Математика для инженеров(теория)I том

указанное неравенство. Сущность равномерной сходимости последо- вательности функций состоит в том, что для любого ε > 0 можно выбрать такой номер N0 = N0 (ε) , зависящие только от заданного ε и

не зависящий от выбора точки x X , что при n > N0 указанное нера- венство будет выполняться всюду на множестве X .

Введение в рассмотрение указанного понятия имеет смысл, т.к. могут быть такие функциональные последовательности { fn (x)} , кото-

10. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

Теорема 1 (критерий Коши). Для того, чтобы функциональная последовательность { fn (x)} равномерно сходилась на множестве X ,

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер N0 (ε ) такой, что при всех m > N0 (ε) и n > N0 (ε ) и всех x X

имело бы место неравенство

что и требовалось доказать.

263

Достаточность. При любом фиксированном x X функцио- нальная последовательность { fn (x)} превращается в числовую и для

нее выполняется критерий сходимости Коши. Это значит, что она имеет предел f (x) , т.е. предельная функция существует на всем мно-

жестве X . Далее, каково бы ни было число ε > 0 , по условию теоремы

x X будем иметь

fn (x) - f (x) < ε ,

т.е. fn (x)Þ f (x) . Теорема 1 доказана. □

X

20. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности.

Теорема 2. Если последовательность функций { fn (x)} равномерно сходится на множестве X к функции f (x) и fn (x) – непрерывны в точке x0 Î X , то f (x) также непрерывна в точке x0 .

Доказательство. Справедливо очевидное равенство

264

в точке x0 . □

Задания для самостоятельной работы

1.Выяснить, ограничены ли последовательности:

2.Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:

4.Пусть последовательность { xn + yn} сходится. Следует ли отсюда, что последовательности { xn} , { yn} сходятся?

265

8.Представить сложную функцию y = f (x) в виде суперпозиций со- ответствующих функций, если:

ж) y = x3 - 3x + 2 ; з) y = 1+ ln x .

10.Построить графики заданных функций в полярной системе коор- динат:

266

Как следует выбрать число А, чтобы функция f (x) была непре- рывна в точке x = 3 ? Построить график функции f (x) .

20.Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют сле- дующие функции, и построить их графики:

267

22.Показать, что уравнение x3 - 3x +1 = 0 имеет на интервале (1; 2) один действительный корень. Вычислить приближенно этот корень.

22. Верно ли равенство:

1+ x2 =1+ 12 x2 + o(x2 ) при x → 0 ?

23. Докажите, что функции tg x, x, ex -1 эквивалентны при x → 0 .

268

ГЛАВА 6

ПРОИЗВОДНАЯ

§1. Производная функции, ее геометрический

ифизический смысл

10 . Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна в окрестности точки x = a . Если независимой переменной х придать приращение х в этой точке, то функция получит соответст-

С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной, одного из важнейших понятий математи-

предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

точке x X , то производную f ′(x) можно рассматривать как функцию

переменной х на множестве X.

Из определения производной следует и способ ее вы-

функции y = f (x) :

y = f (a + x) − f (a) = ((a + x)2 + 2(a + x) + 2) − (a2 + 2a + 2) = = 2a x + ( x)2 + 2 x = (2a + 2 + x) x.

269

лы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции существуют односторонние производные в точке x =1 (правая и левая соответственно).

Выясним связь между существованием производной и непре- рывностью функции в заданной точке.

Теорема 1. Если функция y = f (x) в точке х имеет производную f ′(x) , то она непрерывна в этой точке.

ной в точке, но не иметь в ней производной. Это видно из

имеет в ней производной.

20 . Геометрический смысл производной. Пусть функция y = f (x) определена на интервале

(a; b) . Предположим, что кривая

270 Р

АВ является графиком этой функции (рис. 1). Пусть M (x0; f (x0 )) – произвольная точка графика. Придадим ар-

секущую. Найдем угловой коэффициент секущей, проходящей через точки М и Р. Ясно, что он вычисляется по формуле (см. рис. 1)

k x = DDfx . Если точку Р устремить по кривой АВ к точке М, то поло-

жение секущей будет, вообще говоря, изменяться.

Если при x → 0 существует предельное положение секущей, то полученная прямая называется касательной к

дельного положения секущей является существование сле- дующего предела:

Прямая, проходящая через точку (x0; y0 ) и перпенди-

кулярная касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Учитывая условие перпендикуляр- ности двух прямых, запишем уравнение нормали:

30 . Физический смысл производной. Пусть некото-

рая материальная точка М движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t) , т.е. известно расстояние s(t) от

точки М до некоторой начальной точки отсчета в каждый

271

момент времени t. В момент времени t0 точка пройдет

скорость движения на промежутке времени [t0;t0 + Dt] . Чем

меньше промежуток времени t , тем точнее соответст-

вующая средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени t0 . Поэтому предел средней ско-

рости движения при t → 0 называют скоростью движения (или мгновенной скоростью движения) точки М в момент времени t0 и обозначают v(t0 ) , т.е.

Понятие скорости, заимствованное из механики, удобно использовать и при изучении произвольной функ-

мой переменной y относительно аргумента x, а y′(x) есть скорость изменения y в точке x.

§ 2. Правила дифференцирования. Таблица производных

1 0 . Правила дифференцирования. Если функци и u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке x, то сумма,

разность, произведение и частное этих функций также имеют производную в этой точке (частное при условии, что ν (x) ¹ 0 ) и с п р а в е д л и в ы с л е д у ю щ и е ф о р м у л ы :

272