Задача 2.37

Вычислить вероятность получения абсолютной погрешности измерения, превосходящей а) σ и б) 2σ, где σ – среднеквадратичная погрешность.

Решение. Предполагаем, что случайная величинаxимеет нормальный закон распределения. Тогда искомая вероятность будет равна

(2.37.1)

Если в интеграле произвести замены

то получим

где Ф(α) – интеграл ошибок, который не выражается в элементарных функциях и значения которого можно найти в подробных таблицах. Для поставленной задачи α = 1 и α = 2 и тогда Ф(α=1) = 0,683; Ф(α=2) = 0,955, а W( >α ) = 0,317 и W( >2α ) = 0,045.

Задача 2.38

Счетчик, находящийся в поле исследуемого излучения, зарегистрировал 3600 импульсов за 10 мин. Найти а) среднюю квадратичную погрешность в скорости счета; б) продолжительность измерения, обеспечивающую определение скорости счета с погрешностью η = 1,00%.

Решение. По определению средняя скорость счета

имп/мин.

Погрешность измерения числа импульсов является принципиально неустранимой, т.к. вызвана статистическим характером распада большого числа радиоактивных ядер. Измерение же времени обычно выполняется с относительной погрешностью, существенно меньшей, чем при измерении числа импульсов, и потому ее величиной можно пренебречь. Тогда, если предположить, что условия применения распределения Пуассона выполнены, можно воспользоваться формулой (2.10) и

имп/мин.

Относительная погрешность измерения числа импульсов

Следует отметить, что эта погрешность соответствует доверительной вероятности 68%. Если использовать значение доверительной вероятности 95%, как принято в настоящее время, то полученную величину надо удвоить (см. предыдущую задачу):

Тогда число импульсов, которое необходимо зарегистрировать для получения заданной относительной точности с доверительной вероятностью 95%, составит

Продолжительность измерений составит

мин.

Задача 2.39

При изучении интенсивности исследуемого облучения (вместе с фоном) счетчик зарегистрировал 1700 имп. за 10,0 мин. Отдельное измерение фона дало 1800 имп. за 15,0 мин. Найти скорость счета, имп./мин, обусловленную исследуемым облучением, и ее среднюю квадратичную погрешность.

Решение. Фоном принято называть излучение, не связанное с исследуемым излучением, действие которого на счетчик не представляется возможным исключить. Поэтому

Средняя квадратичная погрешность искомой скорости счета будет равна, согласно (2.9) и (2.12):

Задача 2.40

Скорость счета импульсов от фона составляет 15 имп./мин, а скорость счета от исследуемого препарата и фона составляет 60 имп./мин. Пустьt_фиt_иф– время измерения фона и исследуемого препарата при наличии фона. Найти оптимальное отношениеt_ф/t_иф, при котором точность определения скорости счета от самого препарата будет максимальной для заданного полного времениt_ф + t_иф.