Математика для инженеров(теория)I том
.pdfОтметим, что равенства (4), (5) называются формулами Лапласа и они широко используются при вычислении определителей. Особенно полезно использовать разложение по тем столбцам (или строкам) опре- делителя, многие элементы которых равны нулю.
Рассмотрим теперь случай, когда некоторый столбец (a1;a2;...;an ) определителя есть линейная комбинация m (m ≤ n −1) столбцов
(b1;b2;...;bn ),(c1;c2;...;cn ),...,(d1;d2;...;dn ), т.е. выполняются равенства
ai = α1bi +α2ci + ... +αmdi , i = |
1,n |
, |
(7) |
где α1,α2 ,...,αm .
4) Линейное свойство определителя. Пусть в определителе для элементов некоторого j-го столбца выполняются равенства (7). Тогда
= α1 |
1 +α2 |
2 + ... +αm m , |
(8) |
||
где определители 1, 2 , ..., |
m j-ым столбцом имеют соответственно |
||||
столбцы (b1;b2;...;bn ), |
(c1;c2;...;cn ),... , (d1;d2;...;dn ), |
все остальные |
|||
столбцы определителей |
1, |
2 , ..., |
m совпадают со столбцами опре- |
||
делителя . |
|
|
|
|
|
Доказательство. Для доказательства формулы (8) используем |
|||||
формулу (5) и разложим определители |
1, 2 ,..., m по j-му столбцу. |
||||
Заметим, что во всех этих определителях миноры Mij |
элементов j-го |
||||
столбца одинаковые. Используя (7), получаем |
|
||||
n |
|
|
|
|
|
= å(−1)i+ j (α1bi +α2ci + ... +αmdi )Mij = |
|
||||
i=1 |
|
|
|
|
(9) |
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||
= α1å(−1)i+ jbi Mij +α2 |
å(−1)i+ jciMij |
+ ... +αm å(−1)i+ j di Mij . |
|||
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1 |
|
Из (9) непосредственно вытекает формула (8). □
Приведенные четыре свойства определителя являются основными. Приведем еще ряд свойств, вытекающих из них.
5) Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю. |
|
Доказательство. Действительно, при перестановке этих двух |
|
одинаковых столбцов определитель |
с одной стороны не изменится, |
а с другой, |
на основании свойства 2), он равен – , что возможно |
только при |
= 0 . □ |
6) Общий множитель всех элементов некоторого столбца можно вынести за знак определителя.
Доказательство. Это вытекает из свойства 4) при условии, что
α2 = α3 = ... = αm = 0 . □
43
7) Если все элементы некоторого столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Доказательство. Данное свойство непосредственно вытекает из свойства 6), если считать, что все элементы этого столбца умножены на нуль, который можно вынести за знак определителя. □
8) Если все элементы двух столбцов определителя соответственно пропорциональны, то определитель равен нулю.
Доказательство. Действительно, в силу свойства 6) коэффициент
пропорциональности можно вынести за знак определителя и получить определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, согласно свойству 5), равен нулю. □
9) Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произ- вольное число, то величина определителя не изменится.
Доказательство. Действительно, на основании линейного свой- ства 4) полученный в результате сложения элементов определитель можно представить в виде суммы двух определителей: один из них совпадает с исходным, второй равен нулю, т.к. имеет два пропорцио- нальных столбца. □
Очевидно, что свойство 9) можно обобщить так: если к некоторому
столбцу определителя прибавить линейную комбинацию нескольких других столбцов этого определителя, то величина определителя не изменится.
Особенно эффективны формулы Лапласа в случае, когда опре- делитель содержит много нулей. Когда нулевых элементов мало, то можно вначале привести определитель к треугольному виду, а затем его вычислить. Для вычисления определителей эффективно использовать свойство 9).
Пример 2. Вычислить определитель
|
3 |
5 |
7 |
2 |
|
= |
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
|
2 |
3 |
−3 |
−2 |
|
|
1 |
3 |
5 |
4 |
|
Решение. Произведем следующие действия: а) из элементов первой строки вычтем утроенные элементы второй строки; б) из эле- ментов третьей строки вычтем удвоенные элементы второй строки; в) из элементов четвертой строки вычтем элементы второй строки.
Тогда определитель примет вид:
44
|
0 |
−1 |
−2 |
−10 |
|
|
|
|
|||||
= |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
. |
|
0 |
−1 |
−9 |
−10 |
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
Разложим этот определитель по элементам первого столбца:
|
−1 |
−2 |
−10 |
|
|
|
|
||||
= − |
−1 |
−9 |
−10 |
|
. |
|
1 |
2 |
0 |
|
|
Прибавляя к элементам первой и второй строк элементы третьей строки, получим:
|
|
0 |
0 |
−10 |
|
|
|
|
|||||
= − |
|
0 |
−7 |
−10 |
|
. |
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
Разложим определитель по элементам первого столбца:
0−10
=− −7 −10 = 70 . □
30. Алгебраическое дополнение. Алгебраическим дополнением Aij
элемента aij определителя n -го порядка называют число (−1)i+ j Mij , где Mij –минор элемента aij . Таким образом, алгебраическое допол- нение элемента aij может отличаться от минора Mij только знаком.
Учитывая понятие алгебраического дополнения, перепишем формулы Лапласа (4), (5) так:
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
= åaij Aij , |
(10) |
|
|
|
|
|
j=1 |
|
где i (i = |
|
|
) |
|
– номер строки; |
|
1,n |
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
= åaij Aij , |
(11) |
где j ( j = |
|
|
|
i=1 |
|
|
1,n |
) |
– номер столбца. |
|
Установим еще два свойства определителей.
1) Свойство замены. Сумма произведений произвольных n чи- сел c1,c2 ,...,cn на алгебраические дополнения элементов i -ой строки,
i =1,n , матрицы A есть определитель матрицы A1 , которая получена из матрицы А заменой элементов i -ой строки на числа c1,c2 ,...,cn .
45
Действительно, пусть задана матрица A = (aij )1n . Рассмотрим n произвольных чисел c1,c2 ,...,cn , алгебраические дополнения элемен- тов i -ой строки Ai1, Ai2 ,..., Ain матрицы А и определитель матрицы A1 :
|
|
a11 |
a12 |
K |
a1n |
|
|
K |
K |
K |
K |
|
|
ai−11 ai−12 |
K ai−1n |
||
A1 |
|
= c1 |
c2 |
K cn . |
|
|
|||||
|
|
ai+11 ai+12 |
L ai+1n |
KK K K
an1 an2 K ann |
|
Для доказательства формулы |
|
c1Ai1 + c2 Ai 2 + ... + cn Ai n = | A1 | |
(12) |
нужно определитель A1 разложить по элементам i -ой строки с ис- пользованием формулы (10).
Упражнение 3. Проверить формулу (12).
2) Свойство аннулирования определителя. Сумма произведе-
ний элементов одной из строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки равна нулю, т.е.
|
|
|
ai1Ak1 + ai2 Ak2 + ... + ain Akn |
= 0, |
(13) |
где i ¹ k |
(i,k = |
|
) . |
|
|
1,n |
|
|
|||
По свойству замены 1), левая часть равенства (13) равна опреде- |
|||||
лителю матрицы A , полученной из матрицы |
A = (a )n |
заменой эле- |
|||
|
1 |
ij 1 |
|
||
ментов |
k -ой строки на числа ai1,ai2 ,...,ain , |
являющиеся соответст- |
вующими элементами i -ой строки. Но тогда определитель | A1 | имеет
две одинаковые строки и, значит, по свойству 20.5) равен нулю. Приведем без доказательства утверждение, касающееся опреде-
лителя произведения квадратных матриц.
Утверждение 1. Определитель произведения двух квадратных матриц A и B одинакового порядка n (n ³ 2) равен произведению
определителей этих матриц, т.е. |
|
| AB | = | A || B |. |
(14) |
46
§ 4. Обратная матрица
10. Понятие обратной матрицы. Отметим, что для любого ненулевого вещественного числа a определено понятие обратного числа b – такого, что ab =1. По аналогии, для квадратной матрицы порядка n рассмотрим понятие обратной матрицы.
Будем говорить, что матрица A – невырожденная, если ее оп- ределитель det A ¹ 0 , и вырожденная – в противном случае ( det A = 0 ).
Присоединенной матрицей для A = (aij )1n называется матрица
|
|
æ |
A |
A |
... |
A |
ö |
|
|
|
ç |
11 |
21 |
|
n1 |
÷ |
|
B = (A |
)n = |
ç |
A12 |
A22 |
... |
An 2 |
÷ |
, |
|
ji 1 |
ç |
|
|
... ... |
÷ |
|
|
|
|
ç ... ... |
÷ |
|
||||
|
|
ç |
A |
A |
... |
A |
÷ |
|
|
|
è |
1n |
2n |
|
n n |
ø |
|
где Aij (i, j =1,n) – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A . Отметим, что алгебраические дополнения элементов i -ой строки (i =1,n) матрицы A находятся в i -ом столбце матрицы B .
Покажем, что для рассматриваемых матриц A и B имеет место
равенство
|
|
|
|
|
|
AB = BA = E × det A , |
|
|
|
|
|
(1) |
||||
где E – единичная матрица порядка n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Доказательство. Для доказательства (1) рассмотрим матрицу |
|||||||||||||||
|
æ a11 |
a12 |
... |
a1n öæ A11 |
A21 ... |
An1 |
ö |
æ c11 |
c12 |
... |
c1n ö |
|||||
C = |
ç a |
a |
22 |
... |
a |
֍ |
A |
A |
... |
A |
÷ |
çc |
c |
... |
c |
÷ |
ç 21 |
|
|
2n ֍ |
12 |
22 |
|
n2 |
÷ |
= ç 12 |
22 |
|
2n ÷ . |
||||
|
ç ... |
... |
... |
.... ֍ ... |
... ... .... |
÷ |
ç ... ... |
... |
... |
÷ |
||||||
|
ç a |
a |
n2 |
... |
a |
֍ |
A |
A |
... |
A |
÷ |
çc |
c |
... |
c |
÷ |
|
è n1 |
|
|
nn øè |
1n |
2n |
|
nn |
ø |
è n1 |
n2 |
|
nn ø |
Каждый ее элемент cij (i, j =1,n) по определению произведения
матриц равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B . В частности,
для каждого элемента cii (i =1,n) , стоящего на главной диагонали мат-
рицы C , будем иметь сумму произведений элементов i -ой строки матрицы A на их алгебраические дополнения, которая по формуле
(3.11) равна det A . Для других элементов ci j , i ¹ j (i, j =1,n) , получим сумму произведений i -ой строки на алгебраические дополнения j -го столбца, которая по свойству аннулирования (3.13) равна нулю.
47
Таким образом, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
æ| A | |
0 |
0 ... |
0 |
ö |
æ 1 |
0 |
0 ... |
0 |
ö |
|
ç |
| A | |
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
C = ç 0 |
0 ... |
0 |
÷ |
= ç 0 |
1 |
0 ... |
0 |
÷ |
| A |= E×| A |. |
|
ç ... ... .... ... ... |
÷ |
ç... .... ... ... |
...÷ |
|
||||||
ç |
0 |
0 ... |
| A | |
÷ |
ç |
0 |
0 ... |
1 |
÷ |
|
è 0 |
ø |
è 0 |
ø |
|
||||||
Аналогично проверяем, что BA = E × det A . |
□ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
Если для матрицы A существует такая матрица A , что |
||||||||||
|
|
|
% |
|
% |
= E , |
|
|
|
(2) |
|
|
|
AA = AA |
|
|
|
где E – единичная матрица, то матрица A% называется обратной для матрицы A .
Обратную матрицу для матрицы A обозначают A−1 и тогда ра- венство (2) принимает вид
AA−1 = A−1A = E . |
(3) |
Из (3) непосредственно вытекает, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы исходная матрица была квадратной, причем
обе матрицы A и A−1 имеют одинаковый порядок. Таким образом, понятие обратной матрицы имеет смысл только для квадратной.
20. Свойства обратной матрицы.
Утверждение 1. Матрица A имеет обратную матрицу A−1 то- гда и только тогда, когда матрица А невырождена.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А имеет об- ратную A−1 . Тогда AA−1 = E . Отсюда получаем det (A× A−1) = det E .
Используя формулу (3.14), имеем det A×det A−1 =1. Отсюда следует,
что det A ¹ 0 .
Достаточность. Пусть det A ¹ 0 . Докажем, что
|
|
|
A−1 = |
|
|
1 |
|
× B , |
(4) |
|||
|
|
| |
A | |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где B – матрица, присоединенная к A . |
|
|||||||||||
Действительно, в силу (1), имеем |
|
|||||||||||
|
1 |
|
(AB) = |
|
|
|
1 |
|
(BA) = E |
|||
|
| A | |
|
| |
A | |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
B ö |
æ |
B |
ö |
|
||||||
|
Aç |
|
|
÷ = |
ç |
|
|
|
÷ A |
= E , |
||
|
|
|
|
|
||||||||
è |
|
| A | ø |
è | A | ø |
|
откуда и из равенства (3) получаем формулу (4). □
48
Отметим, что формула (4) дает способ нахождения обратной матрицы. Действительно, учитывая определение присоединенной матрицы B , формулу (4) можно записать в виде
|
|
æ |
A |
A |
... |
A |
ö |
|
|
|
ç |
11 |
21 |
|
n1 |
÷ |
|
A−1 = |
1 |
ç A12 |
A22 |
... |
An2 |
÷ . |
(5) |
|
|
|
... ... |
||||||
|
| A | ç ... ... |
÷ |
|
|||||
|
|
ç |
A |
A |
... |
A |
÷ |
|
|
|
è |
1n |
2n |
|
nn |
ø |
|
Используя равенство (3), можно убедиться в том, что невырож-
денная матрица A имеет единственную обратную матрицу A−1 , для которой справедливы следующие свойства:
1) det A−1 |
1 |
; 2) (A−1)−1 = A ; 3) (AB)−1 = B−1 × A−1 ; |
= det A |
4) (AT )−1 = (A−1)T .
Упражнение 1. Доказать свойства 1) – 4).
30. Элементарные преобразования матрицы и применение их для построения обратной матрицы. К элементарным преобразо-
ваниям матрицы относятся:
1)умножение столбца (строки) матрицы на число, не равное нулю;
2)прибавление к одному столбцу (строке) матрицы другого столбца (строки), умноженного на произвольное число, не равное нулю;
3)перестановка местами двух столбцов (строк) матрицы.
Если матрица B получена из матрицы A с помощью элемен-
тарных преобразований, то будем говорить «матрица А эквивалента матрице В» и писать A ~ B .
Очевидно, что если A ~ B и B ~ C , то A ~ C .
Утверждение 2. Элементарное преобразование 3) можно получить последовательным использованием элементарных преобразований 1) и 2).
Упражнение 2. Провести проверку утверждения 2.
Утверждение 3. Каждое элементарное преобразование столбцов (строк) матрицы A порядка n (n ³ 2) эквивалентно умножению мат-
рицы A справа (слева) на матрицу, полученную из единичной матри- цы En при помощи такого же элементарного преобразования.
Доказательство утверждения 3 проведем в случае элементар- ных преобразований столбцов и элементарных преобразований 1) и 2).
Пусть матрица A1 получена из матрицы А в результате умноже- ния i -го столбца на число λ ¹ 0 . Используем это преобразование для матрицы En , в результате получим матрицу B . Тогда:
49
æ a |
|
a |
a |
|
ç 11 |
12 |
1i |
||
ç ... |
... ... |
|||
AB = ç a |
|
a |
a |
|
ç |
i1 |
i2 |
ii |
|
ç .... ... ... |
||||
ç a |
n1 |
a |
a |
|
è |
n2 |
ni |
||
æ a |
a |
... |
||
ç |
11 |
12 |
|
|
ç ... |
... ... |
|||
= ç a |
a |
... |
||
ç |
|
i1 |
i2 |
|
ç ... |
... ... |
|||
ç a |
n1 |
a |
... |
|
è |
|
n2 |
|
... |
a |
öæ 1 |
|
|
1n |
֍ |
|
... ... |
֍... |
||
... |
a |
֍ |
0 |
|
in |
֍ |
|
... ... |
֍... |
||
... |
a |
֍ |
0 |
|
nn øè |
|
λa1i |
... |
a1n |
... ... ... |
||
λaii |
... |
ain |
... ... ... |
||
λani |
... |
ann |
0 |
... |
0 ... |
0 |
ö |
|
... ... ... ... |
|
÷ |
|
||
...÷ |
|
||||
0 |
... |
λ ... |
0 |
÷ |
= |
... ... ... ... |
|
÷ |
|
||
...÷ |
|
||||
0 |
... |
0 ... |
1 |
÷ |
|
ø |
|
ö
÷
÷
÷÷ = A1.
÷
÷
ø
Пусть теперь матрица |
A2 получена из матрицы |
A с помощью |
||||||||||||||||||||
элементарного преобразования 2), |
т.е. к i -ому столбцу матрицы |
|
A |
|||||||||||||||||||
прибавили ее |
j -ый столбец ( j > i ), |
умноженный на число |
λ ¹ 0 . |
|||||||||||||||||||
Обозначим через C матрицу, полученную из матрицы En |
с помощью |
|||||||||||||||||||||
указанного преобразования. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
æ a11 |
a12 |
.... |
a1i |
... |
|
a1 j ... |
a1n |
ö |
æ 1 |
0 |
... |
0 |
|
... |
0 ... |
0 ö |
|
|||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
÷ |
ç ... ... |
... ... |
|
... ... ... |
... |
÷ |
|
||||
ç ... ... ... ... ... ... ... |
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||
ç a |
a |
... |
a |
... |
|
a |
... |
a |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||
|
ç |
0 |
0 |
... |
1 |
|
... |
0 ... |
0 |
÷ |
|
|||||||||||
ç i1 |
|
i 2 |
|
ii |
|
|
|
i j |
|
i n |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|||||||
AC = ç ... ... ... ... ... ... ... |
... |
÷ |
|
|
... ... |
|
... ... ... |
... |
= |
|||||||||||||
ç ... ... |
|
÷ |
||||||||||||||||||||
ç |
a j 2 |
... |
a j i |
... |
|
a j j ... |
|
÷ |
ç |
0 |
0 |
... |
λ |
|
... |
1 ... |
0 |
÷ |
|
|||
ç a j1 |
|
a j n ÷ |
|
|
||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
... |
K ... |
K ... |
|
÷ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
çK K |
K÷ |
|
||||||||||
ç ... ... ... ... ... ... ... |
÷ |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||
ç a |
a |
... |
a |
... |
|
a |
n j |
... |
a |
÷ |
è |
0 |
0 |
K 0 |
K 0 K |
1 |
ø |
|
||||
è n1 |
|
n 2 |
|
ni |
|
|
|
|
n n |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ a |
a |
.... |
|
a |
+ λa |
... |
|
a |
|
... |
a |
ö |
|
|
|
|
|
|||||
ç |
11 |
12 |
|
|
|
1i |
|
1 j |
|
|
|
1 j |
|
1n |
÷ |
|
|
|
|
|
||
ç ... ... ... |
|
|
|
... |
|
... ... |
|
... ... |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
ç a |
a |
... |
|
a |
+ λa |
... |
|
a |
|
... |
a |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
ç |
|
i1 |
i 2 |
|
|
|
ii |
|
i j |
|
|
|
i j |
|
i n |
÷ |
= A2 . □ |
|
|
|
||
= ç ... ... ... |
|
|
|
... |
|
... ... |
|
... ... |
÷ |
|
|
|
||||||||||
ç |
|
|
a j 2 ... |
a j i |
+ λa j j |
... |
|
a j |
|
... |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
ç a j1 |
|
j |
a j n ÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... ... |
|
... ... |
÷ |
|
|
|
|
|
||||
ç ... ... ... |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç a |
n1 |
a |
... |
a |
ni |
+ λa |
... |
|
a |
|
... |
a |
÷ |
|
|
|
|
|
||||
è |
|
n 2 |
|
|
|
|
n j |
|
|
|
n j |
|
n n ø |
|
|
|
|
|
Для изложения метода построения обратной матрицы A−1 с по-
мощью элементарных преобразований используем приведенное ниже вспомогательное утверждение.
50
Утверждение 4. Любую невырожденную матрицу можно пре-
образовать в единичную с помощью элементарных преобразований только столбцов (или только строк).
Доказательство проведем методом математической индукции (в случае элементарных преобразований только столбцов). Если мат- рица А имеет первый порядок, то, очевидно, что утверждение 4 имеет место. Пусть утверждение 4 справедливо для любой матрицы порядка n -1 и докажем его справедливость для произвольной матрицы A порядка n , n ³ 2 .
В силу невырожденности, среди элементов первой строки мат- рицы A имеются ненулевые. Общность доказательства не нарушится,
если считать a |
¹ 0 . Умножим первый столбец матрицы A на |
1 |
и |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|||||
получим матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
a |
... |
a |
|
ö |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
¢ |
12 |
|
|
|
1n |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
ç a21 |
a22 |
... |
a2n |
÷ |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
... |
... |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç ... |
÷ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
¢ |
an 2 |
... |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è an1 |
an n ø |
|
|
|
|||||||
где ai¢1 = |
|
ai1 |
, i = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Умножим теперь первый столбец матрицы A1 поочередно на |
|||||||||||||||||||||||
-a12 ,-a13,...,-a1n |
и прибавим соответственно ко второму, третьему,…, |
|||||||||||||||||||||||||
n -му столбцу. Тогда матрица A1 преобразуется в матрицу |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
... |
|
|
|
0 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
ç |
|
|
¢ |
|
b22 |
b23 |
... |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ç a21 |
|
|
|
b2n ÷ , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ç ... |
|
... |
... |
... |
|
|
... ÷ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
¢ |
|
bn2 |
bn3 |
... |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è an1 |
|
|
|
bnn ø |
||||||||||
где bij , |
i, j = |
|
, – числа, полученные в результате этого преобразо- |
|||||||||||||||||||||||
2,n |
||||||||||||||||||||||||||
вания. Поскольку | A |¹ 0 , |
то, |
на основании свойств определителя, |
||||||||||||||||||||||||
|
A2 |
|
¹ 0. С другой стороны, по формуле (3.4) получаем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A2 |=1× |
|
b22 |
|
b23 |
... b2n |
|
|
=| B |¹ 0 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... |
... |
... |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn2 |
|
bn3 ... bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
По индуктивному предположению полученную невырожденную |
|||||||||||||||||||||||
матрицу |
|
B порядка n −1 с помощью элементарных преобразований |
51
только столбцов можно привести к единичной матрице порядка n −1. Тогда матрица A2 ~ A3 вида:
|
æ |
1 |
0 |
0 ... |
0 |
ö |
|
ç |
¢ |
1 |
0 ... |
0 |
÷ |
A = ç a21 |
÷ . |
|||||
3 |
ç ... |
... |
... ... |
...÷ |
||
|
ç |
¢ |
0 |
0 ... |
1 |
÷ |
|
è an1 |
ø |
К первому столбцу матрицы A3 прибавим линейную комбинацию второго, третьего,…, n -го столбцов, умноженных соответственно на -a21′ ,-a31′ ,...,-an′1 . В результате получим единичную матрицу порядка n , т.е. с помощью элементарных преобразований только столбцов имеем:
A ~ A1 ~ A2 ~ A3 ~ E , значит A ~ E .
Аналогично доказывается утверждение 4 и для элементарных преобразований только строк. □
Если использовать в той же последовательности все элементарные преобразования только столбцов (строк) матрицы En , при помощи
которых невырожденная матрица A порядка n преобразуется в единич- ную, то полученная матрица будет обратной к матрице A .
Действительно, осуществим элементарные преобразования столб- цов (строк) матрицы A , которые приведут ее к единичной матрице En .
Такие же преобразования и в той же последовательности произведем с матрицей En . В результате получим некоторую матрицу В. Тогда,
в силу утверждения |
2, имеем AB = En (BA = En ) , отсюда B = A−1 . |
Для построения |
обратной матрицы A−1 удобно записывать матри- |
цы A и E через черту одна под другой, если преобразуются столбцы, или рядом, если преобразуются строки. Матрица, полученная на месте единичной после того, как матрица А преобразуется в единичную,
и будет матрицей A−1 .
|
|
|
Пример 1. Найти A−1 |
для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ3 |
2 |
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
3 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ç |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
5 |
3 |
4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. Используем элементарные преобразования строк. Имеем |
|||||||||||||||||||||||||
æ |
3 |
2 |
2 |
|
1 |
0 |
0ö |
æ1 |
3 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
ö æ1 3 |
1 |
|
0 |
1 |
0ö |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ç |
1 |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
÷ |
ç |
3 |
2 |
2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
÷ |
ç |
0 |
-7 |
-1 |
|
1 |
-3 |
0 |
÷ |
~ |
ç |
|
÷ |
~ ç |
|
|
÷ |
~ ç |
|
÷ |
|||||||||||||||||||
ç |
5 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
5 |
3 |
4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
0 |
-12 |
-1 |
|
0 |
-5 |
1 |
÷ |
|
è |
|
ø |
è |
|
|
ø è |
|
ø |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
52