Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

ис. 2

ис. 1

§ 5. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование

Будем говорить, что переменная y как функция аргумента x задана па-

раметрически,	если обе	переменные x
и y заданы как	функции	x = ϕ(t), y =ψ (t)

некоторой третьей переменной t, называемой параметром. Параметрические уравнения играют важную роль, на-

пример,

в механике, где координаты x и y движущейся точки рассматриваются

как функции времени.

Пример 1. Установить параметрическое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат.

Решение. Пусть M (x; y) – любая точка этой окружно-

сти, t – угол АОМ (рис. 1). Имеем
x = R cost, y = Rsint .	(1)

Соотношения (1) определяют параметрическое урав- нение окружности. Параметр t может принимать любые значения, но в данном случае, чтобы точка M (x; y) один

раз обошла окружность, t будет изменяться так: 0 ≤ t ≤ 2π . Возводя уравнения (1) в квадрат и складывая их, получим

у р а в н е н и е о к р у ж н о с т и в в и д е x2 + y2 = R2 . □

Пример 2. Получить уравнение линии, являющейся траекторией фиксированной точки окружности радиуса R, катящейся без скольжения по прямой.

Решение. Указанную прямую примем за ось Ox пря- моугольной системы коор- динат Oxy (рис. 2). Пусть

фиксированная точка при начальном положении ок- ружности находилась в на-

Р чале координат, а после то- го, как окружность повер- нулась на угол t, заняла по-

ложение M.

283

Имеем	x = OP = OK − PK, y = MP = CK − CN	и
	PK = MN = Rsint , CK = R, CN = R cos t.	Значит,
OK = MK = Rt,	PK = MN = Rsint , CK = R, CN = R cos t.	Значит,
x = Rt − Rsin t,	y = R − Rcos t или
	x = R(t − sin t), y = R(1− cost) .	(2)

Уравнения (2) называют параметрическими уравне-

ниями циклоиды. Если параметр t изменяется от 0 до 2p, то получается одна арка циклоиды. □

Пусть в рассматриваемом промежутке изменения па-

раметра t функции ϕ(t) и ψ (t) дифференцируемы

нужное

число

раз, а функция

x = ϕ(t) имеет обратную функцию

t = Φ(x)

y =ψ [F(x)]

Найдем производную функции y = y(x)

по аргументу

x. Дифференцируем

y как сложную функцию, получим

y′(x) =ψ ′(t) ×t′(x) .

(3)

В силу утверждения 2.1 будем иметь

(4)

t (x) = F

(x) =

ϕ (t)

Из (3) и (4) имеем

ψ ′(t)

(5)

y (x)

ϕ (t)

Для вычисления второй производной

y′′(x) использу-

ем определение второй производной и формулу (5):

ö ¢

¢¢

(t)ϕ

¢¢

(t)

(t) -ϕ

(t)ψ

(t)

y (x) = ç

¢(t)

×t (x) =

(ϕ¢(t))2

ϕ¢(t)

(6)

ψ ¢¢(t)ϕ¢(t) -ϕ¢¢(t)ψ ¢(t)

(ϕ

(t))

Пример 3. Вычислить вторую производную функции

y(x),

заданной параметрически уравнениями (2).

Решение. Используя формулы (5) и (6), получим ра- венства:

ö′

Rsin t

çctg

¢¢

y (x) =

R(1- cost)

= ctg

y (x) =

R(1- cost)

4Rsin

4 t .

284

Здесь t ¹ 2π k , если k Î . □

Задания для самостоятельной работы

1. Пользуясь определением, найти производные следую- щих функций в заданной точке x0 :

	а) y = 5x2 + 2x +1, x =1;	б) y = x3 − 3x + 2, x = −1.
	0			0
2	. Написать уравнение касательной и нормали к графику
	функции y = f (x) в точке,	абсцисса которой равна x0 .
	Найти угол наклона касательной к оси Ох:
	а) y = 5x2 + 2x +1, x =1;	б) y = x3 − 3x + 2, x =1.
	0			0
3	. Точка движется прямолинейно по закону s = s(t) . Найти
	ее скорость и ускорение в момент времени t0 :
	а) s = 2t3 + 2t2 +1, t = 0 ;	б) s =1+ t + t3, t	0	=1 .
	0		0
4	. Пусть y = eαt + t – закон изменения количества теплоты,

сообщаемой телу при нагревании его до температуры t. Тогда теплоемкость тела Q(t) есть производная от зако-

на изменения теплоты. Найти теплоемкость тела при температурах:

а) t = 0o ,	б) t	2	=1o ,	в) t =10o .
1		2		3

5. Если y = ϕ(t) – закон изменения магнитного потока в за- висимости от времени, мгновенное значение электро-

движущей силы индукции			ε = ϕ′(t) . Пусть		ϕ(t) = e2t cos3t .
Найти ε (ЭДС) в моменты времени:
а) t = 0,	б) t = 3,			в) t =100 .
6. Найти производные следующих функций:
						x3	+			+1
а) y = ex sin x ;				б)	y =	x3	+		x	+1	;
а) y = ex sin x ;				б)	y =			x2			;
		tg x						x2
	в) y =	tg x		;
	в) y =	ctg 2x		;
		ctg 2x

285

				y = 2cos x ; д) y =
		г)		y = 2cos x ; д) y =				x + x +	x	; е)
y =	1		ln	x − a		, a > 0 ;
y =			ln			, a > 0 ;
	2a			x + a
		ж)		y =	arccos x		;			з)
		ж)		y =			;			з)
						x

y = ln(ex + 1+ e2x );

и) y = arctg(x + 1+ x2 ).

7. Найти производные следующих функций:

а) y = x4x ; б) y = xsin x ; в) y = (ln x)cos x .

8. Найти производные следующих функций, заданных не-

явно:
а)	x3 + y3 = 0 ;	б)	x2	+	y2	=1;
			a2		b2

в)	1+ ln(x2 + 2xy +1) = 0 .

9. Найти производные указанного порядка от данных функций:

	а)	y = cos(2x +1),	y′′′ − ?;
	б)	y = e3x+1, y(4) (0) − ?;
	в)	y = lg(sin x), y′′	– ?;
г)	y = x3 cos x, y(n) – ?;
д)	y = x2ex , y(5) – ?

286

ГЛАВА 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1. Дифференциал функции, его геометрический

и механический смысл

10 . Понятие дифференцируемости функции в точке.

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке

x, если ее приращение y в этой точке можно представить

в виде

D y = AD x +α (D x) × D x ,	(1)
где А – некоторое число, не зависящее от	D x, α (D x) –
бесконечно малая функция при x → 0 .

Теорема 1. Для того, чтобы функция y = f (x) была дифференци- руемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную f ¢(x) .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Тогда справедлива формула (1). Разделим обе части этого равенства на x и

получим

DD xy = A +α (D x) .

По теореме 5.6.1 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции это означает, что существует

lim D y = A , т. е. f ¢(x) = A.

x→0 D x

Достаточность. Предположим, что функция y = f (x) имеет производную в точке x, т. е. существует

lim D y = f ¢(x) .

x→0 D x

Тогда, по той же теореме, имеем

DD xy = f ¢(x) +α (D x).

Отсюда

287

D y = f ¢(x)D x +α (D x)D x ,

то есть функция y = f (x) дифференцируема в точке x.

□	¢
Из доказательства теоремы 1 следует, что в формуле (1)	A = f (x) .
20 . Дифференциал функции. Пусть функция	y = f (x)

дифференцируема в точке x . Тогда приращение функции в этой т о ч к е м о ж е т б ы т ь з а п и с а н о п о ф о р м у л е ( 1 ) , г д е

lim α (D x) = 0 . Так как α (D x) × D x является бесконечно малой

x→0

функцией более высокого порядка по сравнению c A× D x (при


условии , что	A ¹ 0 ) , то		lim	α (D x)D x		= lim	α (D x)		= 0 . По -

			x→0		AD x	x→0		A
этому первое слагаемое			A× D x является главной частью прира-
щ е н и я D y ,	л и н е й н о й о т н о с и т е л ь н о D x .
Главная часть		приращения функции D y						в	точке x,
линейная	D x ,				дифференциалом				функции
относительно		называется

y = f (x)

в этой точке. Для обозначения дифференциала использу-

ется обозначение dy = A× D x , а поскольку		A = f ′(x) , то
dy = f ¢(x)D x = f ¢(x)d x .		(2)
Если A = 0 , то A× D x	не является, вообще говоря, главной
частью приращения D y .	В этом случае,	по определению,

dy = 0 .

30 . Геометрический смысл дифференциала. Для вы-

яснения геометрического смысла дифференциала проведем к графику функции y = f (x) в точке M (x; y) касательную МТ (рис.1) и обозначим через ϕ угол ее наклона к поло- жительному направлению оси Ox .

Поскольку tgϕ = f ¢(x), то dy = tgϕ × Dx . Поэтому из тре-

угольника MLN следует, что дифференциал dy есть прира- щение ординаты точки касания, соответствующее приращению ар-

гумента			x .
	Из обозначения производной функ-
ции	dy	или		df (x)	видно, что производная
				dx
	dx

288ис. 1 Р

функции y = f (x) равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

40 . Механический смысл дифференциала. Рассмот-

рим неравномерное прямолинейное движение точки по за- кону s = f (t) , где s – длина пути, t – время. Пусть

Ds = f (t + Dt ) - f (t) выражает истинное приращение пути за промежуток времени (t ;t + Dt) .

Вычислим дифференциал пути. Так как s¢ = f ¢(t) = v(t) – скорость в момент t, то ds = s¢(t )dt = v(t)dt , т. е. ds = v(t)dt .

Таким образом, дифференциал пути равен прираще- нию пути, полученному в предположении, что, начиная с рассматриваемого момента времени t, точка движется равномер- но, сохраняя приобретенную скорость.

50 . Инвариантность формы дифференциала. Найдем

дифференциал	сложной функции. Пусть y = f (u) ,	где
u = ϕ (x) , причем	f (u) имеет производную по u, а ϕ (x)	– по

x. Тогда, по правилу дифференцирования сложной функ- ции, получаем

dydx = fu¢ (u)×ϕ¢(x) .

Значит, dy = fu¢ (u) ϕ¢(x)dx . Поскольку ϕ¢(x)dx = du , то dy = f ¢(u)du .

Таким образом, форма записи дифференциала не зависит от того,

является аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называют

инвариантностью формы дифференциала.

Пример 1. Найти дифференциал сложной функции

y = cosu,u = 3				.
			x
Решение.	1				1	sin(3		)dx . □
Имеем dy = -sinu du = -		sinu dx = -
							x

33 x2					33 x2

60 . Таблица дифференциалов. Согласно формуле (2),

можно из таблицы производных получить аналогичную таблицу для дифференциалов. Так, из формулы

(uv)¢ = u¢v + uv¢ , умножив обе части на dx , будем иметь:

¢	¢	¢
(uv)
	dx = u dx ×v + u ×v dx , или d (uv) = du ×v + u × dv и т. д.

289

§2. Применение дифференциала

вприближенных вычислениях

Пусть имеет место формула (1.1). Перейдем от нее к приближенной формуле y ≈ dy или D y » y′D x . Тогда f (x + D x) - f (x) » f ¢(x)D x ,

откуда
f (x + D x) » f (x) + f ¢(x)D x .	(1)

Формула (1) позволяет вычислить приближенное зна- чение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно ее значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение ар- гумента является достаточно малым.

Пример 1. Найти приближенное значение e0,2 . Решение. Воспользуемся формулой (1). В данном

случае

f (x) = ex .

Положим

x = 0, x = 0,2 .

Будем

иметь:

ex+Δ x - ex

» (ex )′ D x

или

e0,2 - e0 » e0 ×0,2 .

Тогда

e0,2 »1+ 0,2 =1,2 .

Итак, e0,2 »1,2 . □

и x = 0 получим формулу

Более того, при малых

e x »1+ D x .

(2)

Пример 2. Найти приближенное значение sin 29o .

Решение. Известно, что

sin30o = 0,5 . Используем фор-

мулу (1). В качестве

x примем радианную меру 1o , т. е.

величину

2π

со

знаком

минус.

Имеем

360

180

sin(x + D x) - sin x » cos x × D x ,

x =

, Dx = -

Поэтому

полу-

180

чим, что

sin 29o » sin 6

- cos

6 ×

» 0,4849 . □

180

§ 3. Дифференциалы высших порядков

290

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некото-


ром интервале	(a; b) . Дифференциал		этой функции
dy = f ′(x)dx, который также называется		ее	первым диффе-
ренциалом, зависит от двух переменных		x	и dx.
Пусть функция	f ′(x) , в свою очередь, дифференцируема в неко-

торой точке x0 (a; b) . Тогда дифференциал в этой точке функции dy ,

рассматриваемой как функция только от x (т.е. при неко- тором фиксированном dx ), если для его обозначения использовать сим-

в о л	δ ,	и м е	е т	в и д
δ (dy) = δ [ f ′(x)dx]		= [ f (x)dx]′	δ x = f ′′(x )dxδ x.


		x=x0	x=x0	0

Значение дифференциала δ (dy) ,
			т.е. дифференциала

от первого дифференциала, в некоторой точке x0 при dx = δ x назы-

вается вторым дифференциалом функции f							в этой точке и обозначается
ч	е	р	е	з	d 2 y	,	т	.	е	.
				d 2 y =	f ′′(x	)dx2.				(1)
					0

При записи степени дифференциала аргумента приня- то опускать скобки (в частности, вместо (dx)2 будем пи-

с	а	т	ь						dx2	)	.
Подобным же образом, в том случае, когда производная (n −1) -го
порядка	y(n−1)	дифференцируема в точке x ,						определяется дифферен-
						0
циал n -го порядка d n y функции y = f (x) в точке x										как дифференциал
δ (d n−1y)									0	d n−1y ,
δ (d n−1y)	от дифференциала (n −1) -го порядка									d n−1y ,	в кото-
ром δ x = dx :			d n y = δ (d n−1y )
							δ x=dx		.
									.
Имеет место формула:
Имеет место формула:
			d n y = f (n) (x)dxn .								(2)
Отсюда получаем другую запись для n-ой производ-
ной:
			f (n) (x) =	d n y	.						(3)
			f (n) (x) =		.						(3)
				dxn

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (2), используя метод математической индукции.

291

Пример 1. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y = (2x - 3)3 .

Решение. Используя формулу dy = f ¢(x)dx , а также формулы (1) и (2), имеем:

dy = 3(2x - 3)2 × 2dx = 6(2x - 3)2 dx,

d 2 y =12(2x - 3)× 2dx2 = 24(2x - 3)dx2 , d3 y = 24 × 2dx3 = 48dx3. □

§ 4. Теоремы о среднем

Рассматриваемые в этом параграфе теоремы о сред- нем значении называют еще основными теоремами о диф-

ф е р е н ц и р у е м ы х	ф у н к ц и я х .
Говорят, что функция y = f (x)	имеет в точке x0 ло-

кальный максимум (минимум), если существует δ -

окрестность (x0 -δ ; x0 + δ ) точки x0 , такая, что

"xÎ(x0 -δ ; x0 + δ ) : f (x) £ f (x0 ) ( f (x) ³ f (x0 )) .

Локальный максимум и локальный минимум объеди-

няются общим термином – локальный экстремум. Локаль-

ными называются свойства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или иной точки.

Теорема Ферма. Пусть функция f определена на ин- тервале (a;b) и в некоторой точке x0 Î(a;b) имеет ло- кальный экстремум. Тогда, если в точке x0 существует производная, то она равна нулю, т.е. f ¢(x0 ) = 0 .

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в


том, что если		в точке x0 Î(a;b) функция имеет локальный
минимум или		максимум (рис. 1), то касательная в этой
точке к	графику функции y = f (x)		параллельна оси Ox, т.
е. угол	наклона касательной к		оси Ox равен нулю, и

f ¢(x0 ) = tg0 = 0 .

292

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 6029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc