Задача 2.17

Радионуклид¹²⁴Sbобразуется с постоянной скоростьюg= 1,0·10⁹ядер в секунду. С периодом полураспадаТ_1/2= 60 сут он превращается в стабильный нуклид¹²⁴Те. Найти а)через сколько времени после начала образования активность¹²⁴SbстанетА= 3,7·10⁸Бк; б)какая масса нуклида¹²⁴Те накопится в препарате за четыре месяца после начала его образования.

Решениеа). Умножая правую и левую части формулы (2.3) на постоянную распада λ нуклида ¹²⁴Sb, получим уравнение

,

(2.17.1)

из которого

.

б)Поскольку распад каждого атома нуклида¹²⁴Sbсопровождается образованием атома стабильного нуклида¹²⁴Те, то его масса за времяtпосле начала образования нуклида¹²⁴Sbбудет равна

M_Te(t) = М_ат(¹²⁴Те)·N(t),

где N(t) – количество ядер нуклида¹²⁴Sb, распавшихся за времяt. В свою очередь

,

если для вычисления A(t)использовать (2.17.1).

Окончательно получим

M_Te(t_б) = М_ат(¹²⁴Те)·

= 124·1,66·10^-24[exp+–1]

.

Задача 2.18

Радионуклид¹³⁸Xe, который образуется с постоянной скоростьюg= 1,0·10⁹ядер в секунду, испытывает превращение по схеме

(под стрелками указаны периоды полураспада). Вычислить суммарную активность препарата через 60 мин после начала накопления.

Решение. Искомая активность

А(t) = А1(t) + А2(t) = А1(t) + λN2(t).

(2.18.1)

Зависимость А₁(t) активности нуклида¹³⁸Xeвыражается формулой (2.17.1). Для нахождения зависимостиN₂(t) накопления ядер нуклида¹³⁸Сsнеобходимо решить уравнение

,

где N₁(t) иN₂(t) – накопление ядер¹³⁸Xeи¹³⁸Сs, аN₁(t) вычисляется по формуле (2.3), тогда

.

Решение этого уравнения, которое получается методом вариации постоянной(см. задачу 2.11), приN₂(t=0) = 0 имеет вид

.

Подставив полученное решение и (2.17.1) в (2.18.1), получим окончательно

.

Вычисление величины Апроделать самостоятельно (А = 1,4·10¹⁰Бк).

2.2. Альфа- и бета-распады, γ-излучение ядер Задача 2.19

Покоящиеся ядро²¹³Ро испустило α-частицу с кинетической энергиейТ_α= 8,34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергиюQ_α, освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра?

Решение1). Запишем схему α-распада ядра²¹³Ро:

.

Посколькувысвобождаемая энергияЕ_αвыделяется в виде кинетичскойэнергиипродуктов распада, то при распаде покоящегося ядра²¹³Ро

Qα=Тα+Тя.

(2.19.1)

Закон сохранения импульса

,

или

,

(2.19.2)

т.к. исходное ядро покоится. Поскольку Т_α<<m_α, а следовательно, иТ_я<<m_я, то можно использовать классическую связь между кинетической энергией и импульсом:

.

В этом случае с помощью (2.19.2) получаем, что

.

(2.19.3)

Подставив (2.19.3) в (2.19.1) и решая полученное уравнение относительно Е_α, получим

.

(2.19.4)

2). Доля кинетической энергии Т_я ядра ²⁰⁹Pb от полной энергии Q_α, высвобождаемой при α-распаде ядра ²¹³Ро, составит

.

3). Скорость ядра отдачи

=

= 3,8·10⁵м/с.

Задача 2.20

Распад²²⁶Thядер происходит из основного состояния и сопровождается испусканием α-частиц с кинетическими энергиями 6,33; 6,23; 6,10 и 6,03 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней дочернего ядра.

Решение. Построим энергетическую диаграмму α-переходов ядра²²⁶Th. Жирными линиями обозначены основные уровни энергии материнского и дочернего ядер. Суммарная кинетическая энергия ядра отдачи²²²Raи α-частицы при рождении дочернего ядра в одном из возможных энергетических состояний равна, согласно (2.19.4),

.

(2.20.1)

Тогда, если энергию E₂₀основного уровня дочернего принять за нуль, энергии уровней будут иметь следующие значения:

.