Задача 4.8

Выяснить с помощью формулы Брейта-Вигнера условия, при которых сечение радиационного захвата нейтронов подчиняется закону 1/v_n (см. рис. 4.1)

Решение. Исследуем формулу (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата, сделав следующие три предположения:

1. Т_n << Т₀;

2. Г_γ ≈ const;

3. Г_γ>>Г_nи полная ширина уровня Г = Г_γ+ Г_n≈ Г_γ ≈const.

Возможность применения последних двух предположений обсуждалась в предыдущей задаче.

Тогда

,

т.е.

.

Задача 4.9

Найти с помощью формулы (4.7.1) Брейта-Вигнера для сечения радиационного захвата нейтрона отношение σ_min/σ₀, гдеσ_min– минимальное сечение реакции (n,γ) в областиT_n<T₀(см. рис. 4.1);σ₀– сечение этого процесса приT_n=T₀, если Г <<Т₀.

Решение. Считая Г_γ ≈const и Г ≈const, из формулы (4.7.1) для сечения процесса радиационного захвата нейтрона получим

.

(4.9.1)

Для нахождения T_minпродифференцируем формулу (4.7.1) поT_n, приняв(см. 4.2), и результат приравняем нулю. После несложных преобразований получим квадратное уравнение

.

Из этого уравнения

,

т. к. Г << Т₀. Подставив полученное значениеT_minв (4.9.1), получим

.

Задача 4.10

Какова должна быть толщина dкадмиевой пластинки, чтобы параллельный пучок тепловых нейтронов при похождении через нее уменьшился в 100 раз?

Решение. Пусть Ф₀– плотность потока параллельного пучка нейтронов, падающих на пластинку. По мере прохождения пластинки плотность потока нейтронов будет уменьшаться вследствие захвата их ядрами кадмия. Выделим в пластинке на глубинехслой толщинойdx. Изменение плотности потока при прохождении слояdxравно

,

где n– концентрация ядер поглотителя нейтронов;σ_а– сечение поглощения тепловых нейтронов.

Решение этого уравнения с граничным условием Ф(х= 0) = Ф₀имеет вид

,

(4.10.1)

где d– толщина пластинки. Из (4.10.1) получим

.

(4.10.2)

Тепловые нейтроны эффективно захватываются только ядрами ¹¹³Cd, атомное содержание которого в природном кадмии составляет 12,26%. Сечение захвата тепловых нейтронов σ_а(¹¹³Cd) = 2·10⁴барн. Для вычисленияdнайдем концентрацию ядер¹¹³Cd:

.

Окончательно

.

Задача 4.11

Вцентре сферического слоя графита, внутренний и внешний радиусы которогоR₁= 1,0 см иR₂ = 10,0 см, находится точечный источник нейтронов с кинетической энергиейТ_n= 2 МэВ. Интенсивность источникаI₀=2,0·10⁴с^-1. Сечение взаимодействия нейтронов данной энергии с ядрами углерода σ = 1,6 барн. Определить плотность потока нейтронов Ф_n(R₂) на внешней поверхности графита, проходящих данный слой без столкновений.

Решение. Приступая к решению этой задачи, рекомендуется хорошо разобрать решение задачи 3.22. Построим элемент телесного уголаdΩс вершиной в точке нахождения источника (рис. 4.11.1). По определению, плотность потока нейтронов в точкеR₂будет равна

,

(4.11.1)

где – количество нейтронов, не испытавших рассеяния и падающих со стороны графита на площадкуdSв секунду. Количество нейтронов, испущенных источником в телесный уголdΩ в одну секунду и падающих на внутреннюю поверхность слоя в точкеR₁, составит

.

Поскольку часть нейтронов испытает рассеяние на ядрах углерода, то в соответствии с формулой (4.10.1) число нейтронов, не испытавших рассеяния и проходящих в секунду через площадку dSв точкеR₂, составит

,

где n– концентрация ядер углерода.

Подставив полученное выражение в (4.11.1) и воспользовавшись определением (3.22.2) для элемента телесного угла, получим

.