2. Радиоактивные превращения ядер

Основной закон радиоактивного распада

,

(2.1)

где N(t) – ожидаемое количество радиоактивных ядер к моменту времениt;N₀ – число радиоактивных ядер в момент времениt= 0; λ – постоянная распада; τ – среднее время жизни радиоактивных ядер;Т_1/2– их период полураспада.

Активность

,

(2.2)

где N_d(t) – число ядер, которые должны испытать распад к моменту времениt;А₀– активность в начальный момент времениt= 0. Остальные обозначения те же, что и в формуле (2.1).

Закон накопления числа радиоактивных ядер при активации

,

(2.3)

где g– среднее число радиоактивных ядер, образующихся в единицу времени (скорость активации).

Вековое равновесие

,

(2.4)

если λ₂>> λ₁иt>>Т_1/2. Индекс «1» относится к материнским ядрам, индекс «2» – к дочерним.

Биномиальный закон распределения вероятностей (формула Бернулли) для радиоактивного распада

(2.5)

позволяет вычислить вероятность распада за время t точно N ядер, если в начальный момент времени их было N₀. Вероятности p(t) и q(t) (см. задачу 2.1) равны соответственно

р(t) =1 –e-λt,	(2.6)
q(t) =e-λt.	(2.7)

Распределение Пуассона

,

(2.8)

где W(N) – вероятность совершения точноNслучайных событий в течение некоторого промежутка времени; μ – математическое ожидание случайной величины. Распределение Пуассона можно использовать, если μ <<N₀, гдеN₀– возможное число случайных событий (генеральная совокупность, например, число радиоактивных ядер).

Дисперсия распределения Пуассона

D ≡ σ2 = μ,

(2.9)

или средняя квадратичная погрешность (отклонение)

σ = .

(2.10)

Распределение Гаусса или нормальное распределение

,

(2.11)

где ε = |N- μ| - отклонение случайной величиныNот ее математического ожиданияμ; σ – среднее квадратичное отклонение случайной величиныNот ее математического ожиданияμ.

Средняя квадратичная погрешность суммы или разности независимых случайных величин

,

(2.12)

где σ_i – среднее квадратичное отклонение отдельной случайной величиныN_i.

Погрешность f– функции случайных аргументов х₁, х₂, … :

,

(2.13)

где – погрешность соответствующего аргумента.

Кулоновская функция V_c(r) ядра, для частицы с зарядомz :

МэВ,

(2.14)

где Z_я– атомный номер ядра, аrвыражено в см.

Из (2.14) получим формулу для расчета высоты кулоновского барьераВ_св точкеr = R_я, где радиус ядра находится по формуле (1.1):

, МэВ.

(2.15)

2.1. Законы радиоактивного распада Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Решение. Пусть в момент времениt= 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времениt = t´(рис. 2.1.1) имеются две возможности:

1) ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q(t´);

2) ядро распалось и вероятность этого события равна р(t´).

Очевидно, что

q(t´) +р(t´) = 1,

(2.1.1)

т.к. третьей возможности нет.

Выясним, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´, если за предшествующее времяt´ ядро не распалось.Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность того, что произойдут оба события будет равна

dр = q(t´)·λ·dt,

(2.1.2)

где λdt - вероятность распада за интервал времениdt. Из (2.1.1) следует, чтоdp(t´) =–dq(t´). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахожденияq(t´):

dq= –q(t´)·λ·dt.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие q(t = 0) = 1 найдем, что вероятность того, что ядро не испытает распад к заданному моменту времени

q(t) = e-λt,

(2.1.4)

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

p(t) = 1 –e-λt.

(2.1.5)

Если в момент времени t= 0 имелосьN₀радиоактивных ядер, то к моменту времениtнаиболее вероятное (ожидаемое)число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад,должнобыть равным

N(t) =N0·q(t) =N0e-λt,

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться отN(t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.