Задача 1.7

Вычислить энергию связи нейтрона в ядре ¹⁴N, если известно, что энергии связи ядер¹³Nи¹⁴Nравны 94,10 и 104,66 МэВ.

Решение. Энергия связи нейтрона в ядре¹⁴Nравна

Sn(14N) = mn + Mат(13N) – Mат(14N).

(1.7.1)

Воспользуемся формулой (1.2) для выражения масс нуклидов ¹³Nи¹⁴Nчерез энергию связи их ядер:

Mат(13N) = 7mH + (13-7)mn – ΔW(13N),	(1.7.2)
Mат(14N) = 7mH + (14-7)mn – ΔW(14N).	(1.7.3)

Подставив (1.7.2) и (1.7.3) в (1.7.1), получим, что

Sn(14N) = ΔW(14N) – ΔW(13N) = 104,66 – 94,10 = 10,56 МэВ.

Задача 1.8

Найти энергию, необходимую для разделения ядра ¹⁶О на α-частицу и ядро¹²С, если известно, что энергии связи ядер¹⁶О,¹²С и⁴Не равны 127,62; 92,16 и 28,30 МэВ.

Решение. Выкладки, аналогичные тем, которые сделаны в задаче 1.7, приводят к следующему результату:

S_α(¹⁶О) = ΔW(¹⁶О) – ΔW(⁴Не) – ΔW(¹²С) =

=127,62 – 92,16 – 28,30 = 7,16 МэВ.

Задача 1.9

Определить энергию, выделяющуюся при образовании двух α-частиц в результате синтеза ядер²Н и⁶Li, если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах²Н,⁴Не и⁶Liравны 1,11; 7,08 и 5,33 МэВ соответственно.

Решение. Запишем реакцию процесса синтеза:

2Н +6Li→4Не +4Не.

По определению энергия Q, которая освобождается в этом процессе, численно равна разности масс исходной и конечной систем:

Q = Mат(2H) + Mат(6Li) – 2Mат(4He).

(1.9.1)

Используя формулу (1.2) для выражения в (1.9.1) масс атомов через их энергию связи (проделать самостоятельно), получим

Q = 2ΔW(4He) – ΔW (2H) – ΔW(6Li) = = 2·4(4Не)–2(2Н)–6(6Li) = = 2·4·7,08–2·1,11–6·5,33 = 22, 44 МэВ.

Задача 1.10

Показать, что для ядра сферической формы с однородной плотностью электрического заряда энергия кулоновского отталкивания протонов V_с= 0,6kZ²e²/R, гдеZиR– заряд и радиус ядра,k– коэффициент пропорциональности, определяемый системой единиц. В СИk= 9∙10⁹м/Ф, в СГСk= 1.

Решение. Однородная плотность электрического заряда ядра

.

(1.10.1)

Работа, совершаемая против сил электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса rс зарядом

,r ≤ R,

(1.10.2)

при перемещении заряда dq из бесконечности в точкуr будет равна

dA = [φ(r) – φ∞]∙dq= φ(r) ∙dq

(1.10.3)

при условии, что φ_∞= 0. В (1.10.3)φ(r) – потенциал электрического поля, создаваемый зарядомq(r) на поверхности сферы радиусаr,

,

(1.10.4)

если использовать выражение (1.10.2).

Дифференцируя (1.10.2) по r, получим связь между изменением заряда сферы при добавлении зарядаи ее радиусом:

.

(1.10.5)

Подставив (1.10.4) и (1.10.5) в (1.10.3), получим

.

(1.10.6)

Поскольку совершаемая работа увеличивает потенциальную кулоновскую энергию ядра, то dA = dV_с. Поэтому

.

(1.10.7)

Задача 1.11

Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер¹иопределяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов (см. формулу (1.10.7) в предыдущей задаче), вычислить их радиусы. Сравнить результаты с вычислением радиусов по формуле (1.1).

Решение. Разность энергий кулоновского отталкивания протонов в ядрахисогласно формуле (1.10.7) будет равна

.

(1.11.1)

В (1.11.1) принято, что в соответствии с (1.1) радиус ядра не зависит от Zи определяется только величиной массового числа А.

Из этого выражения находим, что

.

(1.11.2)

По условию задачи уменьшение энергии связи ядра относительно энергии связи ядраобусловлено большей энергией кулоновского отталкивания протонов в ядреприодинаковойэнергии ядерного взаимодействия. Поэтому

ΔVс = ΔW(23Na) – ΔW(23Mg).

(1.11.3)

Используя формулу (1.3) для ΔW(A,Z),вычислим ΔV_св (1.11.3):

ΔVс=[Δn – ΔH + Δ(23Mg) – Δ(23Na)]·931,5 = = [ 0,008665 – 0,007825 – 0,005865 + 0,010227] ·931,5 = 4,85 МэВ

Подставляя полученное значение ΔV_с= 4,85 МэВ в (1.1,1.2), определим величинуR:

Расчет величины R(выполнить самостоятельно) по формуле (1.1) дает 4·10^-13см, что хорошо согласуется с найденной выше величиной радиуса ядра.