Доказательство. До-
пустим, что в точке x0 функ- ция f (x) имеет локальный
максимум. Придадим зна- чению x0 приращение x .
Тогда f (x0 + D x) £ f (x0 ) .
|
|
Отсюда, при |
x < 0 |
|
|
f (x0 |
+ D x) |
- f (x0 ) |
|
имеем |
D y |
= |
³ 0. |
Зна- |
D x |
|
D x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
D y |
= f ¢(x0 - 0) = f ¢(x0 ) ³ 0 . |
(1) |
|
|
x→0 |
D x |
|
|
|
|
|
При |
x > 0 будем иметь |
D y |
£ 0 , и поэтому |
|
D x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
D y |
= f ¢(x0 + 0) = f ¢(x0 ) £ 0 . |
(2) |
|
|
x→0 |
D x |
|
|
|
|
|
Из неравенств (1) и (2) следует, что f ¢(x |
) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Случай локального минимума рассматривается анало- |
г |
и |
ч |
н |
о |
. |
□ |
Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на от- резке [a;b] , дифференцируема на интервале (a;b) и на
концах отрезка [a;b] принимает равные значения, то есть
f (a) = f (b). |
Тогда существует |
точка cÎ(a;b), |
в которой |
f ¢(c) = 0 . |
|
|
|
Доказательство. Так как |
функция f (x) |
непрерывна |
на отрезке |
[a;b] , то по теореме Вейерштрасса она прини- |
мает на этом отрезке как свое наибольшее значение М, так и свое наименьшее значение m. Возможны два случая:
1. |
M = m . |
Тогда |
f (x) постоянна на [a;b] , т. к. |
m £ f (x) £ M , и |
f ¢(x) = 0 |
в любой точке интервала (a;b) . |
2. |
M > m . Так как |
f (a) = f (b), то хотя бы одно из зна- |
чений М или m достигается в некоторой точке c , a < c < b .
Следовательно, по теореме Ферма, f ′(c) = 0 . □
Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что у графика непрерывной на отрезке [a;b] , диффе-
ренцируемой на (a;b) и принимающей на концах равные значения функции f (x) , существует точка (c; f (c)) , в кото- р о й к а с а т е л ь н а я п а р а л л е л ь н а о с и O x ( р и с . 2 )
Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке [a;b] , дифференцируема на интервале (a;b) , то
существует точка c (a;b) , такая, что справедлива фор- мула:
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
= f ′(c) . |
(3) |
|
|
|
|
|
b − a |
|
|
Доказательство. Положим |
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
= λ |
(4) |
|
|
b − a |
|
|
|
|
и р а с с м о т р и м в с п о м о г а т е л ь н у ю ф у н к ц и ю |
ϕ (x) = f (x) − f (a) − λ (x − a) |
|
. |
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, т.к. является алгебраической суммой трех непрерывных и дифференцируемых функций, и ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Значит, най-
дется такая |
точка |
c, a < c < b , |
что |
ϕ′(c) = 0 . Но |
ϕ′(x) = f ′(x) − λ . |
Поэтому |
f ′(c) − λ = 0 |
или |
f ′(c) = λ . Отсюда |
и из (4) получаем равенство (3).
Рассмотрим геометрический смысл теоремы Ла- гранжа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
MKN (рис. |
3) имеем, |
|
что |
tgα = |
NK |
|
= |
f (b) − f (a) |
, |
т.е. |
|
MK |
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
левая часть |
|
равенства |
|
(3) |
|
есть |
тангенс |
|
угла |
наклона |
|
секущей |
MN |
|
|
к оси Ox. |
|
Пра- |
вая часть равенства (3) есть тангенс угла наклона каса-
тельной в некоторой точке
(c; f (c)) , cÎ(a;b) .
Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что найдется точка (c; f (c)) , cÎ(a;b) , в которой касательная к графику функции f (x) параллельна секущей, соединяющей концы графика функции (точки (a; f (a)) и (b; f (b)) ).
Соотношение (3) можно записать в виде
f (b) - f (a) = f ¢(c) (b - a) . |
(5) |
Формулу (5) называют формулой конечных прираще- |
ний. |
|
|
|
Упражнение 1. Используя теорему Лагранжа пока- |
зать, что если f ¢(x) = 0 на интервале |
(a;b) , |
то на этом ин- |
тервале функция f (x) |
постоянна. |
|
|
Теорема Коши. |
Если функции f |
и g |
непрерывны на |
отрезке [a;b] , дифференцируемы на интервале (a;b) , при-
|
|
|
|
|
|
|
|
чем g¢(x) ¹ 0 , то существует точка |
cÎ(a;b) , такая, |
что |
справедливо равенство |
|
|
f ¢(c) |
|
|
|
f (b) - f (a) |
|
|
|
|
= |
|
. |
|
(6) |
|
g (b) - g (a) |
g¢(c) |
|
Доказательство . И з |
ус л о ви й |
т е о р е м ы |
я с н о , |
ч т о |
g (a) ¹ g (b) . Действительно, |
если бы |
g (a) = g (b) , |
то соглас- |
но теореме Ролля нашлась бы такая точка cÎ(a;b) , что g¢(c) = 0 , что противоречило бы условиям теоремы Коши.
Р а с с м о т р и м в с п о м о г а т е л ь н у ю ф у н к ц и ю
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = f (x) - λ g (x) , |
(7) |
где число λ выберем таким, |
чтобы F (a) = F (b), т.е. |
|
λ = |
f (b) - f (a) |
|
|
|
. |
(8) |
|
g (b) - g (a) |
Функция F (x) |
удовлетворяет условию теоремы Рол- |
ля, поэтому найдется такая точка |
cÎ(a;b), что F¢(c) = 0 . Из |
(7) имеем F¢(x) = |
f ¢(x) - λ g¢(x) . |
С учетом (8) |
получаем |
f ¢(c) = |
f (b) - f (a) |
× g¢(c) , откуда и следует формула (6). □ |
g (b) - g (a) |
§ 5. Правило Лопиталя
|
10 . Неопределенности вида |
|
0 |
|
, ∞ . |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
Теорема 1 |
(правило |
|
Лопиталя). Пусть |
функции |
f (x) |
|
и g (x) |
непрерывны и дифференцируемы в окрестно- |
сти |
|
точки |
a , |
за |
исключением, |
|
|
быть может, точки а; |
lim f (x) = lim g(x) = 0 |
и g′(x) ¹ 0 в |
|
указанной окрестности. |
x→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|
Тогда, если существует |
lim |
, |
|
то существует также |
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
x→a g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
и lim |
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
(x) |
= lim |
|
f ¢(x) |
. |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
x→a g (x) |
|
x→a |
|
|
|
Доказательство. Полагая f (a) = 0 = lim f (x) , g(a) = 0 = lim g(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
x→a |
получим, что функции f (x) |
и g (x) |
непрерывны в точке а. |
Это свойство вместе со свойствами, сформулированными в теореме
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, позволяет применить к функциям |
f (x) |
и |
|
g (x) |
теорему |
Коши. Пусть точка |
|
x, |
x ¹ a , принадлежит |
окрестности |
точки а, где функции |
f (x) и g (x) дифференцируемы. То- |
гда по |
теореме |
Коши найдется между |
а и х |
точка с, такая, что |
|
|
f (x) - f (a) |
|
f ¢(c) |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(2) |
|
|
g(x) |
g (x) - g (a) |
g¢(c) |
|
|
|
Если |
x ® a , то c ® a . Перейдем к пределу в равенстве |
(2) при x ® a : |
|
(x) |
|
f ¢(c) |
|
|
f ¢(x) |
|
|
|
|
lim |
|
f |
= lim |
= lim |
. □ |
|
|
|
g |
(x) |
|
|
|
|
(x) |
|
|
x→a |
c→a g¢(c) |
|
x→a g¢ |
|
|
|
Замечание 1. Отметим, что в формулировке теоремы 1 условие |
lim f (x) = lim g(x) = 0 можно заменить эквивалентным условием: функ- |
x→a |
x→a |
ции |
f (x) и g (x) являются бесконечно малыми функциями при |
x ® a.
296
Замечание 2. В частности, в формулировке теоремы 1 речь может идти о правом или левом пределе, и тогда под окрестно- стью точки а понимается правая или левая ее окрестности.
Пример 1. Найти lim sin 4x . x→0 tg 2x
Решение. В данном случае условия правила Лопиталя выполняются. Функции f (x) = sin 4x и g (x) = tg2x являются дифференцируемыми функциями, например, на интервале
æ |
π |
; |
π ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç - |
4 |
÷ и f (0) = g (0) = 0 . Применим формулу (1): |
|
è |
|
4 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin 4x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin 4x |
= lim |
|
= 2 lim cos4xcos2 2x = |
|
|
|
|
|
|
|
(tg 2x)¢ |
|
|
|
|
|
x→0 tg 2x |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 lim cos4x lim cos2 2x = 2 . |
□ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функции f (x) |
и g (x) |
дважды дифференцируемы |
в |
|
|
некоторой |
|
|
|
окрестности |
|
точки |
а, |
f (a) = g (a) = f ¢(a) = g¢(a) = 0 , |
g′′(x) ¹ 0 |
в указанной окрестности, и |
существует lim |
|
f |
¢¢(x) |
, то, применяя правило Лопиталя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g¢¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
f |
(x) |
|
= |
lim |
|
f ¢¢(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|
g¢¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
Рассуждая аналогично, нетрудно сформулировать ус- |
ловия, при которых справедлива следующая формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
(x) |
= lim |
|
f (n)(x) |
|
. |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a g |
x→a g(n) |
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Сформулировать условия, при кото- |
рых имеет место формула (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти |
lim |
x - sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
g (x) = x3 являются |
|
|
|
Решение. |
Функции |
|
f (x) = x - sin x и |
бесконечно малыми функциями при вило Лопиталя, найдем:
lim |
x - sin x |
= lim |
(x - sin x)′ |
|
(x3 )¢ |
x→0 x3 |
x→0 |
x → 0 . Применяя пра-
= lim 1- cos x .
x→0 3x2
Очевидно, f ¢(x) =1- cos x |
и g¢(x) = 3x2 также являются |
бесконечно малыми при x → 0 . Поэтому имеем |
lim |
x - sin x |
= lim |
(1- cos x)′ |
= lim |
sin x |
. |
|
(3x2 )¢ |
|
x→0 x3 |
x→0 |
x→0 6x |
Последний полученный предел есть первый замечательный предел. Однако и его можно вычислить с помощью правила Лопи-
т |
|
а |
|
|
(sin x)′ |
|
|
л |
|
|
|
|
я |
|
lim |
x - sin x |
= |
1 |
lim |
= |
1 |
lim (cos x) = |
1 |
. |
|
|
|
|
(x)¢ |
|
|
|
|
x→0 x3 |
6 x→0 |
|
6 x→0 |
|
6 |
|
|
|
При вычислении этого предела можно было восполь- |
зоваться формулой (3), положив n = 3 . □ |
|
|
|
|
a = ∞ |
|
Правило Лопиталя остается в силе |
и в |
случае |
или |
a = ±∞ . В частности, если функции |
f (x) |
и g(x) |
явля- |
ются бесконечно малыми функциями при |
x → ∞ и сущест- |
lim |
f ¢(x) |
, то |
lim |
f (x) |
= |
lim |
|
f ¢(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ g¢(x) |
|
x→∞ g (x) |
|
x→∞ g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1 |
ö |
|
|
æ1 |
öæ |
|
|
1 |
|
ö |
|
æ1 |
ö |
|
|
|
|
f (x) |
|
f ç |
|
|
÷ |
|
|
f ¢ç |
|
֍ |
- |
|
|
|
÷ |
|
f ¢ç |
|
÷ |
|
|
f ¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
lim |
= lim |
è t |
ø |
= lim |
è t |
øè |
|
|
ø |
= lim |
è t |
ø |
= |
lim |
|
|
æ1 |
ö |
æ1 |
öæ |
|
|
|
ö |
æ1 |
ö |
|
x→∞ g (x) |
t→0 |
t→0 |
|
|
1 |
|
t→0 |
|
x→∞ g¢(x) |
|
|
|
|
g ç |
÷ |
|
|
g¢ç |
֍ |
- |
|
|
|
÷ |
|
g¢ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è t |
ø |
|
|
è t |
øè |
|
|
ø |
|
è t |
ø |
|
|
|
.
Итак, рассмотрен случай нахождения предела част-
|
f (x) |
, когда функции f (x) и g(x) являются бесконеч- |
|
g(x) |
|
|
но малыми функциями при x → a. В случае, когда функции f (x) и g(x) являются бесконечно большими функциями
при x → a можно показать, что имеет место утверждение, аналогичное теореме 1. При этом можно полагать, что a = ∞ или a = ±∞ .
Упражнение 2. Сформулировать и доказать утвер-
ждение
|
|
|
|
|
|
|
о пределе частного |
f (x) |
при x → a , |
когда f (x) |
и g(x) яв- |
|
|
g(x) |
|
|
|
|
ляются бесконечно большими функциями при x → a. |
Пример 3. Найти lim |
ln2 x |
. |
|
|
x |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
Р ешен ие . Ф у н к ц и и |
f (x) = ln2 x |
и g (x) = x |
я вл яю т с я |
бесконечно большими функциями при x → +∞ . Применим
|
п р а в и л о |
|
|
Л о п и т а л я : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln2 x |
|
= |
lim |
2ln x × x |
= 2 lim |
|
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x |
|
x→+∞ |
1 |
x→+∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Еще |
раз |
применим |
правило |
Лопиталя. |
|
Получим |
|
|
ln x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 lim |
= 2 lim |
|
x |
= 2 lim |
= 0. |
□ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
x→+∞ 1 |
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. Другие виды неопределенностей. В пункте 10 изучены основ- |
|
ные неопределенности |
0 |
|
|
и |
¥ . Рассмотрим теперь неопре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деленности вида: 0×¥;¥ - ¥;1∞ ;00;¥0. |
x→a |
( |
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
)) |
|
|
П у с т ь т р е б у е т с я |
н а й т и |
f |
x |
g |
x |
, где |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = 0, lim g (x) = ¥ . Эта неопределенность приводится к виду |
|
|
x→a |
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
и л и ¥ |
с л едующим образом: |
f (x)g (x) = f (x): |
|
1 |
или |
|
0 |
g |
(x) |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) g (x) = g (x): |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К полученным выражениям применяем правило Лопи- |
|
таля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
раскрытия неопределенности вида |
∞ − ∞ , |
т. е. |
|
при вычислении |
lim é f |
(x) - g (x)ù , |
где lim f (x) = lim g (x) = ¥ |
|
|
|
|
|
|
x→a ë |
û |
x→a |
x→a |
|
|
|
используется |
|
|
|
|
преобразование |
f (x) - g (x) = |
é |
|
1 |
- |
|
|
|
1 |
ù |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
ú : |
|
|
|
|
, |
приводящее указанную |
|
|
|
|
f |
|
|
f (x) g (x) |
|
ê g (x) |
|
|
|
(x)ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность к виду |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1∞ , т. е. при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При раскрытии неопределенности вида |
вычислении |
|
|
x→a ( |
f |
( |
x |
)) |
g(x) |
|
|
x→a |
|
( |
x |
) |
x→a |
( |
x |
) |
= ¥ , а так- |
|
|
lim |
|
|
|
, где lim f |
|
|
=1, lim g |
|
|
же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 , ¥0 |
используется |
тождество |
|
( f (x))g(x) |
= eg(x)ln f (x) . |
|
Данное вы- |
ражение логарифмируют и находят предел логарифма. За-
тем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученное |
значение потенцируют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти |
lim (1+ x)ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1∞ . |
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
неопределенность |
вида |
|
|
|
|
Пусть |
y = (1+ x)ln x . |
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
)) |
|
ln (1+ x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
lim ln y = lim |
ln xln 1+ x |
= lim |
|
= lim |
|
|
|
1+ x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x→0 |
x→0 |
( |
|
|
x→0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x→0 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
xln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xln2 x |
|
|
ln2 x |
|
|
|
2ln x |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
1 |
|
= - lim |
= - lim |
= - lim |
|
|
x |
|
|
|
= 2 lim |
= 2 lim |
|
|
x |
= 0 |
x +1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
x→0 |
|
x→0 |
1+ |
1 |
|
x→0 |
- |
|
|
|
|
x→0 1 |
|
|
|
|
x→0 |
- |
|
. |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда lim y = e0 =1 . □ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем lim ln y = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 6. Формула Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
f (x) |
имеет производную в точке а, |
т |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
lim |
|
f (a + h) − f (a) |
= f ′(a) |
и |
л |
и |
|
|
x→a |
h |
|
|
|
f (a + h) − f (a) = f ′(a)h +α (h)h |
|
|
, |
или |
f (a + h) = f (a) + f ′(a)h +α (h)h , |
|
(1) |
|
|
|
где α (h) – бесконечно малая функция при |
h → 0 . По- |
скольку α (h)h = o(h) при h → 0 , |
то формулу (1) |
можно за- |
писать в виде |
|
|
|
|
|
f (a + h) = f (a) + f ′(a)h + o (h) . |
|
(2) |
При |
h → 0 величина o(h) |
быстрее стремится к нулю, |
чем h. Если этой величиной пренебречь, то получим сле- дующую приближенную формулу:
|
|
f (a + h) ≈ f (a) + f ′(a)h . |
(3) |
В общем случае сформулируем задачу так: найти многочлен n-ой |
степени P |
(h) = c |
+ c h + c h2 +K + c hn такой, чтобы имело место |
n |
0 |
1 |
2 |
n |
|
равенство |
|
|
f (a + h) = P (h) + o(hn ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Если эту задачу решить, то всякую функцию можно |
заменить |
многочленом |
Pn (h) . Многочлен удобен |
при ис- |
следовании функции. Погрешность такой замены будет
мала по сравнению с hn .
Предположим, что функция f (x) имеет в некоторой
окрестности точки а производные до порядка n включи- тельно. В этом случае имеет место следующее соотноше- ние:
|
f (a + h) = f (a) + f ′(a)h + |
f ′′(a) |
h2 +K + |
f (n) (a) |
hn + o(hn ).(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
n! |
|
|
|
Эта формула носит название формулы Тейлора. |
|
|
Чтобы ее доказать, достаточно установить, что |
|
|
|
lim ϕ (h) = 0 , где ϕ (h) = f (a + h) − P |
(h) , |
|
|
|
h→0 hn |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
f ′′(a) |
|
|
|
f (n) (a) |
|
|
|
|
Pn (h) = f (a) + f ′(a)h + |
h2 |
+K+ |
hn |
– многочлен |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
Т |
е |
й |
л |
|
о |
|
р |
а |
. |
Действительно, будем иметь:
ϕ (h) = f (a + h) - f (a) - f ¢(a)h -K - |
f |
(n) (a) |
hn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
(h) = f |
¢ |
(a + h) - f |
¢ |
(a) - f |
¢¢ |
(a)h -K - |
|
|
f (n) (a) |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
(n -1)! h |
, |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………………………………………… |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ϕ(n−2) (h) = f (n−2) (a + h) - f (n−2) (a) - f |
|
(n−1) (a)h - |
|
|
f (n) (a)h2 , |
|
2 |
|
|
|
ϕ(n−1) (h) = f (n−1) (a + h) - f (n−1) (a) - f (n) (a)h . |
|
(5) |
Отсюда получим, что ϕ (0) = ϕ¢(0) =K = ϕ(n−1) (0) = 0 . По правилу |
Лопиталя найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ϕ (h))(n−1) |
|
|
|
|
ϕ(n−1) (h) |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ϕ (h) |
|
= lim |
= lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(hn )(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
h→0 hn |
|
|
|
h→0 |
|
h→0 |
|
n!h |
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулой (5): |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ϕ (h) |
= |
1 |
lim |
ç |
f |
n−1 |
|
(a + h) - f |
|
|
n−1 |
(a) |
- f |
(n) (a)÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
h→0 hn |
n!h→0 |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
( f (n) (a) - f (n) (a))= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, формула (4) доказана. □
Величину o(hn ) называют остаточным членом формулы Тейлора
в форме Пеано. Имеют место и другие выражения для ос- таточного члена. В частности, если предположить существование
(n +1) -ой производной в некоторой окрестности точки а, то справедли-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
о |
р |
|
а |
в |
|
е |
н |
|
|
с |
т |
в |
о |
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
f ¢¢(a) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f (a + h) = |
f (a) + f |
(a)h + 2! h |
|
+K + |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) |
(a) |
|
|
f |
(n+1) (a +θ h) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
hn + |
|
hn+1, |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где θ |
– некоторое число, θ Î(0;1) . |
|
|
|
|
|
|
Формула (6) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
