Математика для инженеров(теория)I том

ния касательной прямой и нормальной плоскости примут соответст-

§ 9. Кривизна пространственной кривой

10 . Понятие кривизны. Единичный вектор τ каса- тельной к пространственной кривой определяется выраже-

нием τ = ddlr .

За кривизну пространственной кривой, так же как и плоской кривой, принимается предел отношения угла смежности к длине соответствующей дуги, когда последняя стремится к ну-

то его производная перпендикулярна к нему. Дифференци-

называют вектором кривизны пространственной кривой.

Та из нормалей кривой, по которой направлен вектор кри- визны кривой в данной точке, называется главной норма-

343

лью пространственной кривой. Вектор ν есть единичный вектор главной нормали.

Построим в данной точке пространственной кривой третий единичный вектор β , равный векторному произведению век-

кости: его направление называют направлением бинормали

(«второй» нормали) пространственной кривой в данной точке.

Три вектора τ , ν и β составляют тройку взаимно-

перпенди-кулярных единичных векторов, направление ко- торых связано с выбором точки на пространственной кри- вой и меняется от точки к точке. Эти три вектора образу- ют трехгранник, который называют сопровождающим трехгранником (трехгранником Френе) пространственной

кривой (рис. 1). Взаимная ориентация векторов τ , ν и β та же, что и у координатных ортов i , j ,k .

Взятые попарно, векторы τ , ν , β определяют три

плоскости, проходящие через данную точку пространст-

венной кривой и образующие грани сопровождающего трехгранника (рис.2).

нормальная плоскость. Плоскость, содержащая векторы τ и ν , называется соприкасающейся плоскостью простран-

344

касающейся плоскостью является плоскость, в которой лежит кривая).

Пример 1. Составить уравнения соприкасающейся,

спрямляющей и нормальной плоскостей винтовой линии

Спрямляющая плоскость проходит через точку M перпендикулярно вектору главной нормали ν = [β ,τ ] , где

Имеем

345

Нормальная плоскость перпендикулярна вектору ка- сательной τ и проходит через точку M. Поэтому искомое

уравнение нормальной плоскости

или

xasint - yacost - zR2 - a2 + (R2 - a2 )t = 0 . □

§ 10. Кручение пространственной кривой. Формулы Френе

10 . Понятие кручения. Формулы Френе. Соприка-

сающаяся плоскость пространственной кривой при пере- мещении вдоль кривой изменяет направление. Изменение ее направления можно охарактеризовать изменением на-

правления перпендикулярного к ней единичного вектора бинормали β .

на который поворачивается бинормаль при переходе от данной точки кривой к соседней точке) к длине l соот-

346

ветствующей дуги кривой, когда длина этой дуги стремит-

где | λ | – модуль вектора ddβl .

Скалярный множитель при ν в формуле (1) называют кручением пространственной кривой. В отличие от кривизны, кото-

рая всегда положительна, кручению приписывают знак, который выбирают так, чтобы кручение правой винтовой линии в правой системе координат было положительным. Для этого в формуле (1) нужно принять λ = -k1 , где k1 –

к р у ч е н и е . Т а к и м о б р а з о м , ф о р м у л а ( 1 ) п р и м е т в и д

347

называются формулами Френе и являются основными формулами дифференциальной геометрии пространственных кривых.

Величи ны , обрат ные кривизне и кр уче нию про - странственной кривой, называют радиусами кривизны ρ и кручения

Последняя формула дает возможность вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана па- раметрически уравнениями, в которых параметром являет- ся длина дуги l .

Рассмотрим случай, когда радиус-вектор r является функцией произвольного параметра t, т.е. r = r (t) . В этом

случае длину дуги l будем рассматривать как функцию параметра t. Тогда

Дифференцируя (5) и сокращая на 2, получим

348