Задача 2.32

Свободное ядро с энергией возбужденияЕ_возб = 129 кэВ переходит в основное состояние, испустив γ-квант. Найти изменение энергии γ-кванта относительно энергии возбуждения вследствие отдачи ядра.

Решение. По закону сохранения энергии и импульса

Евозб=Еγ+Тя;	(2.32.1)
рγ =ря, => Еγ = ря·c.	(2.32.2)

Из этих уравнений

.

(2.32.3)

Подставляя (2.32.3) в (2.32.1), получим

.

Поэтому, относительное изменение энергии γ-кванта

.

Задача 2.33

С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер ¹⁹¹Ir, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение γ-квантов с энергией 129 кэВ.

Решение. Максимальное (резонансное) поглощение γ-квантов может наблюдаться только тогда, когда γ-квант передает ядру энергию, равную энергии возбужденияЕ_возб. Но γ-квант уносит не всю энергиюЕ_возбвозбуждения ядра, т.к. часть этой энергииТ_япередается на отдачу ядра, испустившего γ-квант:

Для возбуждения ядра до энергии Е_возбнужно поглотить-квант с энергией

так как согласно закону сохранения импульса не вся энергия поглощенного -кванта переходит в энергию покоя ядра, а часть ее вызывает движения ядра. В результате энергии испущенного и поглощенного-квантов не совпадают на величину 2Т_я и для возникновения максимального (резонансного) поглощения необходимо чтобы излучающие и поглощающие ядра имели кинетическую энергию относительного движения, равную 2Т_я.

Согласно решению предыдущей задачи (см. формулу (2.32.3))

2Т_я=,

а относительная скорость сближения источника и поглотителя равна

м/с.

2.3. Статистика регистрации ядерного излучения Задача 2.34

Врезультате активации образовалосьN₀= 10 радиоактивных ядер. Какова вероятность распада точноn= 5 ядер за времяt=Т_1/2?

Решение. Используя биномиальный закон (2.5) и формулы (2.6) и (2.7), получим

.

Задача 2.35

Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время одного измерения равно 10,0. Считая время измерения малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радионуклида, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 или 5 импульсов.

Решение. Ожидаемое число измерений, в которых может быть зафиксировано точноn_iимпульсов будет равно

N(n_i) =N·W(n_i),

где W(n_i) – вероятность появления точноn_iимпульсов, число которых пропорционально количеству распадающихся ядер за этот же промежуток времени.

Эта вероятность определяется с помощью биномиального закона распределения вероятностей (2.5), если известно полное число возможных событий N₀и времяtкаждого измерения. Но величиныN₀ иtнеизвестны, и использовать формулу (2.5) не представляется возможным. Однако в случаеn <<N₀ иt<<T_1/2биномиальный закон распределения вероятностей (2.5) может быть представлен в виде распределения Пуассона (2.8). Тогда

N(n_i) =N,

и

N (n₁) = 200076;

N (n₂) = 2000.

Задача 2.36

Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радионуклида с большим периодом полураспада составляет 100,0 имп./мин. Определить вероятность получения 105 имп./мин, а также вероятность того, что абсолютное отклонение ε₁ от среднего числа имеет значение, большее 5,0 имп./мин.

Решение. Согласно условию задачи, предполагаем, что время проведения измерений существенно меньше периода полураспада исследуемого радионуклида и для вычисления искомых вероятностей можно воспользоваться распределением Пуассона (2.8). Однако использование формулы (2.8) технически затруднительно, т.к. связано с вычислением факториалов больших чисел и возведением чисел в степени с большими показателями. Получить более удобную для вычислений форму можно, если воспользоваться утверждением центральной предельной теоремы (ЦПТ) теории вероятности, согласно которой при μ >> 1 распределение Пуассона переходит в нормальное распределение с дисперсией, равной μ:

.

(2.36.1)

Тогда

.

Очевидно, что сумма вероятностей появления любого значения скорости счета импульсов от = 0 и доравняется единице. Тогда

(2.36.2)

Используя формулу (2.36.1), вычислим

.

Таким образом,