1. Основные характеристики атомных ядер

Р а д и у с я д р а с м а с с о в ы м ч и с л о м А

R(A) = r0A1/3, r0 = 1,4·10-13 см.

(1.1)

Э н е р г и я с в я з и я д р а (в единицах массы атомов)

ΔW(A,Z) = Z·mH + (A - Z)·mn – Mат(A,Z),

(1.2)

где Z– атомный номер; А – массовое число;m_H,m_nиM_ат(A,Z) – массы протия, нейтрона и соответствующего нуклида. При выполнении расчетов удобнее пользоваться формулой

ΔW(A,Z) = [Z·ΔH + (A – Z)·Δn – Δ(A,Z)]·931,5 МэВ,

(1.3)

где Δ_H,Δ_nиΔ(A,Z) – избытки массы (А_r– А) для протия, нейтрона и соответствующего нуклида (табл.1 приложения).

П о л у э м п и р и ч е с к а я ф о р м у л а(формула Вейцзеккера) для энергии связи ядра

	(1.4)
П о л н ы й м е х а н и ч е с к и й м о м е н т а т о ма	(1.5)

т.е. всего N= 2k+ 1 значений, гдеk=min{I,J}. В (1.5):механический момент электронной оболочки атома;IиJ– квантовые числа соответственно. Вероятностьg(статистический вес) появления значенияF′из набора значений (1.5)

.

(1.6)

Модель ядерных оболочек(рис. 1.1) – схема заполнения уровней протонами или нейтронами в сферически симметричном потенциале. Расщепление уровней с заданным квантовым числомlорбитального момента нуклона на два обусловлено спин-орбитальным взаимодействием. Заполнение уровней происходит в соответствии с принципом Паули. Максимальное число нуклонов одного сорта (обозначены кружками) на подуровне с заданным квантовым числомjполного механического момента нуклона равно 2j+1. Значениеkдает число нуклонов одного сорта (протонов или нейтронов), которые заполняют все уровни, расположенные ниже пунктирной линии – границы оболочки. Номера оболочек обозначены римскими цифрами слева.

Задача 1.1

Оценить плотность ядерного вещества ρ, концентрацию нуклоновnи плотность электрического заряда ρ_эв ядре.

Решение. По определению, плотность вещества массойM, которое занимает объемV, равна

ρ = М/V = m·N/V,

(1.1.1)

где m– масса частиц, из которых состоит тело (предполагаем, что частицы тождественны), аN– количество частиц в объемеV. Так как

n = N/V

(1.1.2)

есть концентрация частиц по определению, то из (1.1) и (1.2)

ρ = m· n.

(1.1.3)

Для оценки примем, что ядро, состоящее из А нуклонов, имеет форму шара, радиус которого R(A) дается формулой (1.1). Тогда

.

Будем считать, что масса нуклона равна одной атомной единице массы, т.е. m= 1,66·10^-24г, и окончательно получим

ρ= 1,66·10^-24·8,7·10³⁷= 1,4·10¹⁴ г/см^-3= 1,4·10⁸ тонн/см^-3!

Плотность электрического заряда в ядре равна

ρэ = e·np,

(1.1.4)

где n_p – концентрация протонов в ядре. Если считать, что для устойчивых ядер число протонов в ядре равно числу нейтронов, то

ρэ = e·n/2= 1,6·10-19·8,7·1037= 7·1018 Кл/см-3 .

Задача 1.2

В современной системе масс атомов за единицу массы а.е.м. принята 1/12 массы атома ¹²С (вместо старой единицыМЕ, равной 1/16

массы атома ¹⁶О). Найти связь между а.е.м. иМЕ. Как изменились численные значения масс атомов при переходе от старой единицы массы к новой?

Решение.Задачу удобно решать, используя избытки масс нуклидов:

(1.2.1)

так как по определению избыток масс атома ¹²С равен нулю. Подставив в (1.2.1) численное значение Δ(¹⁶О) из таблицы табл. 1 приложения, получим

Таким образом, 1 а.е.м. численно стала больше 1 МЕна 0,032 %, а численные значения масс атомов уменьшились на эту же величину.