Задача 1.12

Вычислить с помощью полуэмпирической формулы (1.4) а)энергии связи ядер⁴⁰Са и¹⁰⁷Ag; б)энергии связи на один нуклон в ядрах⁵⁰V и²⁰⁰Hg; в) массы атомов⁴⁵Sc и⁷⁰Zn.

Решениеа). У ядра ⁴⁰Са Z =20, поэтому четвертый член в формуле (1.4) равен нулю, а пятый следует взять со знаком плюс, тогда

Ядро¹⁰⁷Ag имеет Z = 47. Пятый член в формуле (1.4) равен нулю. Справочные значения искомых величин 342,06 и 915,27 МэВ.

б). Этот пункт рекомендуется проделать самостоятельно.

Указание: для вычисления энергии связи на один нуклон в ядрах⁵⁰V и²⁰⁰Hg необходимо с помощью формулы (1.4) найти полную энергию связи этих ядер и разделить ее на соответствующее массовое число (см. формулу (1.5.1)). Должны быть получены следующие значения: 8,65 и 7,81 МэВ/нуклон.Справочные значения 8,70 и 7,91 МэВ/нуклон.

в). Массы атомов выразим из формулы (1.2):

Mат(A,Z) = Z·mH+ (A - Z)·mn– ΔW(A,Z).

(1.12.1)

Подставив в (1.12.1) энергию связи из формулы (1.4) получим рабочую формулу для нахождения масс атомов:

(1.12.2)

Вычисления масс атомов ⁴⁵Sc и⁷⁰Zn по формуле (1.12.2) (проделать самостоятельно) дают следующие значения: 44,955 и 69,932 а.е.м. Справочные значения 44,956 и 69,925 а.е.м.

Задача 1.13

Определить с помощью формулы (1.4) заряд ядра, имеющего наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А. Предсказать с помощью полученной формулы характер активности (электронная или позитронная) следующих β-активных ядер: ¹⁰³Ag;¹²⁷Sn и¹⁴¹Cs.

Решение. Согласно формуле (1.12.1) ядрам с наибольшей энергией связи отвечает наименьшая масса. Поэтому для ядер изобаров (нуклидов с одинаковыми массовыми числами А) всегда имеется ядро с Z₀, имеющее наименьшую массу. Для нахождения Z₀вычислим частную производную от (1.12.2) и результат приравняем нулю:

(1.13.1)

Подставив в (1.13.1) массу нуклида и массу нейтрона в а.е.м., и решая относительно Z₀, получим

.

(1.13.2)

Если для заданного нуклида (A,Z) расчет по формуле (1.13.2) дает Z₀ > Z, то для увеличения Z ядро должно испытывать β^--распад, если же Z₀< Z, то β⁺-распад.

В ядре ¹⁰³Ag Z =47, а для данного нуклида

.

Следовательно, Z > Z₀и ядро¹⁰³Ag должно испытывать β⁺-распад.

В ядре ¹²⁷Sn Z = 50, а а для данного нуклида

.

Следовательно, Z < Z₀ и ядро¹²⁷Sn должно испытывать β^--распад.

В ядре ¹⁴¹Cs Z = 55, а а для данного нуклида

.

Следовательно, Z < Z₀и ядро¹⁴¹Cs должно испытывать β^--распад.

Задача 1.14

Сколько компонент сверхтонкой структуры имеют в основном состоянии следующие атомы: ³H(²S_1/2);⁶Li(²S_1/2);⁹Be(¹S₀);¹⁵N(⁴S_3/2)³⁵Cl(²P_3/2). В скобках указан основной терм электронной оболочки.

Решение. ЧислоNлиний сверхтонкого расщепления оптических спектров определяется числом проекций вектораполного механического момента атома и равно (согласно (1.5)) 2I+ 1, еслиJ ≥ I; или 2J+ 1, еслиJ<I. С помощью табл. 1 приложения устанавливаем спиныIядер, а с помощью термов электронной оболочки – механические моментыJэлектронной оболочки соответствующего атома. Построим таблицу, которая дает ответ на поставленные вопросы:

Нуклид	I	J		N
3H	1/2	1/2	J = I	2I + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
6Li	1	1/2	J < I	2J + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
9Be	3/2	0	J < I	2J = 1 = 2(0) +1 = 1
15N	1/2	3/2	J > I	2I + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
35Cl	3/2	3/2	J = I	2I + 1 = 2(3/2) + 1 = 4