Математика для инженеров(теория)I том

Базис n-мерного евклидова пространства V называет- ся ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонор- мированную систему.

Теорема 1. В n-мерном евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис.

Доказательство проведем методом математической индукции

в отношении размерности n линейного евклидова про- странства.

При n =1 теорема выполняется, так как если a1 есть базис одномерного

пространства V, то вектор e1 = 1 a1 есть нормированный a1

вектор и образует базис этого пространства.

Допустим, что в каждом нормированном пространст- ве V размерности n −1 существует ортонормированный ба- зис, и докажем справедливость этого утверждения для п р о с т р а н с т в а V р а з м е р н о с т и n .

Пусть система (1) есть произвольный базис n- мерного пространства V. В этом случае линейная оболочка

L( a1,a2 ,K,an−1 ) (конечномерное пространство, состоящее из мно- жества всех векторов, которые можно записать в виде линейной

183

нормированным, а система e1,e2 ,K,en – ортонормирован-

ной. На основании утверждения 1 e1,e2 ,K,en есть ортонор- мированный базис в n-мерном евклидовом пространстве V.

□

Получим выражение скалярного произведения векто- ров в пространстве n через их координаты в ортонорми- рованном базисе. Пусть в этом пространстве n задан ор- тонормированный базис { e1,e2 ,K,en } и даны векторы x и y:

x= x1e1 + x2e2 +K+ xnen ,

y= y1e1 + y2e2 +K + ynen.

Тогда, используя аксиомы скалярного произведения 4.1) – 4.4) и свойства скалярного произведения векторов

ei ,i =1,n , имеем

(x, y) = (x1e1 + x2e2 +K + xnen , y1e1 + y2e2 +K + ynen ) =

= (x1e1, y1e1 )+ (x2e2 , y2e2 )+K+ (xnen , ynen ) = x1 y1 + x2 y2 +K+ xn yn .

Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений одноименных координат.

Отсюда, x = (x, x) = x12 + x22 +K + xn2 .

§ 6. Линейные операторы. Матрица линейного оператора

10. Понятие линейного оператора. В начале книги (см. § 1) было введено понятие функции (отображения) f . Для, так на-

зываемых, линейных отображений чаще используется тер- мин «оператор».

Оператор (преобразование) f линейного пространства V называ-

ется линейным оператором (преобразованием), если для любых векторов

184

x и y из V и каждого действительного числа λ выполняют-

где α и β – любые действительные числа.

Упражнение 1. Проверить соотношение (2). Простейшим примером линейного оператора А явля-

ется тождественное преобразование, т.е. A(x) = x , которое

каждому вектору x V ставит в соответствие тот же век- тор.

1.Пусть V – n-мерное арифметическое пространство

n и A% – квадратная матрица порядка n. Каждому столбцу

A(x) = A(α1e1 + α2e2 +K + αnen ) =

=α1 A(e1 ) +K + αn A(en ) = α1 y1 + α2 y2 +K + αn yn ,

т.е. образ любого вектора x V можно выразить через

образы базисных векторов e1,e2 ,K,en . Значит, линейный

185

20. Матрица линейного оператора. Пусть А – линейный оператор,

переводящий базис e1,e2 ,K,en соответственно в систему

векторов y1, y2 ,K, yn . Каждый из векторов последней

системы разлагается по базису:

i-тый столбец которой состоит из координат вектора yi , i =1,n , на-

зывают матрицей линейного оператора А в базисе { e1,e2 ,K,en } и обо-

значают А (для матрицы оператора сохраним то же обозначение, что и для линейного оператора).

Ранг r этой матрицы называют рангом линейного опе-

ратора,

а число n − r – его дефектом.

Таким образом, каждому линейному оператору n-

мерного

линейного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе и обратно, каждой матрице порядка n со- ответствует линейный оператор (преобразование) n- мерного линейного пространства.

В частности, матрица А тождественного преобразова-

н и я в любом базисе n-мерного линейного пространства будет единичной порядка n; любой единичной матрице порядка n с о о т в е т с т в у е т т о ж д е с т в е н н о е п р е о б р а з о в а н и е n - м е р н о г о л и н е й н о г о п р о с т р а н с т в а .

Пример 1. Пусть в пространстве 2 всех свободных векторов на плоскости определено преобразование поворота всех век- торов вокруг начала координат на угол ϕ . Проверить, что

186

данное преобразование линейно и найти его матрицу в ба- зисе i , j .

Решение. Каждому вектору x этой плоскости поставим в соответ- ствие вектор y = A(x) , который получен поворотом вектора x на один и тот же угол ϕ . Такое преобразование линейно, так как условия (1) выполнены.

Найдем матрицу этого преобразования в базисе i , j .

рицей (3). Пусть координаты любого вектора x и его образа y = A(x) известны:

Найдем зависимость между координатами векторов x

и y.

Используя матрицу (3), имеем

187

Матрица оператора α A в заданном базисе равна произве- д е н и ю м а т р и ц ы о п е р а т о р а А н а ч и с л о α .

Результат последовательного использования двух линейных операторов A :V →V , B :V →V называют их произведением и обозна- чают B o A (оператор, который выполняется первым, записывают с правой

стороны), т.е. (B o A)(x) = B( A(x)). Если в пространстве V задать базис

и обозначить через А матрицу оператора А, а через В матрицу опера- тора В в этом базисе, то матрица оператора B o A в том же базисе равна произведению матриц В и А.

Произведение операторов чаще называют композицией или

суперпозицией.

§7. Зависимость между матрицами линейного оператора

вразличных базисах

189

Упражнение 1. Используя соотношение (1) доказать следующее:

если матрица линейного преобразования невырождена в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырож- денной в любом другом базисе.

Пример 1. Пусть в базисе B = {e1,e2} линейное преоб-

линейного преобразования n -мерного линейного про-

190

Пусть A – линейный оператор в n -мерном линейном пространстве V , определяемый матрицей A порядка n .

Собственным вектором данного линейного оператора (матрицы A ) называется такой ненулевой вектор x ÎV , который удовле-

творяет

условию

причем λ – действительное число, называемое соб-

ственным числом или собственным значением оператора A (матри- цы A ), а x называется собственным вектором.

Пример 1. Показать, что любой ненулевой n -вектор x является собственным вектором линейного оператора n - мерного пространства, определяемого единичной матрицей E , при этом собственные значения равны единице.

Решение. По правилам умножения матриц имеем:

Утверждение 1. Собственные векторы и собственные значения удовлетворяют следующим свойствам:

1)Собственный вектор линейного оператора имеет единственное собственное значение λ .

2)Если x – собственный вектор линейного оператора

нием λ .

3) Если x и y – линейно независимые собственные

векторы линейного оператора A с одним и тем же собст- венным значением λ , то x + y – также собственный вектор

имеет два различных собственных значения λ1 и λ2 линейного пре- образования A . Тогда Ax = λ1x и Ax = λ2 x . Отсюда λ1x = λ2 x или

(λ1 - λ2 ) x = 0 . Так как x ¹ 0 , то λ1 - λ2 = 0 или λ1 = λ2 , что противо- речит предположению.

191

линейно зависимы. Тогда для некоторого действительного

с собственным числом λ1 . В силу свойства 1), из равенства y = λ2 x получаем, что λ1 = λ2 , что противоречит условию. □

Упражнение 1. Используя свойство 4) показать, что собственные

векторы линейного оператора с попарно различными собственными числами линейно независимы.

Из свойств 2) и 3) следует, что если x1, x2 ,K, xn – ли-

нейно независимые собственные векторы линейного оператора А с одним и тем же собственным значением λ , то любая нетривиальная ли-

нейная комбинация этих векторов есть собственный вектор этого линейного оператора с собственным значением λ .

Преобразуем уравнение (1), определяющее собственные векторы и собственные числа линейного оператора А, к однородному уравнению.

Из (1) имеем Ax - λ x = 0 . Поскольку x = E × x , то отсю- да получаем Ax - λ E x = 0 или

Условие при котором система (1’) имеет нетривиальное решение, запишется в виде:

стическим многочленом матрицы А, а его корни – харак-

теристическими числами или собственными значениями матрицы А.

Упражнение 2. Показать, что характеристические многочлены матриц А и A% = T −1AT совпадают.

192