Математика для инженеров(теория)I том

Образующие всех трех цилиндров, определяемых уравнениями (2), (3), (4), параллельны оси Oz, а направляющей служит соответст- вующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости Oxy.

Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид

с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической поверхности является парабола x2 = 4y, z = 0 . □

Поверхности (2), (3), (4) схематически изображены на рисунках 1, 2, 3.

153

ляет две пересекающиеся плоскости – плоскость Оху и биссектральную плоскость z = x , проходящую через ось Оу. □

§ 17. Эллипсоид

Эллипсоидом (рис. 1) называется п о в е р х н о с т ь , о п р е д е л я е м а я в декартовой системе координат Oxyz

к а н о н и ч е с к и м у р а в н е н и е м

где величины а, b, c называют полуосями эллипсоида.

155

И з уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсои-

параллельной плоскости Оху. Тогда линия, которая получается в сечении, определяется системой уравнений:

z = h, где h < c , представляет собой эллипс с полуосями ak и bk. Если

h = ±c , то этот эллипс стягивается в точку – вершину эллипсоида

(0;0;+с) или (0;0;−c) .

Аналогичная картина получается при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Заметим только, что плоскость Oхz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется системой

x2 + y2 = (1− h2 )a2 , z = h c2

156

с центром на оси Oz. Поэтому такой эллипсо- ид можно получить вращением расположен-

ного в плоскости Oхz эллипса x2 + z2 =1 во- a2 c2

круг оси Oz. Эллипсоид (3) называют эллипсои-

л и п с о и д я в л я е т с я с ф е р о й .

§18. Гиперболоиды

10. Однополостный гиперболоид. Однопо-

Рис. 1 лостным гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат Oxyz определяется канониче-

ским уравнением

Установим форму поверхности (1). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получаем соответственно системы уравнений:

Из (2) следует, что в сечениях будут гиперболы соответственно в п л о с к о с т я х O x z и O y z .

Рассмотрим теперь сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Оху. В сечениях полу- ч и м л и н и и , о п р е д е л я е м ы е с и с т е м о й у р а в н е н и й

157

Из ( 3′ ) заключаем, что плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями а1 и b1.

Рассмотренные сечения показывают, что однополостный гипер- болоид изображается в виде бесконечной трубки, бесконечно расши- ряющейся в обе стороны по мере удаления от плоскости Оху (рис. 1).

Величины a, b, c называются полуосями однополостного гипер- болоида.

20. Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом

называют поверхность, определяемую в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением

Для установления формы поверхности (4) рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями Oxz и Oyz. Получим

соответственно системы уравнений

из которых вытекает, что сечения представляются гиперболами. Изучим теперь сечения гиперболоида (1) плоскостями z = h . В сечениях

получаем линии

пересекает гиперболоид по эллипсу с полу- осями а2 и b2, причем при увеличении h величины а2 и b2 также увеличиваются.

кость z = h не пересекается с гиперболоидом (4).

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид в виде поверхности, состоящей из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 2).

Величины a, b, c называют полуосями двуполостного гиперболоида. Если полуоси a и b гиперболоида (однополостного или двуполост- ного) равны, то он называется гиперболоидом вращения и получается

двуполостного гиперболоида.

§ 19. Параболоиды

Эллиптическим параболоидом (рис. 1) называется поверхность,

определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим

уравнением

159

называется параболоидом вращения. Он получается при вращении

параболы z = x2 , y = 0 вокруг оси Oz. a2

Задания для самостоятельной работы

1. Найти множество точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению x + y =1 .

2. Установить, какое множество точек задает неравенство x2 + y2 £ 4x + 4y .

3.На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек плоскости, удаленных от А вдвое дальше, чем от В.

ìïx2 + y2 =1, 4. Установить, при каких значениях параметра а система í

ïîx + y = a

не имеет решений, имеет единственное решение, имеет бесчислен- ное множество решений.

5.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 4

иобразующей с осью Ox угол α = π4 .

6.Построить прямую, заданную уравнением y = 0,75x + 2.

7.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 1) и

образующей с осью Ox угол α = π6 .

8.Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(3;1) и

M2 (5; 4) .

9.Дано общее уравнение прямой 12x − 5y − 65 = 0 . Написать уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

10.Прямая задана уравнением 3x − 5y +15 = 0 . Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

11.Установить, какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, идущими по двум взаимно перпендикулярным дорогам с одинаковой скоростью (рассмотреть все возможные случаи).

161

12.Прямые заданы уравнениями y = x − 0,5 и y = 2x +1. Найти угол между этими прямыми.

13.Показать, что прямые 3x − 5y + 7 = 0 и 10x + 6y − 5 = 0 перпенди- кулярны.

14.Показать, что прямые x + y −1 = 0 и 2x + 2y − 3 = 0 параллельны.

15. Прямая L задана уравнением x − 5y +11 = 0 и дана

точка М (5; 2). Найти расстояние d от точки М до прямой L.

16.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x − 3y −1 = 0 и 3x − y − 2 = 0 и перпендикулярной прямой y = x +1.

17.Составить уравнение плоскости, проходящей через

линию пересечения плоскостей x + y + 5z −1 = 0, 2x + 3y − z + 2 = 0 и через точку М(3; 2;1).

18.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; 4) и перпендикулярной к оси Ox.

19.Записать уравнение плоскости, проходящей через

x − 3y + 6z −12 = 0 и 2x − 6y +12z + 36 = 0 .

21. Найти угол между двумя плоскостями:

а) 4x − 5y + 3z −1 = 0, x − 4y − z + 9 = 0;

б) x − 3y + z + 5 = 0, 5x − 3y + z −1 = 0 .

22.Найти угол между плоскостями, проходящими через точку М(1; 3; 4), одна из которых содержит ось Oy , другая – ось Oz .

24. Написать канонические уравнения следующих пря-

162