Математика для инженеров(теория)I том

§ 5. Ранг матрицы

10. Ранг матрицы и его свойства. Рассмотрим прямоугольную матрицу A вида:

Рангом матрицы A назовем наибольший порядок не равного нулю ее минора (ранг нулевой матрицы O считаем равным нулю).

Для ранга матрицы A используют следующие обозначения: r(A), rA, rank A или просто r , когда ясно, о какой матрице идет речь.

53

Из определения ранга матрицы и свойств определителя из §3 вытекают следующие свойства ранга матрицы.

A– нулевая матрица O .

3)Для квадратной матрицы A порядка n имеем r(A) = n тогда

итолько тогда, когда A невырожденная матрица.

4)Для любой матрицы A справедливо r(AT ) = r(A) .

5)Ранг матрицы, полученной из исходной вычеркиванием како- го-нибудь ее столбца (или строки), равен рангу исходной матрицы или меньше его на единицу.

6)Ранг матрицы, полученной из данной матрицы в результате приписывания к ней произвольного столбца (или строки), равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу.

7)Если к матрице дописать или вычеркнуть нулевой столбец (нулевую строку), ранг полученной матрицы равен рангу исходной.

Из формул Лапласа (3.4) и (3.5) заключаем: если среди миноров

порядка k (k ≤ min (m,n)) матрицы A размера m × n есть не равные нулю, а все миноры (k +1) -го порядка равны нулю, то r(A) = k .

В связи со сказанным выше, ранг матрицы можно найти так. Если все миноры первого порядка, т.е. элементы матрицы A , равны нулю, то r = 0 . В случае, когда есть хотя бы один ненулевой элемент матрицы, рассмотрим миноры второго порядка, включающие в себя этот элемент. Если все они равны нулю, то r =1. При наличии хотя бы

одного ненулевого минора второго порядка рассмотрим миноры третьего порядка и т.д. Этот процесс продолжим до тех пор, пока не станет ясно, что все миноры порядка k +1 равны нулю или уже не существуют. Тогда получаем, что r = k .

Пример 1. Определить ранг матрицы

Решение. Все миноры второго порядка данной матрицы равны нулю, т.к. элементы строк этих миноров пропорциональны. Миноры же первого порядка, т.е. элементы матрицы A , отличны от нуля. Значит, r =1. □

Отметим, что описанный выше метод нахождения ранга матрицы, особенно в том случае, когда матрица A большого размера, не всегда является рациональным.

54

Упражнение 1. Убедиться, что элементарные преобразования матрицы A не меняют ее ранга.

На практике при нахождении ранга матрицы A , ее с помощью элементарных преобразований переводят в матрицу, ранг которой легко найти. Легко доказать, что каждая ненулевая прямоугольная матрица A вида (1) преобразуется в трапециевидную:

На основании свойства 7) ранга матрицы имеем r(B) = r(B1) , где B1 – матрица размеров r × n , полученная из B в результате вычер-

будем писать: A ~ B ~ B1 .

Пример 2. Определить ранг матрицы

Решение. Вычтем из четвертого столбца элементы третьего столбца, умноженного на два, а затем вычеркнем четвертый столбец:

Значит, r(A) = r(B1) = 3 . □

Утверждение 1. Если матрицу А умножить слева (или справа) на невырожденную матрицу B (С), то ранг полученной матрицы будет равен рангу матрицы A, т.е. r(BA) = r(A) (или r(AC) = r(A)) , если

det B ¹ 0 (det C ¹ 0) .

Доказательство. Действительно, поскольку любую невырож-

денную матрицу можно получить из единичной путем элементарных

55

преобразований ее столбцов (строк), то умножение матрицы A справа (слева) на невырожденную матрицу С (В) равносильно использованию элементарных преобразований столбцов (строк) матрицы A. Поскольку элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, то получаем r(AС) = r(A) (r(BA) = r(A)) . □

20. Базисный минор. Скажем, что заданный столбец (заданная строка) есть линейная комбинация других k столбцов (строк), если его (ее) можно представить в виде суммы этих k столбцов (строк), умноженных соответственно на числа α1,α2 ,...,αn .

Будем говорить, что столбцы S1, S2 ,..., Sn матрицы Am×n линейно

зависимы, если хотя бы один из них есть линейная комбинация осталь- ных. В противном случае столбцы называют линейно независимыми.

Аналогично определяется линейная независимость строк.

Если некоторый столбец матрицы Am×n является линейной ком- бинацией других k столбцов (k < n −1) , то этот столбец есть линейная

комбинация всех остальных столбцов, т.к. в определении линейной комбинации числовые коэффициенты могут быть и нулями. Анало- гичное утверждение справедливо и для строк матрицы Am×n .

Например, для третьей строки матрицы

имеем (0;2) = -2(3;-1) + 2(3;0) + 0(-2;1) . Поэтому, α1 = -2,α2 = 2,α3 = 0 .

Введем еще некоторые понятия, которые понадобятся в дальнейшем. Окаймляющим минором для минора M порядка k матрицы A назовем минор порядка k +1 этой матрицы, который содержит минор M .

Базисным минором матрицы A будем называть ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы A .

Отметим, что для ненулевой матрицы A всегда существует базисный минор, причем таких миноров может быть несколько.

Если для данной матрицы выбран некоторый базисный минор, то строки и столбцы данной матрицы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, назовем базисными строками и столбцами.

Утверждение 2. 1) Каждый столбец (каждая строка) матри- цы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк). 2) Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы.

Доказательство. Пусть базисный минор M матрицы (1) имеет вид:

56

Зафиксируем j(1< j ≤ n) и рассмотрим определители

Если i ≤ r или j ≤ r , то Mij = 0 , т.к. Mi j имеет две одинаковые строки или два одинаковых столбца. Если i > r и j > r , то Mi j = 0 в силу того, что Mi j есть минор порядка r +1 матрицы A с рангом r . Разложим определитель Mi j по элементам последней строки и получим

элементов ai1,ai2 ,...,air ,aij последней строки, причем α1,α2 ,...,αr не зависят от i , а αr+1 = M . С учетом Mij = 0 , M ¹ 0 , из (2) получаем

где βi = − αMi , i =1,r .

Равенство (3) показывает, что j -ый столбец матрицы А есть

линейная комбинация ее базисных столбцов.

Для строк первая часть утверждения 2 доказывается аналогично. Доказательство второй части утверждения 2 проведем методом от противного. Предположим, что базисные столбцы (строки) линейно

зависимы. Тогда один (одна) из базисных столбцов (строк) матрицы А есть линейная комбинация остальных базисных столбцов (строк), а это значит, что один из столбцов (строк) базисного минора есть линейная комбинация остальных столбцов (строк). Тогда, по одному из свойств определителя, заключаем, что базисный минор равен нулю, что противоречит его определению. □

Из утверждения 2 вытекают следующие следствия: а) любой небазисный столбец (любая небазисная строка) матрицы есть линейная

57

комбинация всех ее столбцов (строк); б) максимальное количество линейно независимых столбцов (строк) матрицы А равно ее рангу; в) определитель матрицы равен нулю в том и только том случае, если какой-нибудь один ее столбец (какая-нибудь одна ее строка) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой матрицы.

Из доказательства утверждения 2 вытекает еще один, полезный для практического использования при вычислении ранга матрицы, метод окаймляющих миноров: если матрица А имеет ненулевой минор порядка r и все его окаймляющие миноры равны нулю или не суще- ствуют, то ранг матрицы А равен r .

Пример 3. Определить ранг и найти базисные миноры матрицы

§ 6. Системы линейных алгебраических уравнений

10. Основные понятия. Системой m линейных алгебраических

а числа bi , i =1,m , – свободными членами (правыми частями).

58

Дальше в этой главе выражение «алгебраических» для краткости опускаем.

Если все bi = 0 , i =1,m , то система называется однородной; если

хотя бы один из свободных членов ненулевой, то система (1) называ-

ется неоднородной.

Решением системы (1) называют любую упорядоченную сово- купность n чисел (c1;c2;...;cn ) , которые при подстановке в каждое

уравнение системы (1) на место соответствующих неизвестных обращают его в тождество. Систему (1) называют совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае – несовместной. Совместная система, имеющая только одно решение (больше чем одно решение),

называется определенной (неопределенной).

Решить систему (1) – означает выяснить совместная она или нет, и, если совместная, то найти все ее решения.

Например, если в системе (1) aij = 0, i =1,m, j =1,n , то: 1) она несовместна, если есть хотя бы одно из bi не равно нулю; 2) система

(1) имеет бесконечное множество решений при bi = 0, i =1,m , и, более

состоящая из коэффициентов системы (1), называется матрицей этой системы. Введем также матрицу-столбец неизвестных x и матрицу- столбец свободных членов b:

x = col(x1 ; x 2 ;...; x n ), b = col(b1 ;b2;...;b n ) .

Из определения произведения матриц следует, что левую часть системы (1) можно представить как произведение матрицы А на мат- рицу-столбец x, а ее правая часть есть матрица-столбец b. Поэтому

Используя матрицы-столбцы коэффициентов системы (1), ее можно записать также в виде:

59

Две системы называют эквивалентными или равнозначными, если они имеют одно и то же множество решений. Считаем, что всякие две не- совместные системы с одинаковым числом неизвестных – эквивалентны.

20. Элементарные преобразования. Элементарными преобра-

зованиями линейной системы называются следующие:

1)умножение уравнения системы на ненулевое число;

2)прибавление к одному уравнению системы другого ее урав- нения, умноженного на произвольное число;

3)перестановка местами двух уравнений системы;

4)вычеркивание уравнения, все коэффициенты которого равны

нулю.

Утверждение 1. При использовании элементарных преобразо- ваний получаем эквивалентную систему.

Доказательство. Не ограничивая общности, будем умножать

на число α ¹ 0 , например, первое уравнение системы (1) и прибавлять ко второму. Получим в результате такого действия систему