Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров(теория)I том

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

4.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6037 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Покажем, что различные значения и получаются при k = 0,1,K,n −1. В самом деле, если k и k% – два значения, отличающиеся друг от друга на n или на любое число,

кратное n, т.

е. k% - k = mn,

mÎ , то

ϕ + 2π k%

ϕ + 2π k =

2π mn

= 2π m ,

а значит

cos

ϕ + 2π k%

= cos

ϕ + 2π k

; sin ϕ + 2π k%

= sin

ϕ + 2π k .

Итак, n различных значений корня n

получаются по

ϕ + 2π k

= (n z )

= n r

+ isin

(3)

çcos

где

k = 0,1, 2,K,n -1, ϕ = arg z, r =

Пример 2. Вычислить 6

- i .

Решение. Имеем

11π

3 - i = 2

+ isin

çcos

÷ . Отсюда

11π

uk = 6

3 - i = 6 2

+ i sin

çcos

11π

+ 2π k

+ 2π k ÷

= 6

çcos

+ isin

где

k =

0, 5

Значит,

u = 6

æcos

11π

+ isin

11π ö

36 ø

= 6

æcos

23π

+ isin

23π

ö ,

= 6

æcos

35π

+ isin

35π ö

36 ø

u = 6

æcos

47π

+ isin

47π

= 6

æcos

59π

+ isin

59π ö

36 ø

71π

u5 = 6 2

ç cos

+ isin

÷ . □

Формула извлечения корня из показательной формы

комплексного числа имеет вид

= n

i(ϕ+2π k )

reiϕ

= n

k =

(4)

0, n -1.

363

Пример 3. Вычислить 5z , где z = 2e−3i и представить результаты в алгебраической форме.

−3+2π k

−3i

Решение.

uk =

2 e

k = 0, 4 .

= 5

e−

= 5

æcosæ

+ isin æ

öö

÷÷

øø

» 1,15(0,825 - 0,565i) » 0,95 - 0,65i;

(−3+2π )i

(−3+4π ) i

u1 =

2 e

» 0,91+ 0,70i ;

u2 =

2 e

» -0,39 +1,08i ;

(−3+6π )i

u3 =

2 e

» -1,15

+ 0,03i ;

(−3+8π )i

u4 =

2 e

» -0,33 -1,10i . □

Упражнение 1. Доказать, что для комплексно-сопряженных чисел

(zn )= (z)n ,nÎ ; z ¹ 0 .

§ 6. Применение комплексных чисел

Так как комплексные числа геометрически представ- ляются векторами на плоскости, то все векторные физиче-

ские величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел.

Широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчете электрических цепей.

Заметим, что в электротехнике мнимая единица i обо- значается буквой j, так как буквой i традиционно обозна- чается ток в цепи.

Как известно, значение v величины, изменяющейся по законам гармонических колебаний с амплитудой V, уг- ловой частотой (угловой скоростью) ω и начальной фазой ϕ , задается уравнением

v =V sin (ω t +ϕ ),

(1)

где переменная t представляет время.

Такие уравнения используются в электротехнике при расчете электрических цепей переменного тока, основные характери- стики которых являются гармоническими колебаниями. В ча- стности, переменное напряжение задается уравнением

364

u = U sin(ω t + ϕ ) .

(2)

При стандартной частоте угловая частота ω является постоянным числом, следовательно, в этом случае уравнение (2) пол- ностью определяется двумя параметрами – амплитудой U и начальной фазой ϕ . Это позволяет сопоставить каждому

такому уравнению комплексное число U (cosϕ + isinϕ ) , мо- дуль которого равен U, а аргумент ϕ , и которое обознача-

&
ется U , т.е.
&	(3)
U = U (cosϕ + i sinϕ ) .	(3)

При этом комплексное число U& называется комплек- сом напряжения. Имеет место и обратное: каждому ком- плексному числу (3) можно сопоставить (при фиксирован- ной угловой частоте ω ) уравнение вида (2). Легко видеть, что установленное соответствие является взаимно одно- значным.

Аналогичная ситуация имеет место для уравнений тока и электродвижущей силы:

	i = I sin(ω t + ϕ ) ,	e = E sin (ωt + ϕ )
&	при определении комплекса тока		I& , комплекса э.д.с.
	и др.
E
	Пример 1. а) Написать комплексное число, соответ-
ствующее уравнению i =14sin (ωt +120o );
	б) написать уравнение гармонических колебаний, соответствую-
щее данному комплексному		числу	z = 4(cos50o + isin50o )

(считать ω = 314 рад/с или равным 18000 град/с).

Решение.

а) I& =14(cos120o + isin120o ) =14(−12 + i 32)= 7(−1+ i3). б) u = 4sin (ωt + 50o ). □

«Электротехническую интерпретацию» комплексных чисел дает следующее утверждение: сумма u двух гармонических ко- лебаний u1 , u2 с одной и той же угловой частотой ω :

u1 = U1 (sinωt + ϕ1 ), u2 = U2 sin(ωt + ϕ2 ) ,

является также гармоническим колебанием u = U sin(ωt + ϕ )

365

	с той же угловой частотой ω , которому
		&
	соответствует комплексное число U , равное сум-
	&	&
	ме комплексных чисел U1	и U2 (соответствующих ве-
	личинам u1 и u2 ).
	Это утверждение и другие, аналогичные
	ему, позволяют широко применять комплекс-
	ные числа в расчете различных характеристик
	электрических цепей.
Рис. 1	Пример 2. Два генератора, которые да-
Рис. 1	ют (при стандартной частоте) соответственно
напряжения	u1 = 220sin(ωt + 60o ) и	u2 =127sin(ωt - 90o ), со-

единены последовательно.

Определить напряжение на зажимах цепи, т.е. сум-

марное напряжение (рис. 1).
Решение.			Для нахождения		суммарного напряжения
		o		o	&
u = 220sin(ωt +	60		)+127sin(ωt - 90 )			со-
					вычисляем сумму U

ответствующих комплексных чисел – комплексов напря-

жений

(cos60

+ isin 60

) и

U1 = 220

=127(cos(-90 )+ isin(-90

)).

Имеем

+127(0 - i) »110 + 63,5i .

= 220

+ i

Представим

полученное

комплексное

число

U =110 + 63,5i

в тригонометрической

форме

(

» 30 )

»127,argU » 30 10

U& »127(cos30o + isin30o ).

Следовательно, суммарное напряжение задается уравнением

u»127sin(ωt + 30o ). □

§7. Алгебраические многочлены. Теорема Безу

366

Многочленом или полиномом n-й степени

Pn (z) будем

называть сумму a

zn + a

zn−1 +K + a z + a , где коэффициен-

n−1

ты ai ,i =

0,n

есть комплексные числа и переменная z

при-

нимает

значения

из множества

. В частности,

как

ai ,i =

так и z могут быть действительными.

Коэффици-

0,n

ент a0 называется свободным членом.

Таким образом,

Pn (z) = å ak zk , an ¹ 0 .

(1)

k=0

Число

z0 называется нулем

или

корнем

многочлена

Pn (z),

если Pn (z0 ) = 0 .

Разделить многочлен Pn (z)

на двучлен

z − a , где а

есть заданное число, значит представить его в виде

Pn (z) = (z - a)× Pn−1 (z) + r ,

(2)

где

Pn−1 (z) есть многочлен степени n −1, а r называют

остатком

от деления многочлена на z − a . При этом допускают, что равенство (2)

выполняетcя

для

всех

значений

(или

z ). Если

r = 0 ,

z − a .

то

говорят, что многочлен делится на

Коэффициенты

многочлена

(z) = b

zn−1 + b

zn−2

+K+ b z + b и остаток r можно высчитывать

n−1

n−2

1 0

согласно рекуррентным формулам

bn−1 = an , bn−2 = an−1 + abn−1,K , b0 = a1 + ab1, r = a0 + ab0 .

При вычислениях используют таблицу

an−1

bn−1

bn−2

Верхняя строка этой таблицы задана, а нижняя по- степенно заполняется согласно с заданными выше форму- лами. Такой способ нахождения некоторого частного и ос- татка при делении многочлена на двучлен называют схе-

мой Горнера.

367

Пример 1. По схеме Горнера разделить многочлен

P(z) = z4 + (2 + i)z2 + +(1+ 2i) z − i на двучлен z + i .

Решение. Постепенно находя коэффициенты по ука- занным формулам и записывая их во вторую строку, полу-

чаем следующую схему Горнера

	1	0	2 + i	1+ 2	−i

−i	1	−i	1+ i	2 + i	1− 3

и r =1− 3i . □

Замечание 1. Рассмотрим многочлен (1) с действи- тельными коэффициентами. Если степень n многочлена

Pn (z) больше степени m многочлена Qm (z) , то многочлен Pn (z) можно разделить, вообще говоря, с остатком на Qm (z) , при этом степень остатка меньше m, т.е. справед-

ливо равенство

Pn (z) = Qm (z) Sk (z) + Rl (z) ,	(3)
где Pn (z) – делимое, Qm (z) - делитель,	многочлен k-й

степени Sk (z) – частное от деления Pn (z) на Qm (z) , Rl(z) –

остаток, при этом l < m .				На практике такое деление осуще-
ствляется «уголком», как и деление целых чисел.
		Пример	2.	Разделить		многочлен
P	(z) = 2z4 + z3 + z2		− z − 3 на многочлен Q (z) = z3			+ 2z2 −1.
n					m
		Решение. Поступая, как и при делении целых чисел,
получаем
				z3 + 2z
		2z4 + z3 + z2 − z		z3 + 2z

		2z4 + 4z3 − 2z		2z − 3

		−3z3 + z2 + z −
		−3z3 − 6z2 + 3

		7z2 + z − 6

368

Таким образом, частное	S (z) = 2z - 3 , остаток		R (z) =7z2 + z -6	,
	1		2
так что 2z4 + z3 + z2 - z - 3 = (z3 + 2z2 -1)(2z - 3) + 7z2 + z - 6 . □
Теорема 1 (Безу).	Число	z0 является	корнем много-

члена Pn (z) тогда и только тогда, когда Rn (z) делится без остатка на

z - z0 , т.е. если
Pn (z) = (z - z0 ) × Sn−1 (z) ,	(4)
где Sn−1 (z) – многочлен степени n −1.
Доказательство. Необходимость. Пусть	z0 – корень
многочлена Pn (z) , т. е. Pn (z0 ) = 0 . Согласно равенству (2)

при z = z0 имеем	r = P(z0 ) . Таким образом,			r = 0 , что озна-
чает делимость многочлена		Pn (z0 ) на z - z0 .
Достаточность. Если многочлен делится на z - z0 , то это означает
справедливость	равенства	(4),	откуда	следует, что
Pn (z0 ) = 0 . Таким	образом,	z = z0	есть корень многочлена
Pn (z) . □

Ответ на вопрос о существовании корня многочлена дает следующая теорема.

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий мно-

гочлен положительной степени имеет хотя бы один ко- рень (действительный или комплексный).

Доказательство этой теоремы будет приведено в гла- ве 7 второго тома настоящего учебника.

§ 8. Разложение многочлена на множители

10 . Число

называется корнем

многочлена

P (z)

кратности k, если Pn (z)

можно представить в виде

(z)

= (z - z

)k × S

n−k

(z) , S

n−k

) ¹ 0 .

(1)

Другими словами, если

Pn (z) делится без остатка на

(z - z0 ) k и не делится на

(z - z0 ) k+1 ,

то k

называется крат-

ностью корня z0 .

369

Если, в свою очередь, число z1 является корнем многочлена Sn−k (z)

кратности

k ,

то

n−k

(z) = (z - z

)k1 S

n−k−k1

(z) ,

где

(z1 ) ¹ 0 .

Sn−k−k1

Продолжая

этот процесс, через конечное

число

шагов

получим

многочлен

нулевой степени

Sn−k−k −K−k

m−1

= A ,

причем A = an .

z0 , z1, z2 ,K, zm – корни многочлена

Таким образом, если

Pn (z) к р а т н о с т и k0 ,k1,K,km , с о о т в е т с т в е н н о , п р и ч е м k0 + k1 + ... + km = n , то имеет место следующее разложение

м н о г о ч л е н а				Pn (z)	н а		м н о ж и т е л и
P (z) = a		(z - z	0	)k0 (z - z	)k1 (z - z	2	)k2 K(z - z	m	)km ,	(2)
n	n			1
т.е. всякий многочлен n-й степени раскладывается на
n линейных множителей типа					z - z0 и числовой множитель,
равный коэффициенту при zn .
Пусть z = z0	есть действительный корень кратности k многочлена

Pn (z) с действительными коэффициентами. Тогда этот

многочлен можно записать в виде (1).

Пусть теперь z0 = α + i β , β ¹ 0 , есть комплексный ко- рень многочлена Pn (z) , тогда и число z0 = α - i β также бу-

дет корнем этого многочлена. Действительно, используя свойства комплексно-сопряженных чисел, получим

+K +

= a

zn + a

zn−1 +K + a

a zn

+ a

zn−1

P (z)

n−1

0 n

n−1

= a

z n + a

z n−1 +K+ a = a

(z )n + a

(z )n−1 +K+ a = P (z )

n−1

Отсюда, если Pn (z0 ) = 0 , то Pn (z0 ) =

= 0 , т. е. z0 – корень

Pn (z0 )

многочлена Pn (z).

разложении многочлена Pn (z) на

Следовательно,

множители

будет

присутствовать

произведение

(z - z0 )×(z - z0 ).

Отсюда следует, если

– корень кратности k,

то и

z0 − корень

кратности

k. Другими словами, многочлен

Pn (z) в этом случае можно представить в виде

370

P (z)

= (z - z

(z - z

× S

n−2k

(z) .

(3)

Имеем

(z - z

)×(z - z

) = é(z -α ) - β iù × é(z -α )

+ β iù = z2

+ pz + q ,

где p = −2α , q = α 2 + β 2 – действительные числа.

Легко видеть,

что трехчлен

z2 + pz + q

имеет дискри-

минант D =

- q = -β 2 < 0 .

если z0

Таким

образом,

– комплексный

корень

трехчлена

z2 + pz + q , то

дискриминант

D < 0 .

Справедливо

и обрат-

ное: если

D < 0 ,

то трехчлен имеет комплексно-

сопряженные корни:

z1,2 = - 2p ± i -D .

Из вышеизложенного вытекает: если z0 и z0 − ком- плексно-сопряженные корни многочлена Pn (z) кратности k, то, в силу представления (3), имеет место разложение

Pn (z) = (z2 + pz + q)k× Sn−2k (z) ,	(3/ )
где p,q – действительные числа, p2 - 4q < 0 , а	для

многочлена Sn−2k (z) с действительными коэффициентами

числа

z0 ,

не

являются его

корнями,

т.е. Sn−2k (z0 ) ¹ 0 ,

Sn−2k (z0 ) ¹ 0 .

Пусть

z1, z2 ,..., zm – все действительные корни много-

члена

Pn (z),

их

кратности соответственно

равны

Pn (z), согласно

k1,k2 ,K,km ,

где åki £ n . Тогда

многочлен

формуле

(1),

i=1

можно

представить

виде

P (z) = (z - z )k1

(z - z

)k2

K(z - z

)km Q(z), где

Q(z)

–

много-

член степени n - åk i с действительными коэффициента-

i=1

ми,

который не имеет действительных корней.

371

Если Q(z) – многочлен ненулевой степени, то каждой

паре комплексно-сопряженных корней			zi , zi кратности l j
соответствует множитель (z2 + p j z + q j ) l j			из формулы (3/ ),
где			p j	2 - 4q j < 0 .
С учетом этого обстоятельства получим
Pn (z) = an (z - z1 ) k1K(z - zm ) km (z2 + p1z + q1 ) l1K(z2 + ps z + qs ) ls ,
(4)
m	s
где åki + 2ål j = n ; p j2 - 4q j < 0 , j =		1,s	.
i=1	j=1
Таким	образом, зная все корни многочлена Pn (z) с

действительными коэффициентами, можно его разложить на множители с действительными коэффициентами, это значит представить в виде (4), где числа

an , z1,K, zm , p1,..., ps ,q1,K,qs – действительные.

20 . Тождественность двух многочленов. Выясним условие, при котором два многочлена тождественны. Пе- рейдем здесь от обозначения переменной z к x, подчерки- вая тем самым, что все дальнейшие рассмотрения будут п р о в о д и т ь с я в о б л а с т и д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .

Утверждение 1. Многочлен Pn (x) равен нулю тогда и

только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. Доказательство. Действительно, согласно формуле

(2), многочлен n -ой степени Pn (x) можно представить в

виде

Pn (x) = an (x - x1)(x - x2 )...(x - xn ),		(2΄)
где x1, x2 ,..., xn – корни этого многочлена,	среди кото-
рых могут быть и равные.		n -ой сте-
Из разложения (2΄) следует, что многочлен		n -ой сте-
пени не может иметь более чем n корней	с	учетом их
кратности. Если же он обращается в нуль при	n +1 различ-

ных значениях x0 , x1, ..., xn , то этот многочлен тождественно

равен нулю. В самом деле, т.к. Pn (x0 ) = 0, x0 ¹ xi , i =1,n, но ни один из его линейных множителей в (2΄) не равен нулю,

следует, что an = 0 , а значит, согласно той же формуле (2), Pn (x) тождественно равен нулю.

372

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 6037 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20181.61 Mб17Маркетинг 1-18,24-27.doc
#
18.02.201698.41 Кб50Маркетинг готовые шпоры.docx
#
14.04.201960.88 Кб3Мат логіка 2 курс 3 семестр.docx
#
12.08.20192.49 Mб39Мат Моделирование (конспект).doc
#
18.02.20162.81 Mб114Математика для инженеров(практика) I часть.pdf
#
18.02.20164.09 Mб103Математика для инженеров(теория)I том.pdf
#
18.02.20161.05 Mб68Математика шпоры заочники.docx
#
27.09.2019302.06 Кб5МАТЕМАТИКА ШПОРЫ.docx
#
19.11.2019602.11 Кб2материал хоз процесс.doc
#
18.02.2016217.6 Кб78Материалы для шпор.doc
#
22.11.201962.98 Кб3Материалы к зачету ЭУП, ПЛ з.о. 1 сем.doc