Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 6028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Докажем, например, что (u + v)′ = u′ + v′ .
Воспользуемся определением производной:
(u + v)¢ = lim		(u(x + Dx) + v(x + Dx)) - (u(x) + v(x)) =
x→0				Dx
= lim	éu(x + Dx) - u(x)		+	v(x + Dx) - v(x)	ù	=
	ê				ú
		Dx		Dx
x→0	ë				û

= lim	u(x + Dx) - u(x)		+ lim	v(x + Dx) - v(x)		= u¢ + v¢.
				Dx
x→0		Dx	x→0
Аналогично		u(x + Dx)v(x + Dx) - u(x)v((x)
(uv)¢ = lim					=

	x→0		Dx

= lim	u(x + Dx)v(x + Dx) - u(x)v(x + Dx) + u(x)v(x + Dx) - u(x)v(x)									=
= lim										=
x→0				Dx
= lim		éu(x + Dx) - u(x)		ù	lim	é	v(x + Dx) - v(x) ù		=
= lim		ê	Dx	v(x + Dx)ú +	lim	êu(x)	Dx	ú	=
x→0		ë	Dx	û	x→0	ë	Dx	û
				= u′v + uv′.

Аналогичным образом проверяются формулы (1) в случаях раз- ности и частного двух функций.

Упражнение 1. Проверить формулы (1) в случаях разности и частного двух функций.

20. Производная постоянной, степенной, тригонометрических и показательной функций.

а) Пусть f (x) = c . Действительно,

f ¢(x) = lim

x→0

Тогда f ′(x) = 0 , т.е.		(c)′ = 0 .
f (x + Dx) - f (x)	= lim	c - c	= 0 .
Dx		Dx
	x→0

б) Пусть	α			Докажем, что		¢	α −1		,
	f (x) = x , α Î .					f (x) = α x
т.е.	α			α −1
		¢			.			(2)
	(x	)	= α x

Имеем

273

α æ

öα

(xα )¢ = lim

ç1

- x

(x + Dx)

- x

= lim

x→0

öα

Dx öα

ç1+

÷ -1÷

ç1

-1÷

ç α −1 è

= lim

lim

ç x

x→0

x ×

x→0

= lim

xα −1 × lim

(1+ Dy)α -1

= xα −1 ×α = α × xα −1.

x→0

y→0

(При вычислении последнего предела были использо-

ваны замена

эквивалентность

из

п.5.9.30 ).

Таким образом, формула (2), где α – любое вещественное число, верна при тех значениях аргумента x , при которых

xα имеет смысл.

в) Производная функции

y = sin x

выражается форму-

лой

= cos x .

(sin x)

Докажем ее. По определению производной

(sin x)¢ = lim

sin(x + Dx) - sin x

= lim

2sin 2x cos(x + 2x )

x→0

sin x

(

)

= lim

lim cos

x +

= 1×cos x = cos x .

x→0

Первый предел вычислен на основании первого заме- чательного предела, второй – на основании непрерывности функции cos х.

Аналогично доказывается, что (cos x)′ = -sin x .

Из полученных формул и правила дифференцирова-

ния частного имеем:

æ sin x ö′

(sin x)¢cos x - (cos x)¢sin x

cos2 x + sin2

(tgx)¢ = ç

cos2 x

è cos x ø

(ctgx)

= - sin2 x .

г) С помощью второго замечательного предела можно показать, что

(ax )¢ = ax ln a (a > 0,a ¹ 1) .

(3)

274

x ¢

= e

)

Упражнение 2. Доказать формулу (3).

30 . Производная обратной функции.

Утверждение 1. Если функция y = f (x)

строго моно-

тонна и непрерывна в некоторой окрестности

точки x0 ,

имеет

производную

в точке x0

и f ¢(x0 ) ¹ 0 , то обратная функция

x = f −1(y) име-

ет производную в

соответствующей точке

y0 ,

y0 = f (x0 ) ,

причем ( f

−1

) (y0 ) =

¢(x0 )

Доказательство. По теореме 5.13.1 обратная функ-

ция x = f −1(y) существует, является монотонной и непре-

рывной в некоторой окрестности точки y0 .

В этой точке

придадим аргументу у приращение Dy ¹ 0 . Соответствую-

щее приращение x	в	силу		строгой	монотонности	тоже
будет отличным от нуля.
Следовательно,	Dx	=	1	, причем,	если Dy ® 0 ,	то и
	Dy		Dy

x → 0 . Переходя к пределу в этом равенстве, получим

lim

или

−1

. □

( f

) (y0 ) =

lim

f ¢(x0 )

y→0

x→0

40. Производная логарифмической и обратных тригонометриче-

ских функций.

а) Производная

функции

y = loga x (a > 0,a ¹ 1)

выража-

ется формулой (loga x)¢ =

xln a

y = loga x

Действительно,

логарифмическую функцию

можно рассматривать как функцию, обратную показательной функции

x = ay	1						1	1		.
¢	1						1	1
Поэтому (loga x) =				=				=		. □
Поэтому (loga x) =	(a	y	¢	=	a	y	ln a	=	xln a	. □
	(a		)		a		ln a
б) Производная функции							y = arcsin x			выражается фор-
мулой

275

¢	=	1
			.
(arcsin x)		1- x2

Действительно, функция y = arcsin x является обратной для функции y = sin x . Поэтому, применяя правило дифференцирования

обратной функции, получим

(arcsin x)' =

(sin y)'

cos y

1- sin

1- x

Корень взят со знаком плюс,

так как

;

y = arcsin x Îç

÷ и

cos y > 0

□

Аналогично доказываются следующие формулы:

(arccos x)' = -

(4)

1- x2

(arctg x)' =

(5)

1+ x 2

(arcctg x)' = -

(6)

+ x 2

Упражнение 3. Проверить формулы (4) – (6).

50 . Таблица производных. На основании вышеизло-

женного составим следующую таблицу:

(c)′ = 0 ,

ö′

(xα )' = α xα −1,α Î , и

= -

, (

x )

è x

x ¢

= a

ln a (a > 0,a ¹ 1)

= e

)

(loga x)¢ =

(a > 0,a ¹1)

и (ln x)¢ =

xln a

5)(sin x)′ = cos x ,

6)(cos x)′ = -sin x ,


	¢			1
7)	(tg x)	= cos2 x				,
	(ctg x)	¢			1
8)		¢	= - sin2 x				,
8)			= - sin2 x				,

276

9)	(arcsin x)' =	1				,
9)	(arcsin x)' =					,
			1- x2
10)	(arccos x)' = -			1				,
10)	(arccos x)' = -							,
				1- x2
11)	(arctg x)' =	1			,
11)	(arctg x)' =		1+ x 2		,
12)	(arcctg x)' = -			1			.
12)	(arcctg x)' = -			+ x 2			.
		1		+ x 2

§ 3. Производная сложной и неявной функций

10 . Производная сложной функции.

Утверждение 1. Если функция u = ϕ(x) имеет в точке x0 производную, а функция y = f (u) имеет в соответст - вующей точке u0 (u0 = ϕ(x0 )) производную f ′(u0 ) , то слож- ная функция y = f (ϕ(x)) имеет производную в точке x0 и с п р а в е д л и в а с л е д у ю щ а я ф о р м у л а :

y′(x0 ) = f ′(u0 )ϕ′(x0 ) .

(1)

Доказательство. По определению производной

f ¢(u0 ) = lim

f (u0 + Du) - f (u0 )

= lim

Df (u0 ) .

u→0

На основании теоремы о связи функции, ее предела и

бесконечно малой (Т.5.6.1) можем записать

Df (u0 )

= f ¢(u0 ) +α(Du) ,

где α( u) есть бесконечно малая функция при

u → 0 . Следова-

тельно,

Df (u0 ) = f ′(u0 )Du +α(Du)Du .

x ,

Разделив обе части этого равенства на

получим

Df (u0 ) = f

¢(u0 ) Du +α(Du)

Du .

Перейдем к пределу при x → 0 и получим

Df (u

)

Du ö

lim

= f ¢(u0 ) lim

+ lim

çα(Du)

÷ .

x→0

Dx ø

Учтем, что

277

		lim	Df (u0 )				= f ¢(ϕ(x0 )) ,		lim
		x→0		Dx					x→0
lim	æ	α(Du)		Du	ö	= lim		æ
lim	ç	α(Du)		Dx	÷	= lim		çα(Du) lim
x→0	è			Dx	ø		x→0	è	x→0

и получим формулу (1). □

DDux = ϕ¢(x0 ) ,

Du ö = 0 ×ϕ¢(x ) = 0 D ÷ 0

x ø

Формулы производных, приведенные в таблице, пра- вила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, сложной функции являются основными формулами диф-

ф е р е н ц	и р о в а н и я	ф у н к ц и и .
П р и м е р 1 . Н а й т и п р о и з в о д н у ю ф у н к ц и и
y = cos x + x arctg x + 2		.
Решение.	Применим правила дифференцирования
суммы: y′ = (cos x)′ + (x arctg x)′ + (2)′ .		Затем воспользуемся

таблицей производных и правилом дифференцирования произведения:

¢	¢	¢			x
			+ 0 = -sin x + arctg x + 1+ x2 . □
y	= -sin x + (x) arctg x + x(arctg x)
Пример 2. Найти производные следующих функций:
а)	y = sin(2x +1) ,	б) y = ln3 x ,	в)	y = ecos4 x .
Решение. а)		Данная функция		является сложной:
y = sin u	и u = 2x +1. Обе эти функции имеют производные и,

по правилу дифференцирования сложной функции, нахо-

дим

y′ = (sin u)′(2x +1)′ = cosu ´ 2 = 2cos(2x +1).

б) Имеем сложную функцию:						y = u3 , u = ln x . Получаем
¢		3 ¢	¢		2	1			ln2 x	.
y	= (u	) (ln x)		= 3u		×		= 3
							x		x
в) Здесь сложная		функция,				где			y = eu , u = cos4 x . По

правилу дифференцирования

u ¢

= e

(cos

) (cos

Функ ци я

u = cos4 x

в с вою о чер едь

л о

й :

u = v4 ,

v = cos x.

= (v

= 4v

(-sin x) = -4sin xcos

) (cos x)

Таким

y¢ = ecos4 x (-4sin xcos3 x) = -2sin(2x)cos2 x ×ecos4 x.

x)¢.

такж е являе тся П о э т о м у

образом,

20 . Логарифмическая производная. Предположим,

что

278

f (x) > 0, x (a;b) .
Рассмотрим функцию	y = ln f (x) . Дифференцируя				эту
функцию как сложную, где	y = ln u ,		u = f (x) , получим
¢	¢	¢		f ′(x)	(2)

(ln f (x)) = (ln u)		f (x) = f (x) .

Производная от логарифма функции называется лога- рифмической производной этой функции, а последователь- ное применение операции логарифмирования, а затем дифференцирования называется логарифмическим диффе-

ренцированием.

С помощью этого метода найдем производную пока-

степенной функции

y = (u(x))v(x) ,

где u(x), v(x) – функ-

в точке x

производные и u(x) > 0 . Применяя формулу

(

)

y′

v(x) ¢

= [ln(u(x))

]

= [v(x)ln u(x)] .

В правой части имеем производную произведения:

			y′		¢	u′(x)
					= v (x)ln u(x) + v(x)			.
			y		= v (x)ln u(x) + v(x)	u(x)		.
Следовательно,
	¢			v(x) æ ¢			¢
	¢			v(x) æ ¢			u (x) ö
y		= (u(x))			çv (x)ln u(x) + v(x)				÷ .	(3)
y		= (u(x))			çv (x)ln u(x) + v(x)		u(x)		÷ .	(3)
					è		u(x)		ø
Пример 3. Найти производную функции										y = xx , x > 0 .

Решение. Если положить u = x и v = x , то можно при- менить формулу (3) и сразу записать производную. Рас- смотрим также равенство ln y = x ln x .


	Дифференцируя			это равенство как тождество, нахо-
дим	y′	¢	= ln x +1 .

	y = (xln x)
	Следовательно,			y¢ = xx (1+ ln x) . □

Пример 4. Найти производную функции y = (sin x)cos x , x Î(0;π ) . Решение. Логарифмируя, получаем ln y = cos xlnsin x .

279

yy′ = (cos x lnsin x)′ = −sin xlnsin x + cos x cossin xx . Отсюда y′ = sin xcos x−1(cos2 x − sin2 x lnsin x) . □

30 . Производная неявной функции. Пусть функция

y = y(x) задана неявно:
F(x, y) = 0 .	(4)
Для нахождения производной	y′ будем дифференци-

ровать обе части равенства (4), считая, что x – независи- мая переменная, а y есть функция переменной x. Из полу- ченного уравнения найдем y′ . Проиллюстрируем этот ме-

тод на следующем примере.

Пример 5. Найти производную функции y, заданной уравнением y = cos(x + 3y) . (5)

Решение. Дифференцируем обе части уравнения (5):

y′ = −sin(x + 3y)(x + 3y)′ ,
y′ = −sin(x + 3y)(1+	3y′) .			(6)
Решаем уравнение (6) относительно y′ :
y′ + 3sin(x + 3y)y′ = −sin(x + 3y) ,	y′ =	−sin(x + 3y)		□
			.
		1+ 3sin(x + 3y)

§ 4. Производные высших порядков

Пусть функция f (x) имеет производную в каждой точке x (a;b) . Тогда на промежутке (a; b) будет определе- на функция f ′(x) , и можно говорить о производной этой

функции.
Производной второго порядка функции		f (x) называ-
ется производная от	производной первого порядка f ′(x) ,
если	она	существует,

и обозначается y′′, f ′′(x) .

Производную от второй производной называют про-

изводной третьего порядка и обозначают y′′′, f ′′′(x) .

Аналогично производная n-го порядка является про- изводной от производной (n −1) -го порядка и обозначается

y(n) , f (n) (x) .

280

Производные высших порядков широко применяются, в частности, в физике. Выясним, например, физический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно и пройденный ею путь описывается уравнением s = s(t) , t –

время. Как известно из § 1, первая производная от пути по времени есть мгновенная скорость движения точки в мо-

мент времени	t :	v(t) = s′(t) .	Тогда вторая производная от
пути по времени		s′′(t) равна скорости изменения функции
скорости v(t) .	А	это есть	ускорение a(t) материальной

точки в момент времени t. Таким образом, вторая произ-

водная от пути по времени есть ускорение, т.е.

a(t) = s′′(t) .

Найдем производные n-го порядка для некоторых

элементарных функций.

y = xα , x Î(0;+¥) ,

Найдем y(n) степенной

функции

α .

Очевидно,

y¢ = α xα −1 ,

y¢¢ =α(α -1)xα−2 ,…,

y(n) =α(α -1)...(α - n +1)xα−n .

Если предположить, что α = k ,

то

(k)

= (x

)

(k)

= k(k

-1)...2

×1 = k!,

(k+1)

= (k!) = 0 .

Замечательным свойством обладает показательная

функция

y = ex . Для любого n справедлива формула

(ex )(n) = ex .

Найдем n-ую производную функции

y = sin x . Бу-

y¢ = cos x = sin ç x

÷, y¢¢ = cosç x

= sin ç x + 2

÷ ,

π ö

y¢¢¢ = cosç x + 2

= sin ç x + 3

÷ .

2 ø

С помощью метода математической индукции можно показать, что

(sin x)(n)

(1)

= sin ç x + n

÷ .

4) Аналогично,

(cos x)(n)

(2)

= cosç x + n

÷ .

Упражнение 1. Проверить формулы (1) и (2).

281

Приведем формулу нахождения производной n-го по- рядка произведения двух функций. Пусть y = uv , где u и v

– некоторые функции, имеющие производные любого по- рядка. Будем последовательно находить производные от функции y:

y′ = u′v + uv′, y′′ = u′′v + u′v′ + u′v′ + uv′′ = u′′v + 2u′v′ + uv′′ ,

y′′′ = u′′′v + u′′v′ + 2u′′v′ + 2u′v′′ + u′v′′ + uv′′′ = u′′′v + 3u′′v′ + 3u′v′′ + uv′′′

Правые части полученных формул похожи на разло- жение бинома Ньютона (u + v)n ,n =1,2,3 , только вместо по-

казателей степеней стоят порядки производных . Сами функции u и v следует рассматривать в этом случае как

п р о и з в о д н ы е				н у л е в о г о		п о р я д к а u = u(0) ,v = v(0) .
	Тогда можно записать формулу для производной n-го
п		о	р		я	д		n(n -1)	к	а	:
	y(n) = (uv)(n) = u(n)v(0) + nu(n−1)v¢ +							n(n -1)	u(n−2)v¢¢	+ ... +
	y(n) = (uv)(n) = u(n)v(0) + nu(n−1)v¢ +								u(n−2)v¢¢	+ ... +
		n(n -1)...(n - k +1)					2!				(3)
					u(n−k)v(k) + ... + u(0)v(n).						(3)
	+
	+
			k!
	Эта формула называется формулой Лейбница. Ее можно доказать
методом математической индукции.
	Упражнение 2. Доказать формулу (3).
	Пример		1.	Найти n-ую			производную			функции

y = x2 sin x .

Решение.

Полагаем

u = sin x ,

v = x2

и применим фор-

мулу Лейбница. Найдем

u(n)

+ n

,v¢ = 2x,v¢¢

= 2, v(n) = 0,n = 3,4... .

= sin ç x

Подставляя в формулу (3), имеем

(n)

π ö

n(n -1)

π ö

= sinç x

+ n

× x

+ nsin ç x + (n -1)

÷× 2x +

sinç x + (n - 2)

× 2

2 ø

+ 2nxsin

π ö

= x2 sin ç x + n

ç x + (n -1)

÷ + n(n -1)sin ç x + (n - 2)

÷.

2 ø

282

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 6028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc