Математика для инженеров(теория)I том

то есть, условие Коши выполнено, и поэтому данная последователь- ность сходится. □

Пример 2. Доказать, что последовательность {xn} , где

Значит, данная последовательность не имеет предела, т.е. расхо- дится. □

233

§ 4. Понятие функции. График функции

10. Понятие функции. При изучении явлений природы, физиче- ских, экономических и других процессов часто встречаются с сово- купностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значения других. Например, площадь круга S однозначно определяется значением его

радиуса с помощью формулы S = π r2 .

Пусть Х и Y – два произвольных множества действительных чисел, т.е. X и Y . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие вполне определенный элемент у из множества Y , то говорят, что задана функция f. Для функции f

f

используются следующие обозначения: y = f (x), X ®Y, f : x ® y .

Переменная х называется независимой переменной или аргумен- том функции, переменная у – зависимой переменной или функцией. Множество Х называют областью определения или областью суще-

ствования функции f. Множество всех значений у, y Y , называется

областью значений функции.

Значение y , что соответствует определенному аргументу x при

значений функции в данном случае является отрезок [0; 1], Y = [0;1] .

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой С.

Функция f, определенная на множестве X, называется ограни-

234

Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на мно- жестве Х, если для любых значений x1, x2 , x2 > x1, из этого множества

то функция f (x) называется неубывающей (невозрастающей) на

множестве Х.

Функции всех указанных типов носят название монотонных. Такие функции часто встречаются в различных математических при- ложениях. Например, освещенность, меняющаяся по мере удаления от источника света, является монотонно убывающей функций расстояния.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами (x; f (x)) , т.е. координаты х и y точек графика свя-

заны соотношением y = f (x) . Например, графиком функции y = x2

является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является «сплошная» кривая. В частности, графиком функции y = n!

будет бесконечное множество изолированных точек (постройте!).

20. Способы задания функции. Чтобы задать функцию, требуется указать правило: как по каждому значению аргумента х находить соот- ветствующее значение функции y = f (x) . Существуют три основных

способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1) Аналитический способ. Если зависимость между переменными выражена с помощью формулы, то говорят, что функция задана ана- литически. Формула, задающая функцию, указывает совокупность действий, которые нужно в определенном порядке произвести, чтобы получить соответствующее значение функции. Рассмотрим, например,

функцию y = x -1 . Функция, заданная этой формулой, определена

на промежутке [1; +¥). Множеством значений является промежуток [0; + ¥). Графиком функции является множество всех точек плоскости

с координатами (x; x -1) , переменная х пробегает здесь проме-

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, множество значений состоит из элементов: –1, 0, 1. График изображен на рис.1б). Рассмотренную функцию обозначают y = sign x .

235

30. Понятие обратной и сложной функций. Пусть на множе-

стве Х задана функция f. Обозначим через Y множество значений функции f на множестве X, т.е. Y = { f (x): x X} . Если каждый элемент y Y является образом в точности одного элемента x X , то определена новая функция y → x , которая называется обратной

к функции f и обозначается f −1 .

Предположим, что для функции y = f (x) , заданной на отрезке

[a; b], существует обратная функция x = f −1 ( y). Пусть множеством

значений функции f является отрезок [с; d]. Тогда этот отрезок является областью определения обратной функ-

ции f −1 , а отрезок [а; b] – множеством ее значений. Графики функции y = f (x) и ее обратной x = f −1 ( y)

будут совпадать, если в первом случае аргумент откладывать вдоль оси Ох, а во втором – вдоль оси Оу (см. рис. 3).

Если же условиться и в случае функции f, и в случае обратной функции f −1 независимую пере- менную обозначать через х, а зависимую – через у, то для того, чтобы получить график функции y = f −1 (x) из графика y = f (x) , нужно

первый график зеркально отобразить от- носительно биссектрисы I и III четвертей координатной плоскости ( рис. 4) .

Пусть на некотором множестве Х задана функция f : x → y с множеством

значений Y, а на множестве Y в свою оче- редь задана функция g : y → z . Тогда на

множестве X можно определить функцию ϕ : x → z , такую, что z = g ( f (x)) .

называется сложной функцией или суперпозицией двух функций y = f (x) и z = g ( y) . Например, функция z = cos x является слож- ной функцией, суперпозицией тригонометрической функции y = cos x и

1

степенной z = y2 . Функция y = e2x+1 также является сложной функцией, суперпозицией линейной функции t = 2x +1 и показательной y = et .

237

Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение

x2 + y2 =1 определяет у как неявную функцию от х.

40. Классификация функций. Классификация функций произво- дится в зависимости от вида действий, которые необходимо выполнить над значением аргумента, чтобы получить значение функции.

1) Если над значением аргумента и некоторыми постоянными производится конечное число действий сложения, вычитания, умно- жения и возведения в целую положительную степень, то соответст-

вующая функция называется целой рациональной или алгебраическим многочленом. Такая функция может быть записана в виде

многочлена. Если a0 ¹ 0 , то Р(х) называют многочленом степени п.

2) Функция R(x), являющаяся отношением двух многочленов (целых рациональных функций), называется дробной рациональной функцией, т.е.

Множество целых и дробных рациональных функций образует

класс рациональных функций.

3) Если над аргументом х производятся не только перечисленные выше операции, но и операция извлечения корня, и полученный резуль- тат не является рациональной функцией, то говорят, что задана иррацио-

являются иррациональными функциями.

4) Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррацио- нальной, называется трансцендентной. Простейшими трансцендент- ными функциями являются:

а) тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x; б) обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, и т.д.;

а также функции, полученные из них с помощью конечного числа арифметических операций и операций суперпозиции, образуют класс

элементарных функций.

238

50. Построение графиков функций. В настоящем пункте,

предполагая, что графики простейших рациональных и трансцендент- ных функций известны, рассмотрим построение графиков функций с помощью линейных преобразований.

Пусть задана функция y = f (x) и ее график известен (рис. 5).

равную а (рис. 7).

сжатием). Если k < 0 , то график функции y = k f (x) получается из графика функции y = −k f (x) «зеркальным» отображением относи-

тельно оси Ох (рис.8).

4) График функции y = f (kx) , k > 0 получается из графика функ- ции y = f (x) растяжением при 0 < k <1 или сжатием ( k > 1) вдоль оси Ох. При k < 0 нужно «зеркально» отобразить график функции y = f (−kx)

относительно оси Оу. Для построения графика функции y = f ( x) ,

239

возьмем график функции y = x3 (рис. 10 а)). С помощью сдвига на величину а = 1 вправо вдоль оси Ох получим

график функции y = (x −1)3 (рис. 10б)). Перенесем полученный график вдоль оси Оy на одну единицу вверх и получим график функции y =1+ (x −1)3

(рис. 10в)). Наконец, «зеркально» отображая ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох,

получим график функции y = 1+ (x −1)3 (рис. 10г)). □

Рис. 10 а)

§5. Предел функции в точке и на бесконечности

10. Предел функции в точке. Пусть функция f определена

внекоторой окрестности точки x = a за исключением, быть может, самой точки а. Возьмем последовательность точек x = 0 из этой окре- стности, сходящуюся в точке а. Значения функции в точках последо-

вательности, в свою очередь, образуют последовательность

f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn ), ...

240

Число b называется пределом функции f в точке x = a (или при x → a ), если для любой последовательности { xk } , сходящейся к а,

соответствующая последовательность значений функции { f (xk ) }

сходится к b.

Для обозначения предела функции f в точке x = a используется

запись lim f (x) = b .

x→a

Пример 1. Функция f (x) = sin πx определена всюду на R за

исключением точки x = 0 . Выясним, существует ли предел этой функ- ции в точке x = 0 . С этой целью возьмем следующие две последователь- ности. Пусть первую последовательность составляют числа

а соответствующая последовательность значений функции будет состоять из единиц и иметь своим пределом число 1.

Теперь возьмем другую последовательность значений аргумента

мента { yk } сходится к нулю, и соответствующая последовательность

Таким образом, в первом случае последовательность значений функции сходится к 1, а во втором − к 0. Это означает, что функция

Первое определение основано на понятии пределов последо- вательностей и поэтому его называют определением «на языке после- довательностей» или определением по Гейне. Второе определение называют определением «на языке ε − δ » или определением по Коши.

241