Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6033 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Из формулы (3) следует, что с геометрической точки зрения дифференциал дуги в точке M с абсциссой x равен длине соот- ветствующего отрезка касательной к линии S в точке M (x; y).

Таким образом, за приближенное значение длины дуги при доста- точно малом x принимается дифференциал этой дуги, т.е. длина отрезка касательной.

Если кривая S задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), то, используя принятые в механике обозначения

x¢ = x&, y¢ = y&,

имеем

y′

yt′

Подставляя

y′ =

в формулу

xt′

(

)

dS =

dt.

(4)

+ y

По аналогии можно получить формулу для диффе-

ренциала дуги пространственной линии

dS =

dx2 + dy2 + dz2

или

dS =

dt.

(5)

+ y

+ z

Упражнение 1. Доказать справедливость утвержде-

ния 1.

Пример 1. Найти дифференциал дуги циклоиды

x = a(t − sint), y = a(1− cost) .

Решение. Поскольку

x = a(1− cost), y = asint , то

dS = a

(1− cost)2 + sin2 t dt = a

2(1− cost) dt = 2a

sin

dt .

□

Пример 2. Найти дифференциал дуги кардиоиды r = a(1+ cosϕ) .

Решение. Здесь кривая задана уравнением в поляр- ных координатах r = r(ϕ) , и параметром является полярный

угол ϕ .

	Дифференцируя по ϕ равенства x = r × cosϕ ,						y = r ×sinϕ , находим
x′	= r′ cosϕ − r sinϕ ,	y′	= r′ sinϕ + r cosϕ , отсюда x′ 2					+ y′ 2	= r′2	+ r2 .
ϕ	ϕ	ϕ	ϕ				ϕ	ϕ	ϕ
Поэтому по формуле (4)

			dS = r′2		+ r2	dϕ .				(6)
				ϕ

Формула (6) есть дифференциал дуги кривой, задан- ной уравнением в полярных координатах r = r(ϕ).

Т.к. для кардиоиды rϕ¢ = −asinϕ , тогда, согласно (6),

323

dS = asin2 ϕ + (1+ cosϕ)2 dϕ = a2 ×(1

. □

			§ 2. Кривизна пло-
			ской кривой

ис. 1	Р	1	0 . П о н я т и е к р и в и з н ы .
ис. 1		1	0 . П о н я т и е к р и в и з н ы .
		Одним из элементов, характери-
		Одним из элементов, характери-

зующих форму кривой, является степень ее искривленно-


с т и	и л и	и з о г н у т о с т и .
Пусть	кривая	задана уравнением	y = f (x) .	Проведем
касательную к этой кривой в точке M (x; y) (рис. 1).						Обо-
значим через α угол между касательной и осью Ox .						Тогда
касательная в точке		M1 образует с осью Ox угол α +				α .
Угол	α между касательными в		указанных		точках
называют углом смежности. Угол смежности				α	в неко-
торой степени дает		представление об изогнутости дуги
						MM1 :

чем больше угол смежности, тем больше изогнутость кри- вой. Но один и тот же угол смежности могут иметь и две дуги с явно различной изогнутостью. Сама по себе вели- чина угла α еще не может служить мерой этой изогну- тости, поэтому вводится понятие средней кривизны.

Средней кривизной Kср дуги 0 1 называется отношение

M M

с о о т в е т с т в у ю щ е г о у г л а с м е ж н о с т и α к д л и н е д у г и

DS : Kср =	Dα	.
	DS

Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных час- тей (дуг) может быть различной. Для того, чтобы охарактеризовать

степень искривленности данной линии в непосредственной близости к данной точке, вводят понятие кривизны кривой в этой точке.

Кривизной линии в данной точке M называется предел

средней	кривизны дуги			при	M1 ® M :
средней	кривизны дуги		MM1	при	M1 ® M :
K = lim Dα	= lim	Dα .
M1→M DS	S→0	DS

324

Т.к. в любой точке прямой

касательная к ней совпадает с са-

мой прямой, т.е.

α = 0 ,

то сред-

няя кривизна (и кривизна) прямой

равна нулю в любой ее точке.

Для окружности угол смеж-

ности

равен

углу между ее

радиусами

OM0

OM1

(рис. 2),

длина

дуги

M1M0

выражается

формулой

S = R

α ,

где R – ради-

ис. 2

ус

данной

окружности.

Следовательно,

Kср =

, K =

т.е. кривизна окружности

постоянна и равна вели-

чине, обратной радиусу.

20 . Формула кривизны. Выведем формулу для вы-

числения кривизны данной линии в любой ее точке M (x; y) . При этом будем предполагать, что кривая задана в

декартовой системе координат уравнением y = f (x) и что функция f (x) имеет непрерывную вторую производную. Дли-


ну дуги		(рис.1), отсчитываемую от некоторой				фиксированной
ну дуги	M0M	(рис.1), отсчитываемую от некоторой				фиксированной
точки M0 обозначим через S , тогда					0M	и
точки M0 обозначим через S , тогда			S = M0M1	− M	0M	и	S = MM1 .

Как непосредственно видно из рис. 1, угол смежности, со-

ответствующий						дуге			, равен абсолютной		величине
ответствующий						дуге		MM1	, равен абсолютной		величине
разности углов α + α и α ,									т.е. равен \|	α \| .
Средняя кривизна кривой на участке MM1 по определению равна:
Kср =	\|	α \|	=	α .
Kср =			=	α .
\|		S \|		S
Чтобы получить кривизну в точке M, нужно найти
предел		полученного						выражения при		условии,	что длина
дуги											стремится
дуги						α \|		MM1			стремится
к нулю: K =				lim	\|	α \|	.
к нулю: K =				lim	\|		.
				S→0	\|	S \|

Т.к. обе величины α и S зависят от x (являются функциями от x), то α можно рассматривать как функцию от S. Можно счи-

325

тать, что эта функция задана параметрически с парамет-

ром x. Тогда lim	Dα	=	dα	и, следовательно:
ром x. Тогда lim	DS	=	dS	и, следовательно:
S→0	DS		dS		dα

				K =		.	(1)
				K =	dS	.	(1)
					dS

Для вычисления ddSα используем формулу дифферен-

цирования функции, заданной параметрически: ddSα = ddxα : dSdx .

Вычислим производную

dα

через функцию y = f (x) .

Так как tgα =

= y¢

, то

α = arctg y′

. Дифференцируя по-

y′′

следнее равенство по x,

получим

. По формуле

αx =

(1.5) имеем:

1+ yx

¢¢

dα

¢2

¢¢

1+ yx

¢2

(1+ yx

)

1+ yx

Согласно (1), получаем

y¢¢

K = x 3 . (2)

(1+ y¢x2 )2

Пример 1. Найти кривизну линий:

а) y = x4 - 4x3 -18x2 в любой точке и, в частности, в точке O(0;0) ;

	ì	2	,
б)	ïx = t		,
б)	í
	ïy = t3
	î

Решение.

в точке	(1;1) ;	в) x2 + xy + y2 = 3 в точке (1;1) .
а)	Так	как	y¢ = 4x3 -12x2 - 36x ,

y¢¢ =12x2 - 24x - 36 , то, согласно формуле (2), в любой точке

326

данной линии ее кривизна K =

|12x2 - 24x - 36 |

. В ча-

(1+ (4x3 -12x2 - 36x)2 )2

стности, в точке (0;0) кривизна

x=0 = 36 .

y=0

б)

Если

уравнение

линии

дано

параметрической

форме

x = ϕ(t) ,

y = f (t) ,

то

y¢ =

f ′(t)

y¢¢ =

f ′′(t)ϕ′(t) - f ′(t)ϕ′′(t)

(t)

[ϕ (t)]

¢¢

K =

(t)ϕ (t) - f

(t)ϕ (t)

или

K =

y x

- y x

Последова-

(x¢

)

(t) +

f ¢

+ y

ëϕ¢

(t)û

тельно находим

x′(t) = 2t ; x′′(t) = 2 ; y¢(t) = 3t2 ;

y′′(t) = 6t . Тогда

K =

|12t2 - 6t2 |

6t2

Найдем

то

значение параметра

(4t2 + 9t4 )2

x =1

y =1.

которое

соответствует

значениям

Имеем:

= t

ï1

Þ t =1.

Тогда K

x=1 =

= t

13 13

ï1

в) Если линия задана в

неявной

форме

уравнением

F(x, y) = 0 ,

то

для

вычисления

ее

кривизны

применяется

формула

¢ ¢¢

¢¢

K =

Fx (Fy Fyx

- Fx Fyy )

+ Fy (FxFxy - Fy Fxx )

(3)

(Fx¢2 + Fy¢2 )

Последовательно, согласно условию примера, нахо-

дим:

′

= 2x + y,

F′

= x + 2y,

F′′

= 2,

F′′

= 2,

′′

=1, F′′

=1. Вы-

числяя значения всех этих частных производных в данной

точке,

получим:

F′

(1;1) = 3,

F′′

(1;1) = 2,

′

(1;1)

′′

1. Тогда K

x=1

. □

3, Fyy (1;1)

2, Fxy (1;1)

Fyx (1;1)

y=1

Упражнение 1. Проверить формулу (3).

327

§ 3. Радиус, центр и окружность кривизны

Пусть задана кривая y = f (x) (рис.1). Радиусом кривизны кривой в данной ее точке называется величина R , обратная кри-

визне этой линии в этой точке: R = K1 .

Учитывая (2.2), получаем

			3
	(1+ y′		2 )	2
R =		x			.	(1)
		y′′


		x

На нормали к кривой в точке M отложим отрезок MO = R в сторону

вогнутости кривой (рис. 1).
	Точка O называется				центром
	кривизны в точке M.						1
	Окружность			радиуса	R =		1	с
	Окружность			радиуса	R =		K	с
							K
	центром в точке О называется окружно-
	стью кривизны в точке M . Ясно,					что		в
	данной		точке M	кривизна кривой
	и кривизна окружности кривизны равны
Р	между собой.
ис. 1	Найдем координаты центра кривизны
O(α; β ) . Уравнение	нормали		к кривой	y = f (x)	в	точке
M (x; y) имеет вид
	Y − y = −	1	(X − x) ,			(2)
	Y − y = −	y′	(X − x) ,			(2)
		y′
где X и Y – текущие координаты точки, принадлежащей нормали;						x, y		–

координаты точки M.

Так как точка O(α; β ) лежит на нормали, то ее коор- динаты удовлетворяют уравнению (2):

β − y = −	1	(α − x) .	(2΄)

	y′
Расстояние между точками M и O равно радиусу кри-
визны R, поэтому
(α − x)2 + (β − y)2 = R2 .			(3)

328

И з у р а в н е н и й ( 2 ΄ )

и ( 3 )

н а х о д и м

(α − x)2

= R2 ,

(α − x)2 =

y′2

R2 ,

о т к у д а

y′2

+ y′2

α = x ±

y′

R и

β = y m

R . Подставив R из равенст-

1+ y′2

в а ( 1 ) в п о л у ч е н н ы е в ы р а ж е н и я , б у д е м и м е т ь

α = x ±

y′(1+ y′2 )

β = y m

1+ y′2

(4)

| y′′ |

Для определения знаков в формулах (4) нужно рассмотреть случаи,

когда

y′′ > 0

y′′ < 0 .

Если

y′′ > 0 , то в

соответствующей

точке кривая вогнута,

β > 0

и нужно взять нижние знаки,

т.е.

α = x −

y′(1+ y′2 )

β = y +

1+ y′2

(5)

y′′

Упражнение 1. Проверить, что формулы (5) остаются

верными для любых знаков

y′

и y′′ .

Если кривая задана параметрически, то формулы (5)

α = x −

y′(x′2 + y′2 )

β = y +

x′2

+ y′2

(6)

x′y′′ − x′′y′

x′y′′ −

x′′y′

Упражнение 2. Проверить формулы (6).

Пример 1. Найти наименьшее значение радиуса кри-

визны параболы y2 = 2 px .

Решение. Из условия примера следует, что производная y′ =

2 px

не определена в точке x = 0 .

Поэтому здесь удобнее рас-

сматривать x как функцию y, т.е. x =

. Формула

(1) в

2 p

(1+ x′2 )

этом случае имеет вид R =

x′′ |

329

						3
Последовательно находим: x¢ =	y	, x¢¢ =	1	, откуда R =	( p2 + y2 )	2	.
Последовательно находим: x¢ =	p	, x¢¢ =	p	, откуда R =	p2		.

Из последнего равенства следует, что R имеет наименьшее значение при y = 0, т.е. Rmin = p . □

Пример 2. Написать уравнение окружности кривизны линии y = x2 - 6x +10 в точке A(3;1).

Решение. Координаты центра кривизны определим по

ф о р м у л а м ( 5 ) .

Т . к .

y′ = 2x - 6 , y′′ = 2 ,

т о

α = x -

(2x - 6)(1+ (2x - 6)2 )

;

β = x2 - 6x +10 +

(1+ (2x - 6)2 )

П р и

x = 3 ,

y = 1

и м е е м

α = 3, β =

Радиус кривизны есть расстояние между центром

кривизны

точкой

A(3;1).

Следовательно,

ö2

R = (α - 3)2

+ (β -1)2 = 0 + ç

-1÷ =

. Тогда

уравнение

ок-

ружности кривизны будет иметь вид (x - 3)

+ (y -

)

. □

§4. Понятие об эволюте и эвольвенте

Вобщем случае центры кривизны изменяют свое положение при перемещении точки вдоль кривой.

Геометрическое место центров кривизны данной кривой назы- вается ее эволютой, а сама данная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой (или разверткой или инволютой).

Формулы (3.5), определяющие положение центра кривизны кривой, можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты, параметром которой служит абсцисса x эвольвенты.

Пользуясь уравнениями (3.5), как параметрическими уравне- ниями эволюты, можно доказать следующие ее два свойства:

1. Нормаль эвольвенты является касательной к ее эволюте.

330

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (3.5), равен

dβ	=			dβ	:	dα	.
dα	=			dx	:		.
dα				dx		dx
				С
dα	=		3y′′2 y′2 − y′y′′′ − y′3 y′′′
dx							y′′2
dβ		=		3y′′2 y′ − y′′′ − y′2 y′′′				,
dx		=					y′′2	,
dx							y′′2

	учетом				(3.6),
= −y′	3y′′2 y′ − y′′′ − y′2 y′′′	,
= −y′	y′′2	,
	y′′2
получаем соотношение			d β	= −	1	.
получаем соотношение			dα	= −		.
			dα		y′

Но y′ есть угловой коэффициент касательной к кри-

вой в соответствующей точке, поэтому, из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, т.е. нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте.

□

2. Дифференциал дуги эволюты равен дифференциалу радиуса кривизны эвольвенты.

Упражнение 1. Доказать равен-

ство дифференциалов дуги эволюты и радиуса кривизны эвольвенты.

Из данного свойства следует, что если

вдоль данной дуги эвольвенты радиус ее кривизны меняется монотонно, то изменение Рис. 1 длины радиуса кривизны эвольвенты при

переходе от одного конца ее дуги к другому, равно длине дуги между соответствующими точками эволюты.

Оба свойства эволюты могут быть проиллюстрированы сле- дующим образом: вообразим себе эволюту жесткой кривой, на кото- рую натянута гибкая нить, закрепленная одним концом в некоторой точке эволю- ты. При сматывании с эволюты этой ни-

ти в натянутом состоянии свободный ее конец опишет одну из эвольвент. На рис.1 в качестве эволюты взята окруж-

ность и указанным путем построена эвольвента окружности. Отметим, что одной эволюте соответствует бесчис- ленное множество различных эвольвент.

Рис. 2

Пример 1. Построить параметри-

331

ческие уравнения эвольвенты окружности радиуса a, которая проходит через точку M0 (a;0) .


Решение. Учитывая, что CM = CM0 = at (рис.2), заключаем, что
	x = OP = OK + KP = a cost + at sin t ,
	y = PM = CK − CN = asint − at cost .
Таким образом, параметрические уравнения эволь-
в е н т ы	о к р у ж н о с т и
x = a(cost + t sin t) , y = a(sint − t cost) . □		(1)

§ 5. Векторная функция скалярного аргумента

Рассмотрим точку M (x; y; z) , движущуюся по некоторой линии γ

в пространстве (рис.1). Радиус-вектор r = OM точки M бу- дет иметь определенное направление и длину в фиксированный мо-

мент времени t. С течением времени направление и длина вектора OM

б у д у т	и з м е н я т ь	с я .
Таким образом,	имеем дело с переменным	вектором

OM или с переменной векторной величиной r , зависящей от времени t:

r = r (t) .

(1)

Равенство (1) называется векторным уравнением движения

точки M.

и каждому значению t T

Если множество

по-

ставлен в соответствие един-

ственный вектор r (t) трехмер-

ного

пространства 3 ,

то го-

ворят, что на множестве T за-

дана вектор-функция r (t) ска-

лярного аргумента t.

Разлагая

вектор

по

осям координат, можно уравнение

пространственной

кривой

(1)

ис. 1

представить

виде

r (t) = x(t)

+ y(t)

+ z(t)

, где

– орты

координатных

332

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 6033 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc