Математика для инженеров(теория)I том

стоит бесконечно много цифр, причем одна цифра или группа цифр, начиная с некоторого места после запятой, повторяется.

Для записи бесконечных периодических дробей используются обозначения: дробь 8,4944… обозначают 8,49(4); дробь 0,3131… запи- сывают в виде 0,(31). Число, записанное в скобках, называют периодом.

Каждое рациональное число может быть представлено бесконечной периодической десятичной дробью.

Упражнение 1. Показать, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь, имеющая своим периодом девятку, равна бесконечной десятичной периодической дроби с периодом, равным нулю, у кото- рой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на 1 по сравнению с разрядом исходной дроби.

Иррациональными числами называют бесконечные непериоди- ческие десятичные дроби. Можно доказать, например, что 2,3 , lg3,π ,sin 20o и т.д. являются числами иррациональными.

Упражнение 2. Доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество

не будем использовать десятичные дроби с нулем в периоде, за ис- ключением одного числа 0,00... = 0,(0) .

Числа a и b называются равными, если они имеют одинаковые знаки и a j = bj для всех j = 0,1,2,....

Если a и b – неотрицательные действительные числа и для их десятичных знаков при некотором k выполняются соотношения

a j = bj , j = 0,k -1, ak < bk , то говорят, что число a меньше числа b ;

соответственно пишут a < b .

Как и в случае рациональных чисел, если говорят, что десятич- ное число a меньше числа b (a < b) , то одновременно имеют в виду,

что число b больше числа a ( b > a ).

20. Модуль (абсолютная величина) действительного числа.

Модуль действительного числа x обозначается x . Согласно опреде-

23

Перечислим свойства модуля.

1. Модуль произведения равен произведению модулей:

ство (3) выполняется и в этом случае.

III. a < 0, b ³ 0. Доказательство аналогично предыдущему случаю. IV. a < 0, b < 0 . Имеем | a + b |=| -a - b |=| (-a) + (-b) |. Для поло-

жительных чисел (-a) и (-b) неравенство (3) справедливо согласно случаю 1. Значит, | (-a) + (-b) |£| -a | + | -b | . Но, | -a |= a, | -b |=| b | .

В результате получаем неравенство (3), называемое иногда неравен-

ством треугольника.

Упражнение 3. Доказать справедливость формул (1), (2), (4).

30. Основные свойства действительных чисел. Приведем свойства действительных чисел:

24

Докажем полезное свойство 14. Складывая почленно очевидные

-( a + b ) £ a + b £ a + b , откуда и вытекает требуемое неравенство. □

Доказанное неравенство с помощью математической индукции распространяется на случай любого числа слагаемых. Кроме того,

из него легко получается

a + b ³ a - b ,

а также a - b £ a - b £ a + b . Так как одновременно и b - a £ a - b ,

то, очевидно, a - b £ a - b . Все эти неравенства не раз будут полезны впоследствии.

ные, т.е. a = a0 , a1a2...ak ... > 0, b = b0 , b1b2...bk ... > 0 . Если какое-нибудь из них является рациональным числом, выражающимся дробью с пе- риодом 9, то запишем его в виде дроби с периодом 0 (см. упражнение 1). По условию a < b . Это значит, что существует неотрицательное число n такое, что ak = bk ( k = 0, 1, ..., n −1 ) и an < bn . Поскольку цифра 9

не является периодом числа a, найдется натуральное число i > n такое,

( k = 0, 1, ..., n −1 ), cn = an < bn . Итак, существует рациональное число c такое, что a < c < b . □

Упражнение 5. Доказать, что для любых действительных чисел a и b ( a < b ) найдется иррациональное число α такое, что a < α < b .

25

§ 6. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные числовые множества

Рассмотрим конкретные подмножества множества действитель- ных чисел.

10. Числовая прямая. Прямую, на которой указаны начало от- счета длин, масштаб и направление отсчета, называют числовой осью.

Точки числовой оси, изображающие рациональные числа, назы- ваются рациональными точками. Рациональные точки не исчерпывают всех точек числовой оси; на ней имеются и другие точки. В самом деле, так как диагональ квадрата, стороны которого равны единице, несо- измерима с единицей масштаба, то ее длина не выражается никаким рациональным числом. Концы всех отрезков, выходящих из начала отсчета и несоизмеримых с единицей масштаба (длины их выражаются иррациональными числами) попадут в нерациональные точки, которые будем называть иррациональными.

Все рациональные и иррациональные точки уже полностью за- полняют прямую. Между множеством всех точек числовой оси и

множеством всех действительных чисел имеется взаимно однозначное соответствие, поэтому иногда удобно не делать различия между ними и под точкой понимать число или под числом точку. Число, изобра- жаемое точкой, называют координатой этой точки.

Интервалом (промежутком) будем называть множество всех чисел (точек), заключенных между какими-нибудь двумя числами (точками), называемыми концами интервала. Интервал с концами a и b , где a < b , можно задать неравенством a < x < b ; он обозначается еще так: (a;b) . Если к интервалу добавить его концы, то получится замкнутый

интервал (отрезок); его обозначают [a;b] . Если один конец присое- диняется к интервалу, а другой нет, то получается полуоткрытый интервал; его обозначают[a;b) или (a;b] .

Кроме конечных интервалов, часто встречаются бесконечные интервалы, т.е. либо множество всех чисел меньших, чем некоторое число c , либо множество всех чисел больших чем число c , либо, наконец, множество всех действительных чисел. Записывают: (−∞;c),(c;+∞) и (−∞;+∞). Если в первых двух случаях точку c при-

26

20. Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Числовое множество А называется ограниченным сверху, если существует такое действительное число М, что для каждого элемента x числового множества А выполняется неравенство x ≤ M . При этом число М называется верхней границей числового множества А. Геометрически это означает, что множество А расположено целиком слева от точки М, при этом не исключается, что сама точка М входит в А.

Числовое множество B называется ограниченным снизу, если существует такое действительное число m , что для каждого элемента x числового множества B выполняется неравенство x ³ m . Число m называется нижней границей числового множества B . Множество B

замечание справедливо и в отношении нижних границ ограниченного снизу множества.

Числовое множество A называется ограниченным, если оно ограничено и снизу и сверху. Отметим, что любой отрезок является ограниченным множеством, т.к. нижней границей этого множества является левый конец отрезка, а верхней границей – правый конец. Неограниченные числовые множества не имеют хотя бы одной из гра- ниц (верхней или нижней). Примером неограниченного множества

является любой неограниченный промежуток, например, [a;+∞) .

Наименьшая из всех верхних границ множества A называется

точной верхней границей (или верхней гранью) для A . Наибольшая из всех нижних гарниц множества A называется точной нижней границей

(или нижней гранью) для A .

Точная верхняя граница множества A обозначается sup A (от

латинского supremum – «наивысшее»), а точная нижняя граница – inf A (от infimum – «наинизшее»).

Отметим, что равенство M = sup A равнозначно следующим

x′ A , такой, что x′ > M − ε .

Упражнение 1. Сформулировать аналогичные равнозначные требования для точной нижней границы множества A .

27

Теорема 1. Если непустое множество действительных чисел является ограниченным сверху (снизу), то оно имеет точную верх- нюю (нижнюю) границу.

Доказательство. Будем рассматривать только случай множества, ограниченного сверху.

Если множество содержит только конечное число чисел, то точная

верхняя граница находится путем последовательного сравнения чисел этого множества.

Пусть теперь множество элементов A = {a} бесконечное и для

определенности считаем, что среди его элементов есть неотрицательные действительные числа. Поскольку множество A ограничено сверху, то существует число M ³ 0 , для любого a, a A , выполняется нера-

венство

ные дроби a = a0 ,a1a2...am... . Возьмем целые части этих дробей. Все

они, согласно (1), не превышают M , и поскольку этих целых частей может быть только конечное множество, то среди них есть самая большая целая часть, которую обозначим a%0 .

Сохраним среди элементов множества A только те, которые имеют целую часть a%0 , остальные отбросим. У оставшихся чисел рас- смотрим первые десятичные знаки и выберем самый большой из них, обозначим его a%1 . Теперь оставим только те числа, у которых первый действительный знак после запятой равен a%1 . Найдем среди них те числа, которые имеют самое большое значение сотых долей обозначим его a%2 . Рассуждая аналогично, находим последовательно десятичные знаки a%1,a%2 ,...,a%n... и построим действительное число a% = a%0 ,a%1a%2...a%n... , которое и будет точной верхней границей множества A .

Действительно, возьмем произвольное число a = a0 ,a1...an... A . Из определения a% видно, что a0 ≤ a%0 . И если в последнем неравенстве будет выполняться строгое неравенство a0 < a%0 , то будет выполняться и неравенство a < a% (см. п. 5.10). Если же a0 = a%0 , то переходим к сравнению первых десятичных знаков a1 и a%1 . Снова, согласно опре- делению a%1 , имеем, что a1 ≤ a%1 . В случае неравенства a1 < a%1 будем иметь неравенство a < a% . Если a1 = a%1 , то переходим к сравнению следующих десятичных знаков a2 и a%2 . Сравнивая десятичные знаки

28

Сравнивая (2) и (3), получим a′ > a% − ε,a′ A .

Случай, когда множество A состоит только из отрицательных элементов, рассматривается аналогично. □

Упражнение 2. Проверить утверждение теоремы 1 в случае, когда множество A состоит только из отрицательных элементов.

Пример 1. Найти точную верхнюю грань интервала (0;1). Решение. Число 1 является верхней гранью интервала (0;1), т.к.

если x% ≤ 0 , то a (0;1): a > x . Если x% > 0 , то, как показано в примере 5.1, на интервале ( x%;1 ) найдется рациональное число a , такое, что x% < a <1, т.е. a (0;1) : a > x% . Таким образом, число 1 является точной верхней гранью, т.е. sup(0;1) =1. □

Заметим, что точная верхняя грань интервала (0;1) ему не при- надлежит, т.е. sup (0;1) (0;1), в то время как для полуоткрытого ин-

тервала (0;1] имеем sup (0;1] =1(0;1].

29

ГЛАВА 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Матрицы. Действия над ними

10. Понятие матрицы. Прямоугольную таблицу чисел из мно-

жества

назовем матрицей. Матрицы обозначаются латинскими буквами A, B,

C, D,…

Матрица A называется квадратной, если m = n . В общем случае

j = 1,n в (1) называются ее элементами, причем в записи элемента aij

первый индекс всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца; элементы ai1,ai2 ,...,ai n образуют i -ую строку, а элементы

a1 j ,a2 j ,...,am j – j -тый столбец. В связи с этим для обозначения мат-

рицы (1) будем употреблять запись A = (ai j )(i =1,m, j =1,n) . Если А –

квадратная матрица порядка n, то будем писать A = (aij )1n .

В математической литературе для записи матрицы (1) исполь- зуют также квадратные скобки [ ] или двойные черты .

Матрицы A и B называются равными (A = B) , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны (aij = bij ) .

Прямоугольную матрицу, состоящую из одного столбца

30

называют столбцовой (матрицей-столбцом) и обозначают так: col(x1; x2;...; xn ) (символ « col » в обозначении, если это не создает недоразумений будем опускать); прямоугольную матрицу, состоящую из одной строки (x1; x2;...; xn ) назовем строчной (матрицей-строкой).

Если все элементы матрицы нулевые, то матрица называется нулевой, ее будем обозначать О. Трапециевидной называют матрицу вида

называется диагональной и обозначается так: D = {d11,...,dnn} .

В случае d11 = d22 = ... = dn n =1 диагональная матрица называется

единичной и обозначается E (или En ).

Если в квадратной матрице все элементы, расположенные с одной стороны от главной диагонали, нули, то она называется треугольной.

При этом различают верхнюю треугольную (A) и нижнюю треугольную

Если элементами матрицы являются функции, то ее называют

функциональной.

31

20. Действия над матрицами.

Суммой двух матриц A = (aij ) и B = (bij ) одинаковых размеров m × n называется матрица C = (cij ) тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:

Для обозначения суммы матриц A и B используют запись A+B.

Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц.

Например,

Таким образом, можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Из определения сложения матриц и соответствующих свойств сложения действительных чисел вытекает, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойствами:

1)A + B = B + A ,

2)(A + B) + C = A + (B + C) ,

где A, B, C – произвольные матрицы одинаковых размеров.

Очевидно, что операцию сложения матриц можно распространить на случай любого числа слагаемых.

есть произведение соответствующего элемента матрицы A и числа α :

C = α A , т.е.

Операция нахождения произведения матрицы на число называется

умножением матрицы на число.

Например,

Из определения (3) произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1)α(A + B) = α A +αB ,

2)(α + β )A = α A + β A ,

3)(αβ )A = α(β A) .

Здесь A, B – матрицы одинаковых размеров, а α, β – числа из .

32