1

è t

-1

1- t

Основные правила нахождения пределов справедливы и для

вектор-функций действительного аргумента:

1) если r (t) = c , то

lim

r (t)

=| c |.

→t0

lim(r (t) + r (t)) = lim r (t) + lim r (t) ;

(4)

t→t0 1

t→t0 2

lim(r (t),r (t)) = (lim r (t), lim r (t)) ;

t→t0 1

t→t0 2

lim[r (t),r (t)] = [lim r (t), lim r (t)].

(5)

t→t0 1

t→t0 2

Первое

свойство

следует

из

неравенства

|| r | − | c ||≤| r − c | и формулы (1΄).

Остальные свойства пределов вектор-функций можно доказать с помощью формул (2) и соответствующих свойств скалярных функций, если перейти от векторных соотношений к координатным.

Например,

если

r1(t) = x1(t)

+ y1(t)

+ z1(t)

r (t) = x

(t)

+ y

(t)

+ z

(t)

lim r (t) = c ,

lim r (t) = c

t→t0 1

t→t0 2

причем

c1 = (c11;c21;c31) ,

c2 = (c12;c22;c32 ) ,

то

(r1(t),r2 (t)) = x1(t)x2 (t) + y1(t)y2 (t) + z1(t)z2 (t) ,

lim(r (t),r (t)) = c c

+ c

+ c c

= (c ,c

) = ( lim r (t), lim r (t)) .

t→t0

11 12

21 22

31 32

1 2

t→t0

t→t0 2

(5).

Упражнение 1. Доказать справедливость формул (4),

Вектор-функция

r = r (t) , определенная

точке

t0 и

некоторой ее окрестности, называется непрерывной в этой

точке, если

lim r (t) = r (t0 ) .

t→t0

Из эквивалентности условий (1) и (1΄) следует, что вектор-функция r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k непрерывна в точке t0 тогда и только тогда, когда в ней непрерывны функции x(t), y(t), z(t).

335

§ 7. Дифференцирование векторной функции. Геометрический и механический смысл производной

10 . Понятие производной. Правила дифференциро-

вания. Пусть имеем векторную функцию r = r (t) . Возьмем точку M

на кривой со значением параметра t и точку M1, соответствующую значению параметра t + t

(рис. 1).

Радиус-векторы этих то-

чек

rM = r (t) ,

rM1 = r (t + Dt) .

Вектор

= rM1 - rM

яв-

MM1

ляется приращением векторной функ-

ции

r (t) ,

соответствующим

ис. 1

приращению

аргумента

t , и

обозначается через

r , т.е.

r = r (t +

t) − r (t) .

(1)

Разделим

r на

t и перейдем к пределу при

t → 0 ;

если этот предел существует, то его

называют производ-

ной от векторной функции r (t) по аргументу t

и обозна-

чают r′(t) , т.е.

r (t + Dt) - r (t)

r (t) = lim

lim

(2)

→0

t→0

Выясним геометрический смысл производной r′(t) ¹ 0 .

Установим направление вектора r′(t) . Очевидно,

что

вектор

коллинеарен

вектором

и при

t > 0

на-

правлен

ту

же сторону,

что

и вектор

Dr =

при

MM1

t < 0 –

в противоположную сторону;

но в первом случае

t + t > t ,

а во втором

t +

t < t .

Таким образом,

вектор

MM1 (см.

совпадает

по

направлению

секущей

рис. 1)

в сторону возрастания параметра t.

При

t → 0 соседняя точка M1 кривой стремится сов-

пасть с точкой M и секущая годографа в пределе превра-

336

щается в касательную к нему. Поэтому вектор r′(t) направлен

по касательной к годографу в сторону возрастания параметра t.

Если

воспользоваться

разложением

r (t) = x(t)

+ y(t)

+ z(t)

вектора r (t) по ортам, то вектор

можно представить в виде

Dr (t) = Dx(t)

+ Dy(t)

+ Dz(t)

где

x = x(t + t) − x(t) , y = y(t + t) − y(t) , z = z(t + t) − z(t) .

Разделив

r на

t и переходя к пределу при t → 0 ,

получаем

(3)

r (t)

= x (t)i + y (t) j + z (t)k .

Отсюда следует, что необходимым и достаточным ус- ловием существования производной вектор-функции r (t) в

некоторой

точке

является

дифференцируемость

функций

x(t), y(t), z(t) в этой точке.

Из формулы (3) и определения производной от векторной функции

вытекают следующие формулы:

= r1

(t) + r2 (t) ;

(4)

(r1(t) + r2 (t))

( f (t) × r (t))′ = f ′(t)r (t) + f (t)r′(t) ;

(5)

= (r1

(t),r2 (t)) + (r1(t),r2 (t)) ;

(6)

(r1(t),r2 (t))

= [r1

(t),r2 (t)] +[r1(t),r2 (t)] ;

(7)

[r1(t),r2 (t)]

(r1(t),r2 (t),r3 (t))′ =

(8)

= (r1¢(t),r2 (t),r3 (t)) + (r1(t),r2¢(t),r3 (t)) + (r1(t),r2 (t),r3¢(t))

(здесь r1(t),r2 (t),r3(t) – векторы;

f (t) – скалярная функция аргу-

)

Чтобы убедиться в справедливости формулы (6) за-

пишем r1(t) и r2 (t)

так:

r1(t) = x1(t)

+ y1(t)

+ z1(t)

, r2 (t) = x2 (t)

+ y2 (t)

+ z2 (t)

Тогда

(r1(t),r2 (t)) = x1(t)x2 (t) + y1(t)y2 (t) + z1(t)z2 (t) .

Отсюда,

дифференцируя,

находим

((r1(t),r2 (t))¢ = x1¢(t)x2 (t) + y1¢(t) y2 (t) + z1¢(t)z2 (t) + x1(t)x2¢(t) +

+ y (t)y ¢

(t) + z (t)z

¢(t) = ((r¢(t),r (t)) + ((r (t),r

¢(t)).

Упражнение 1. Доказать справедливость формул (4), (5), (7), (8). 337

20. Свойства вектора r′(t) . Механический смысл производной.

Из разложения (3) следует, что

r′(t) = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t) .

Используя выражение для дифференциала длины дуги dS (п.1.20),

последнее равенство можно записать в виде

r′(t)	=	dS	.	(9)


		dt

Таким образом, модуль производной вектора равен производной (по тому же аргументу) от длины дуги годо- графа. Необходимо подчеркнуть, что модуль производной

r′(t) не равен производной от модуля ( r(t) )′ . Особенно

наглядно это видно на примере производной вектора с по- стоянным модулем: в этом случае производная модуля вектора, как постоянного числа, просто равна нулю; про- изводная же самого вектора есть вектор, ему перпендику- лярный. Отсюда вытекают следствия:

1. Если τ – единичный вектор, направленный по ка- сательной к годографу в сторону возрастания параметра t (рис. 2), то вектор r′(t) можно представить в виде

r′(t) =	dl	τ	.	(10)
	dt

2. Если за аргумент векторной функции принять дли- ну дуги годографа l , отсчитываемую от его произвольно

выбранной начальной точки, т.е.		r = r (l) , то
r′(l) = τ	.	(11)

Значит, производная от векторной функции по длине дуги го- дографа равна единичному вектору ка- сательной к годографу (направленно- му в сторону возрастания дуги).

В самом деле, согласно (10), ddlr = dldl τ = τ . □

ис. 2 3. Если годограф векторной функции – траектория движущейся точки, а t – время движения, отсчитываемое от некоторого

начального момента, то, в этом случае, производная r′(t)

338

	по величине и по направлению совпа-
	дает		с вектором скорости движения
		(t) :
	V	(t) :
							(t) .
						r′(t) = V	(t) .
			Действительно, скалярная величина ско-
	рости равна производной от					пути по вре-
Рис.			v =	dl
Рис.	мени				. Кроме того,	вектор скоро-
3	мени			dt	. Кроме того,	вектор скоро-

сти V направлен по касательной к траектории в сторону движе- ния, т.е. в сторону возрастания t, и поэтому его направление совпадает с направлением единичного вектора касатель- ной τ .

	Таким образом,			= vτ	=	dl	τ	,	что и требовалось дока-
			V
						dt
										□
з	а	т			ь				.

Механический смысл производной от вектор-функции состоит в том, что r′(t) есть вектор мгновенной скорости переме- щения материальной точки по траектории, являющейся го-

д о г р а ф о м	ф у н к ц и и .
Рассмотрим переменный вектор r (t) , длина которого постоянна,

т.е. | r (t) |= a . Скалярный квадрат его имеет вид r 2 (t) = a2 . Дифференцируя правую и левую часть данного равенства,


получим	(r 2 (t))′ = (r (t),r (t))′ = (2r′(t),r (t)) = 0 .								Отсюда
(r′(t),r (t)) = 0 , т.е. производная			r′(t)	в этом случае перпен-
дикулярна	к вектору r (t) . В		частности,					производная от
всякого единичного вектора r0 (t) ,				переменного по направ-
лению, также всегда перпендикулярна к этому вектору.
Обозначим через		ϕ угол между радиусами единич-
ной сферы,	проведенными в точки M и					M1		годографа еди-
ничного вектора r0 (t) (рис. 3).
Тогда	длину хорды	годографа					=\|	r0 \|	найдем из
					MM1
равнобедренного треугольника OMM1 :

339

| Dr

|= 2 | r

| sin Dϕ

= 2sin Dϕ .

Имеем

2 2ϕ

r0¢(t)

| Dr0 |

2sin

dϕ

= lim

(13)

t→0

t→0 Dt

t→0

т.е. модуль производной от переменного единичного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.

30. Дифференциал векторной функции. Вторая производная и ее механический смысл. Произведение производной векторной функции на дифференциал ее аргумента называется дифференциалом векторной функции:

dr (t) = r′(t)dt .	(14)
Заметим, что, в силу формулы (11), всегда имеет место следующее
равенство
\| dr \|= dl ,	(15)
где dl – дифференциал дуги годографа. Этот же результат можно по-

л у ч и т ь и и з ф о р м у л ы dr = dx × i + dy × j + dz × k . О т с ю д а


\| dr \|= dx2 + dy2 + dz2		.
С учетом (15) имеем формулу дифференциала про-
странственной кривой
	dl = dx2 + dy2 + dz2 .	(16)
Производная вектор-функции r′(t) в точке		t = t0 назы-

вается второй производной вектор-функции r (t) по ска-

лярному				аргументу t в точке t0 и обозначается: r′′(t0 ) ,
	d 2r (t )			dr′(t	0	)
		0			0		&&
	dt2		,	dt			, r (t0 ) .
		С механической точки зрения производная r′(t0 ) рав-

на скорости движения V (t0 ) материальной точки в момент времени t0 , т.е. вторая производная вектор-функции по t

r¢¢(t0 ) = dV (t0 ) = a(t0 ) dt

является ускорением в данный момент времени t0 . Пример 1. Найти скорость и ускорение материальной точки M, дви-

жущейся с постоянной угловой скоростью ω по окружности x2 + y2 = R2 .

Решение. Пусть M – произвольная точка окружности. Обозначим через ϕ угол между радиус-вектором точки M

340

и положительным направлением оси Ox. По условию ϕ = ωt , где t – время движения. Выразим координаты точки

M, как функции времени (рис. 4):

x = Rcosϕ = Rcosω t ; y = Rsinϕ = Rsinω t .

Следовательно, радиус-вектор точки M:

r = xi + yj = R cosω t × i + Rsinω t× j .

Скорость V (t) движения точки M равна

j = -Rω sinω t × i + Rω cosω t × j ,

V = r (t) = (Rcosωt)

i + (Rsinω t)

а модуль скорости

(-Rω sinωt)2 + (Rω cosωt)2 = ωR .

Найдем скалярное произведение векторов V и r : (V ,r ) =

ис. 4

=-R2ωsinωt cosωt + R2ωcosωt sinωt = 0,

т.е. векторы V и r взаимно пер- пендикулярны. Отсюда следует,

что вектор V направлен по каса- тельной к окружности, по кото- рой движется точка M.

Найдем ускорение a(t) :

a(t) = r¢¢(t) = dVdt(t) = -Rω2 cosωt ×i - Rω2 = -ω2 (R cosωt × i + Rsinωt × j ) = -ω2

Следовательно, векторы r и a имеют противоположные направ- ления. Таким образом, ускорение материальной точки, дви- жущейся с постоянной угловой скоростью по окружности, в каждый момент времени направлено к центру этой окружности. □

§8. Касательная прямая и нормальная плоскость

кпространственной кривой

Кривую в пространстве можно задать в виде вектор-

ного соотношения r = r (t)	или в параметрическом виде
x = x(t) ,	y = y(t) , z = z(t) ,	(1)
или в виде пересечения двух поверхностей F1(x, y, z) = 0,
F2 (x, y, z) = 0		.

341

Найдем канонические уравнения касательной прямой к простран- ственной кривой L, заданной параметрическими уравнения-

ми (1),

в некоторой ее точке M0 (x0; y0; z0 ) , соответствующей значению пара- метра t0 . Уравнения прямой, проходящей через точку

M0 (x0; y0; z0 ) , имеют вид

x- x0 = y - y0 = z - z0 , m n p

где m, n, p – величины, пропорциональные направ- ляющим косинусам этой прямой.

С другой стороны, кривая L Î 3 есть годограф век- т о р - ф у н к ц и и r (t) = x(t)× i + y(t) × j + z(t) ×k , а в е к т о р

r¢(t0) = x¢(t0)× i + y¢(t0)× j + z¢(t0)×k направлен по касательной к кривой L в точке M0 (x0; y0; z0 ) . Поэтому проекции этого

в е к т о р а я в л я ю т с я ч и с л а м и , п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и направляющим косинусам касательной, а значит, и числам

Следовательно, можно положить m = x′(t0 ) , n = y′(t0 ) ,

Тогда искомые уравнения касательной примут вид

x - x0 = y - y0 = z - z0 . x¢(t0 ) y¢(t0 ) z¢(t0 )

p = z′(t0 ) .

(2)

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходя- щая через точку касания, называется нормалью к про -

странственной кривой в данной точке. Нормальной плос-

костью называется плоскость, пер-

	пендикулярная к касательной в точ-
	к	е	к	а	с а н и я .
			Пусть M0 (x0; y0; z0 ) – точка ка-
	сания (рис.1). Уравнение плоскости,
	проходящей через эту точку, имеет
	вид		A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0 ,
Р	где	n = (A; B;C)			– нормальный вектор
ис. 1	плоскости.			Из условия перпендику-
	плоскости.			Из условия перпендику-

лярности нормальной плоскости и касательной следует, что векторы n = (A; B;C) и r′(t0 ) коллинеарны, поэтому можно

положить A = x′(t0 ) , B = y′(t0 ) , C = z′(t0 ) . Тогда искомое уравне- ние нормальной плоскости запишется так:

342

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 6034 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc