Задача 2.21

При распаде ядер²¹²Ро испускаются четыре группы α-частиц: основная с кинетической энергией 8,780 МэВ и длиннопробежные с кинетическими энергиями 9,492; 10,422 и 10,543 МэВ. Рассчитать и построить схему уровней ядра²¹²Ро, если известно, что дочерние ядра во всех случаях возникают непосредственно в основном состоянии.

Решение. Ядра²¹²Ро, имеющие период полураспада относительно α-распада около 2·10^-7с, рождаются в результатеβ-распада ядер²¹²At, причем преимущественно в одном из возбужденных состояний. У α-активных ядер с существенно большими периодами полураспада, подавляющая часть ядер сначала перейдет в основное состояние с испусканием γ-квантов, после чего испытает α‑распад. Однако у ядер со сравнимыми временами жизни по отношению к α-распаду и испусканию γ-квантов небольшая, но заметная часть возбужденных ядер²¹²Ро будет испытывать α-распад из возбужденных состояний. При этом энергия α-распада увеличивается и возникающие таким образом α-частицы имеют бóльшую энергию, чем испущенные из основного состояния. Возникающая ситуация иллюстрируется с помощью диаграммы возможных энергетических переходов при α-распаде ядер²¹²Ро. Тогда, согласно формулам (2.19.1) и (2.20.1), возможные уровни энергий ядра²¹²Ро будут иметь следующие значения:

.

Задача 2.22

Оценить высоту кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами ²²²Rn(закруглением вершины барьера пренебречь). Какова у этих ядер ширина барьера (туннельное расстояние) для α-частиц, вылетающих с кинетической энергией 5,5 МэВ.

Решение. Если пренебречь линейными размерами α-частицы и считать ее точечным объектом, то кулоновский барьер будет иметь остроконечную форму. Из формулы (2.15)

МэВ.

Очевидно, что полученная оценка несколько завышена.

Если предположить, что кинетическая энергия α-частицы по обе стороны потенциального барьера Т_к=Т_α= 5,5 МэВ, то ширина барьера (туннельное расстояние) – область, классически недоступная α-частице, представлена на схеме отрезкомR_яR₁.

Для нахождения радиуса ядра ²²²Rnвоспользуемся формулой (1.1):

R_я= 1,4·10^-13A^1/3 = 1,4·10^-13222^1/3= 8,5·10^-13см.

Положение точки R₁на осиrнайдем из условия равенства потенциальной энергииα-частицы в электрическом поле ядра²²²Rnв точкеR₁(формула 2.15) и ее кинетической энергииТ_α:

,

если использовать формулу (2.14). Из последнего уравнения

см.

Ширина барьера составит

R₁ – R_я= (42,8 – 8,5)·10^-13=3,4·10^-12см.

Задача 2.23

Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами ²⁰⁹Ро, с орбитальным моментомl= 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.

Решение. α-Частица может покидать ядро не только двигаясь точно по лини, проходящей через центр инерции системы дочернее ядро – α-частица, т.е. сl= 0, но и покидать ядро, имея орбитальный моментl> 0. В этом случае, кинетическая энергия α-частицы, необходимая для преодоления кулоновского барьера, уменьшается на величину центробежной энергии на границе ядра:

Т_к=Т_α–B_ц.

Таким образом, возникает центробежный барьер, который необходимо преодолеть α-частице как при входе в ядро, так и покидая его. В классической механике центробежная энергия двух тел массой Mиm, вращающихся вокруг центра инерцииcлинейными скоростямиVиvсоответственно, равна

,

т.к. вращение обоих тел относительно центра инерции (точка «о») происходит с одинаковой угловой скоростью и поэтомуv_M/ v_m = R/r=m/M (см. схему). Продолжая преобразования, получим

,

где – приведенная масса частиц.

Учитывая, что механический (орбитальный) момент α-частицы может принимать только дискретные значения,

,

величины которых определяются орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, … , получим выражение для центробежной энергии

,

где μ – приведенная масса α-частицы и ядра ²⁰⁹Ро. ЗначениеV_цпри r = R_яназывается высотой центробежного барьера

.

(2.23.1)

Последовательное квантовомеханическое рассмотрение приводит к такому же выражению для центробежного барьера.

Используя формулу (2.14) для высоты кулоновского барьера, получим окончательно