Задача 2.2

Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер τ = 1/λ, где λ – их постоянная распада.

Решение. По правилу нахождения среднего значения случайной величины

,

(2.2.1)

поскольку dp(t) – вероятность (вероятностьр(t) нормирована на единицу!) того, что ядро, прожив времяt, распадется междуtиt+dt, а вероятностьp(t) получена в предыдущей задаче (см. (2.1.4)). Выполняя в (2.2.1) интегрирование по частям, получим

.

Задача 2.3

Какая доля первоначального количества ядер⁹⁰Srа)останется через 10 и 100 лет; б)распадется за одни сутки; за 15 лет?

Решение. Будем предполагать, что первоначальное количество ядер настолько велико, что доли распавшихся η_аи доли оставшихся η_б ядер совпадают с вероятностямиq(t) (2.1.4) иp(t) (2.1.5) соответственно, полученными в задаче 2.1. Необходимую величину постоянной распада λ =ln2/Т_1/2определим через период полураспада, величину которого найдем в табл. 1 Приложения.

а) η_а(t) = e^-λt=.

η_а(t₁) = = 0,78.

η_а(t₂) = = 0,084.

б) η_б(t) =.

η_б(t₁) == 6,8·10^-5

η_б(t₁) ==0,31

Задача 2.4

Вычислить постоянную распада, среднее время жизни и период полураспада радиоактивного нуклида, активностьA(t) которого уменьшается в 1,07 раза за 100 дней.

Решение. Активность по определению – среднее число распадающихся ядер в единицу времени (см. формулу (2.2)).

Число ядер, которые должны испытать распад за время t,

Nd(t) =N0–N(t) =N0(1 –e-λt).

(2.4.1)

Дифференцируя (2.4.1) по времени, получим формулу (2.2)

А(t) = λ N0e-λt=А0e-λt,

(2.4.2)

где А₀= λN₀ – активность в начальный момент времени. Таким образом,

.

Решая последнее уравнение относительно λ, получим

сут^-1.

Найти τ и Т_1/2рекомендуется самостоятельно, используя приведенные выше формулы.

Задача 2.5

Определить возраст древних деревянных предметов, у которых удельная активность ¹⁴С составляет 3/5 удельной активности этого же нуклида в только что срубленных деревьях.

Решение. Радиоактивный углерод¹⁴С, период полураспада которогоТ_1/2= 5730 лет, непрерывно образуется в верхних слоях атмосферы Земли из азота¹⁴Nпод действием космического излучения. Благодаря ветрам и океанским течениям равновесная концентрация¹⁴С в различных местах земного шара одинакова и равна примерно 15 распадам в минуту на каждый грамм углерода в составе живых организмов. Пока организм жив, в результате процессов обмена концентрация¹⁴С в нем остается постоянной из-за круговорота веществ в природе. После смерти организма усвоение¹⁴С прекращается, и его количество начинает убывать по обычному закону (2.1) радиоактивного распада, что позволяет определить дату смерти или, как говорят археологи, возраст.

Согласно (2.2) и условию задачи

,

откуда

Задача 2.6

Свежеприготовленный препарат содержит 1,4 мкг радиоактивного нуклида²⁴Nа. Какую активность он буде иметь через сутки?

Решение. Согласно (2.2)

Задача 2.7

Определить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном препарате⁸²Br, если известно, через сутки его активность стала равной 7,4·10^-9Бк (0,4 Ки).

Решение

Из формулы (2.2) следует, что

.

Задача 2.8

Вычислить удельную активность чистого ²³⁹Pu.

Решение. Удельная активность нуклида – активность единицы массы этого нуклида:

.

(2.8.1)

Для нуклида (без учета вторичных компонент, возникающих после распада)

,

(2.8.2)

т.е. удельная активность нуклида не зависит от времени. Учитывая, что T_1/2(²³⁹Pu) = 24100 лет, получим

Задача 2.9

Сколько миллиграмм β-активного⁹⁰Srследует добавить к 1 мг нерадиоактивного стронция, чтобы удельная активность препарата стала равной 6,8 Ки/г?

Решение.

.

(2.9.1)

Из этого уравнения

.

Удельную активность нуклида ⁹⁰Sr, период полураспада которогоТ_1/2= 28,6 лет, вычислим по формуле (2.8.2):

.

Используем полученную удельную активность нуклида ⁹⁰Srдля получения ответа:

.

Задача 2.10

Вкровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего²⁴Nа активностьюА₀= 2,1·10³Бк. Активность одного кубического сантиметра крови, взятой черезt= 5 ч после этого, оказалась равнойа_v= 0,28 Бк/см³. Найти объем крови человека.

Решение. Будем предполагать, что за 5 ч концентрация атомов²⁴Nа в крови человека выровнялась и стала однородной. Тогда

.

Из этого уравнения находим

.

Задача 2.11

При радиоактивном распаде ядер нуклида А₁образуется радионуклидА₂. Их постоянные распада равны λ₁и λ₂. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклидаА₁в количествеN₀₁, определить

а)количество ядер нуклидаА₂через промежуток времениt;

б)промежуток времени, через который количество ядер нуклидаА₂достигнет максимума;

в)в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?

Решениеа). Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:

N1(t) =N10·exp(–λ1t),

(2.11.1)

где N₁₀–начальное количество ядер нуклидаА₁.

Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А₂за времяdt:

dN2= λ1·N1·dt – λ2·N2·dt.

(2.11.2)

Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А₂, которые возникают за времяdt, второй–среднее число ядер нуклидаА₂, которые распадаются за времяdt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид

dN2/dt= λ1 ·N10 ·exp(–λ1t) – λ2 ·N2.

(2.11.3)

Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.

Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть

N2(t) =С(t)·exp(–λ2t),

(2.11.4)

в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функцииС(t):

dС/d t = λ₁ ·N₁₀ ·exp[(λ₂ – λ) t],

решение которого есть

.

(2.11.5)

Константа С₁определяется из начальных условий.

Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим

.

(2.11.5)

Если N₂₀(t= 0) = 0, то окончательно имеем

.

(2.11.6)

б). Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахожденияt_m– времени накопления максимального числа ядер нуклидаА₂:

,

из которого

.

(2.11.7)

в). Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение:

.

Если λ₂>> λ₁[(T_1/2)₂<< (T_1/2)₂] иt>> 1/ λ₂≈ (T_1/2)₂, то

(2.11.8)

Таким образом, получена формула (2.4).