Математика для инженеров(теория)I том

25. Найти угол между прямыми: 2x = y −22 = z 2−1 и

x = t − 2, y = t2 − 3, z = t.

26. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1;2;3) перпендикулярно к плоскости

2x + y − z = 0.

29.Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М(3; 1).

30.Определить полуоси, фокусы и эксцентриситет каждого из следующих эллипсов:

иF2 (16;2) .

33.Найти координаты фокуса и записать уравнение директрисы каждой параболы, заданной уравнением:

a) y2 =14x; б) x2 = −8y ; в) y2 = −16x.

34. Найти канонические уравнения кривых и построить

163

35. Найти координаты центра и радиус окружности:

ìï(x - 3)2 + (y + 2)2 + (z -1)2 =100,

í

ïî2x - 2y - z + 9 = 0.

36. Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы x2 + y2 + z2 + 2x - y + 5z = 0 и перпендику-

лярной к прямой, проходящей через точки M1(2;5;-1)

и M2 (4;6;0).

37.Установить, какие поверхности в пространстве определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности:

38.Составить уравнение линий пересечения конуса

x2 - y2 + z2 = 0

сплоскостями а) y = 3; б) z =1.

39.Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого задана уравнениями x = a, y2 + z2 = b2.

164

ГЛАВА 4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. Линейное векторное пространство

10. Понятие линейного пространства. Рассмотрим множество V

элементов x, y, z,K и множество действительных чисел.

На элементах этих множеств определим операцию сложе- ния (внутреннюю операцию): каждым двум элементам x V , y V

поставим в соответствии третий элемент z ÎV , называемый их суммой z = x + y , и операцию умножения на действитель-

ч и с е л α, β б ы л и в ы п о л н е н ы с л е д у ю щ и е а к с и о м ы :

1.x + y = y + x – коммутативный закон.

2.(x + y) + z = x + ( y + z) – ассоциативный закон.

3.Существует такой элемент 0ÎV (называемый нуле- вым элементом), что x + 0 = x.

4.Для каждого элемента x ÎV существует такой элемент -x ÎV (называемый элементом, противоположным элементу x ),

что x + (−x) = 0 .

5.Существует элемент 1, называемый единичным, такой, что

1× x = x .

6.(α + β ) x = α x + β x .

7.α (β x) = (α β ) x.

8.α (x + y) = α x +α y .

Множество V , в котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие аксиомам 1 – 8, называется действи-

тельным ( вещественным) линейным пространством или действительным (вещественным) векторным пространст-

в о м , а е г о э л е м е н т ы н а з ы в а ю т с я в е к т о р а м и .

Из определения линейного пространства вытекают следующие свойства:

166

1)нулевой элемент и вектор, противоположный к данному, единственны;

4)α × 0 = 0 для α Î ;

5)-x = (-1) x для x ÎV ;

Докажем 1). Если в V имеются два нулевых элемента 01 и 02 , то тогда 01 + 02 = 01 и 01 + 02 = 02 , поэтому 01 = 02 . Предпо-

сложение и умножение вектора на число (§2.5), является линейным пространством 3 . В этом пространстве роль нулевого элемента играет нулевой вектор 0 ; противопо- ложным вектору a является вектор −a . Аксиомы 1 – 8 вытекают из §2.5.

2. Линейное пространство образует также множество

всех матриц заданного порядка m × n , для которых опре- делены операции сложения и умножения на число. Здесь роль нулевого элемента играет нулевая матрица, а проти-

воположной к матрице A = (aij ) (i = 1,m; j = 1,n) будет мат-

рица -A = (-aij ) (i = 1,m; j = 1,n) .

167

3.Множество всех алгебраических многочленов сте- пени, не превышающей натурального числа n от одной переменной является линейным пространством. Суммой двух многочленов является многочлен степени не выше n ,

умножение многочлена на вещественное число дает также многочлен степени не выше n . Нулевой вектор есть мно- гочлен с коэффициентами, равными нулю.

4.Рассмотрим множество всех матриц-столбцов, эле-

ментами которого являются упорядоченные совокупности

n действительных чисел (x1; x2;K; xn ) . Элементы этого мно-

зывают координатами вектора x . Множество векторов вместе с введенными на нем операциями сложения векто- ров и умножения вектора на число, определенных форму-

лами

x + y = col(x1 + y1 ; x2 + y2 ;K; xn + yn ), α x = col(α x1;α x2;K;α xn )

назовем n -мерным арифметическим пространством n .

Здесь нулевой вектор есть столбец, у которого все элементы равны нулю, вектор −x = col(−x1;−x2;K;−xn ) будет

противоположным вектору x = col(x1; x2;K; xn ) .

30. Понятие подпространства. Пусть задано множество W ,

в котором определены те же операции, что и в линейном пространстве V .

го пространства V образует подпространство данного пространства V, а само пространство V можно рассматривать как подпространство этого пространства. Такие подпространства называют

168

тривиальными, а все другие, если они имеются, нетриви-

альными.

которых определены операции сложения и умножения век- тора на число, является подпространством линейного про-

является подпространством линейного пространства мно- жества всех алгебраических многочленов степени n .

§ 2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность. Координаты вектора

10. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Пусть x1, x2 ,K, xn - элементы линейного пространства,

из чисел α i отлично от нуля, то линейная комбинация на-

зывается нетривиальной.

Система векторов x1, x2 ,K, xn называется линейно за- висимой, если существуют числа α 1,α 2,K,α n , не все рав-

ные нулю, такие, что линейная комбинация этих векторов р а в н а н у л е в о м у в е к т о р у , т . е .

x1, x2 ,K, xn . (2)

Утверждение 1. Всякая система векторов (2), содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Пусть, например, xn = 0 . Тогда

0× x1 + 0 × x2 +K + 0 × xn−1 + 2 ×0 = 0 ,

169

(2) линейно зависимы, то и вся система (2) линейно зави- сима.

Доказательство. Пусть α 1x1 +α 2 x2 +K +α k xk = 0 , где среди чисел α 1,α 2,K,α k есть отличные от нуля (считаем,

что эти линейно зависимые векторы – первые k векторов из системы (2)).

Тогда α 1x1 +α 2 x2 +K +α k xk + 0 × xk+1 +K + 0 × xn = 0 . □

Упражнение 1. Доказать, что при отбрасывании r (r < n) векторов

из линейно независимой системы (2), получим линейно независимую систему, состоящую из n − r векторов.

Упражнение 2. Проверить, что система (2), состоящая из одного вектора x1 , линейно независима тогда и только тогда, ко- г д а x1 ¹ 0 .

Утверждение 3. Векторы x1, x2 ,K, xn линейно зависи- мы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них явля- ется линейной комбинацией всех остальных.

Доказательство. Необходимость. Пусть данные векторы линейно зависимы. Тогда выполняется равенство (1), где хотя бы

т.е. выполнено равенство (1), где α n= -1 ¹ 0 . □

Пример 1. Проверить на линейную зависимость или независимость систему векторов

170

x1 = (1;2;1;2), x2 = (-1;3;2;1), x3 = (-13;-1;2;-11), x4 = (-13;4;5;-8)

Решая эту систему, получаем, например, ее частное решение: α 1= 8,α 2= -5,α 3=1,α 4= 0.

Значит, 8x1 - 5x2 + x3 + 0× x4 = 0 , т. е. указанная система векторов линейно зависима. □

Введем понятия коллинеарности и компланарности векторов линейного пространства.

Два вектора x1 и x2 назовем коллинеарными, если они линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно

независимы. Три вектора x1 , x2 , x3 называются компланарными, если они линейно зависимы, и некомпланарными, если ли- нейно независимы.

20 . Базис и размерность. Линейное пространство на- зывается конечномерным, если существует такое n , что в нем есть линейно независимая система из n элементов, а любая система из ( n +1)-го элемента линейно зависима. Число n в таком случае называется размерностью пространства. Если та- кого нет, то пространство называется бесконечномерным. Размерность линейного пространства V обозначают dimV . Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считается равной нулю. Таким обра- зом, dimV – это наибольшее возможное количество линейно незави- симых векторов в пространстве V .

171

Например, пространство всех свободных векторов 3

Базисом n -мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого простран-

ства. Например, базис пространства 3 образует любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов этого пространства.

висимую систему. Действительно, линейная комбинация векторов

бинация векторов (4), то, в силу утверждения 3, система векторов e1,K,en , x линейно зависима. Значит, линейное

п р о с т р а н с т в о n б у д е т n -мерным, а система векторов (4) образует базис этого

нейного

n -мерного пространства V . Тогда любой вектор x этого пространства

172