Задача 1.19

Определить с помощью модели ядерных оболочек спины и четности основных состояний ядер .

Решение. При решении задачи будем руководствоваться следующими правилами, которые являются следствиями из модели оболочек.

1. Суммарный механический момент нуклонов одного рода в заполненных оболочках равен нулю.

2. Один из «лишних» нуклонов (сверх заполненного уровня) имеет механический момент следующего уровня и определяет спин и четность ядра.

3. Один из «недостающих» до заполнения уровня нуклонов («дырка») имеет механический момент этого уровня и определяет спин и четность ядра.

4. Нуклоны одного уровня объединяются в пары с нулевым механическим моментом.

Для решения задачи необходимо иметь схему уровней, получаемых с помощью модели ядерных оболочек (см. рис. 1.1).

Ядро . Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни, включая 1р_1/2. Лишний нейтрон находится на уровне 1d_5/2, поэтому спин ядраI= 5/2. Орбитальный момент лишнего нуклонаl= 2. Следовательно, четность ядра

P = (–1)^l= (–1)²= +1.

Ядро . Суммарный механический момент протонов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число протонов. Нейтронами полностью заполнены уровни включая 1d_1/2Лишний нейтрон находится на уровне 2s_1/2, поэтому спин ядраI= 1/2. Орбитальный момент лишнего нуклонаl= 0. Следовательно, четность ядра

P = (–1)^l= (–1)⁰= +1.

Ядро . Нейтронами полностью заполнены уровни включая 1d_3/2. Недостает одного протона («дырка») до заполнения уровня 1d_3/2. Орбитальный момент дырки l = 2. Следовательно, спин ядра I = 3/2, а четность

P = (–1)^l= (–1)²= +1.

Ядро . Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни, включая 1d_3/2, но имеется один нуклон на уровне 1f_7/2. Орбитальный момент «лишнего» нуклона l = 3. Следовательно, спин ядра I = 7/2, а четность

P = (–1)^l= (–1)³= –1.

Ядро . Суммарный механический момент нейтронов равен нулю, т.к. ядро содержит четное число нейтронов. Протонами полностью заполнены уровни включая 1f_7/2, но имеется один протон на уровне 1p_3/2. Следовательно, спин ядраI= 3/2, а четность

P = (–1)^l = (–1)¹ = –1.

Задача 1.20

Некоторые ядра имеют ненулевой квадрупольный электрический момент Q, что указывает на отклонение распределения заряда от сферически симметричного. Для определенности полагают, что форма ядра – это эллипсоид вращения с полуосямиb(по спину ядра) иа(перпендикулярно спину ядра). Оценить степень несферичности ядра , имеющего одно из наибольших значений квадрупольного моментаQ = +6·10^-24см². Для оценки вычислить отношениеb/a.

Решение.Для ядра, имеющего форму эллипсоида вращения с однородной объемной плотностью электрического заряда, квадрупольный электрический момент равен

,

откуда

.

(1.20.1)

Объем эллипсоида вращения

.

Приравниваем этот объем объему недеформированного ядра сферической формы (ядерное вещество несжимаемо!) с таким же числом нуклонов и радиусом, определенным по формуле (1.1), получим уравнение

см³,

или

.

(1.20.2)

Подставив (1.20.2) в (1.20.1), получаем кубическое уравнение для нахождения величины b. После нахожденияbс помощью (1.20.2) определяется величинаа. Однако такой способ решения сложен и трудоемок. Значительно проще решать систему уравнений

(1.20.3)

методом последовательных приближений. В качестве первого приближения полагаем, что

b = a = R_я = 1,4·10^-13·A^1/3 = 1,4·10^-13·181^1/3 ≈ 8·10^-13 см.

Подставляем это значение во второе уравнение системы (1.20.3) и находим первое приближение для а². Затем полученное значениеа²подставляем в первое уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближение дляb, которое подставляем во второе уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближение дляа²и т.д. Процесс быстро сходится, и в результате получаемb= 8,78·10^-12см;а = 7,52·10^-13см.

Окончательно, искомое отношение

.