shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

9)1

Б. П. ШИМБИРЕВ

ТЕОРИЯ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ

595387

Чври!Пвська державна •бпгсг'а

Б 1 В Л 1 0 Т Е К А

1к. В. Г. КОРОЛЕНКА

М О С К В А • «н Е Д Р А» • 1975

УДК 528.2.001.11 (075.8)

Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. М., «Недра», 1975,

с.432.

Вучебнике излагается общая теория определения фигуры Земли по данным астрономических, геодезических и гравиметрических измерений, а также наблюдений искусственных спутников.

Вучебнике содержатся необходимые сведения из теории потенциала и рассматриваются методы решения краевых задач; описаны свойства гравитационного поля Земли и приводятся параметры, характеризующие нашу планету.

Достаточно подробно изложены практические задачи геодезии, требующие наличия местной гравиметрической съемки. Рассмотрены также принципиальные основы интерпретации гравитационных аномалий в целях разведки полезных ископаемых.

Учебник предназначен для студентов астрономо-геодезиче- ской специальности институтов инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии и может быть использован также инжене-

© Издательство «Недра», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий учебник предназначен для студентов астрономо-геодезической специальности геодезических вузов и составлен в соответствии с программой курса «Теория фигуры Земли».

Учебник для геодезических вузов «Теория фигуры Земли» В. В. Бровара, В. А. Магницкого и Б. П. Шимбирева был издан в 1961 г. (М., Изд-во геодезической литературы). За последние годы во всех областях геодезической науки, в том числе и в теории фигуры Земли произошли значительные изменения, обусловленные научнотехническими достижениями.

Следующим весьма существенным обстоятельством явилось широкое использование при решении задач теории фигуры Земли мощной электронной вычислительной техники, что позволило решать задачи численными методами. Некоторые методы, рассчитанные на ручную обработку результатов измерений, потеряли свое значение.

Следует учитывать и еще одно обстоятельство. Опыт преподавания показал, что прежний учебник В. В. Бровара, В. А. Магницкого и Б. П. Шимбирева оказался трудным для восприятия. Все это побудило автора написать новый учебник.

По сложившейся методике преподавания студентам астрономо-геодезической специальности в курсе теории фигуры Земли излагалась общая теория определения фигуры Земли по данным астрономических, геодезических и гравиметрических измерений, а также наблюдений искусственных спутников Земли.

3

сматривались такие вопросы, как определение основных параметров гравитационного поля и фигуры Земли при совместном использовании гравиметрических и астрономо-геодезических материалов, а также принципы использования искусственных спутников для изучения внешнего гравитационного поля.

В настоящее время для студентов всех специальностей геодезических факультетов введен специальный курс «Космическая геодезия». Имеется тенденция ограничить курс «Теории фигуры Земли» изложением вопросов использования гравиметрических данных, а весь комплекс проблем определения фигуры Земли рассматривать в курсе теоретической геодезии, который читается в самом конце обучения, когда из других курсов студенты получили представление о самостоятельных возможностях астрономо-геодези- ческого, гравиметрического и спутникового методов.

Это представляется вполне логичным. Тем не менее автор, следуя традиции, счел возможным расширить рамки своего курса изложением некоторых вопросов как космической, так и теоретической геодезии, считая, что комплексное рассмотрение проблемы определения фигуры Земли окажется полезным. Не последнюю роль сыграло и то обстоятельство, что учебников по теоретической и космической геодезии в нашей стране не существует, и подготовленный учебник поможет студентам не только при изучении вопросов теории фигуры Земли, но и тех вопросов, которые входят в программы курсов теоретической и космической геодезии.

В заключение автор считает необходимым выразить свою благодарность коллективу кафедры астрономии и гравиметрии НИИГАиК за замечания и предложения, способствующие улучшению учебника.

Особую благодарность автор выражает доктору технических наук Л. П. Пеллинену за исключительно ценные советы и конкретные замечания, которые оказали автору большую помощь при работе над учебником.

Автор будет также признателен всем читателям, которые сообщат свои замечания и отзывы.

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Теория фигуры Земли» тесно связан с рядом научиьтх^дисцппдин: теоретической геодезией, космической геодезией, теорией потенциала, вычислительной математикой, небесной механикой, геофизикой и др. Обилие дисциплин, связанных с курсом теории фигуры Земли, объясняется сложностью проблемы, необходимостью использования различных методов измерений (геометрических, физических) и сложных способов обработки полученных из наблюдений результатов.

На первый взгляд, как отмечал еще Клеро, все то, что образует внешнюю поверхность нашей планеты — материки, моря, озера, горы, реки и т. д. имеют настолько причудливую форму, что не представляется возможным вывести какое-либо заключение обо всей Земле в целом. Однако при более внимательном рассмотрении вопроса обращает на себя внимание то обстоятельство, что моря со всех сторон сообщаются между собой, что берега очень мало возвышаются над уровнем моря и что высота самых больших гор совершенно ничтожна по сравнению с радиусом Земли.

Возможны различные толкования фигуры Земли — либо это некоторая математическая поверхность (шар, эллипсоид вращения, трехосный эллипсоид), либо фигура одной из уровенных поверхностей Земли (геоида) и, наконец, либо фигура ее внешней физической поверхности, которая в областях, занимаемых сушей, образуется рельефом, а на морях и океанах — их невозмущенной поверхностью. В настоящее время под фигурой Земли понимается последнее определение.

Далеко не сразу выкристаллизовалось современное представление о том, что следует понимать под фигурой Земли. Исторически эволюция представлений о фигуре Земли шла от простого к сложному. Вопрос о форме Земли привлекал внимание ученых еще во времена глубокой древности. Мысль о том, что Земля по своей форме близка к шару, впервые была высказана знаменитым греческим математиком и философом Пифагором (VI в. до нашей эры). Аристотель (IV в.

первое определение радиуса земного шара на основании геометрических принципов, получивших название градусных измерений.

Если определить дугу большого круга земного шара, соответствующую одному градусу, то радиус Земли найдется из очевидного соотношения

5

Эратосфен знал, что два города в Египте, Александрия и Сиенна (современный Асуан), лежат примерно на одной дуге большого круга, идущего с юга на север (т. е. на дуге меридиана). Так как между этими двумя городами постоянно совершали путь караваны, то Эратосфен имел возможность получить приближенное представление о расстоянии между ними. Далее он знал, что в самом начале лета в полдень солнечные лучи освещали дно самых глубоких колодцев в Сиенне. Отсюда он заключил, что в этот момент зенитное расстояние Солнца равно нулю, т. е. Солнце находится точно над головой жителя Сиенны. В тот же момент, по измерениям Эратосфена, в Александрии направление на Солнце составляло с отвесной линией угол немного больше 7°. Таким образом, Эратосфен определил, что разность зенитных расстояний Солнца между Сиенной и Александрией в этот момент составляет примерно 7°. Разность же зенитных расстояний Солнца в полдень равна разности широт фА — срс этих двух пунктов, т. е. центральному углу, соответствующему длине дуги 3 меридиана между Сиенной и Александрией. Из соотношения

Фа-ФС

Эратосфен определил, что дуга меридиана в 1° составляет около 700 стадий (стадия — древняя мера длины, равная примерно 150 м).

Значение радиуса Земли, полученное Эратосфеном, не отличается необходимой для таких вычислений точностью. Важно отметить, что идея определения размеров Земли, высказанная Эратосфеном, была совершенно правильной.

Новые работы по определению формы и размеров Земли начались с эпохи великих географических открытий.

В Голландии и Франции в XVII в. были проведены первые градусные измерения с применением метода триангуляции, предложенного голландским ученым Снеллиусом [1615 г.]. С момента открытия Ньютоном закона всемирного тяготения начинается новая эпоха в изучении фигуры Земли. Исходя из предположения, что первоначально наша планета находилась в жидком состоянии, Ньютон теоретически доказал, что Земля должна иметь форму эллипсоида вращения, сжатого от полюсов к экватору. Считая, что каждая точка на поверхности Земли находится под воздействием двух сил: силы притяжения и центробежной силы, Ньютон рассматривал Землю как однородное тело, все частицы которой имеют одну и ту же плотность.

Полагая, что под влиянием центробежной силы Земля должна принять форму, близкую к эллипсоиду вращения, вытянутого в направлении экватора, Ньютон принял, что сжатие этого эллипсоида а = (а — Ъ)/а (где а и Ъ — большая и малая полуоси) величина малая, порядка 1/100, квадратами которой при расчетах можно пренебречь. С этой степенью приближения Ньютон вычислил силу притяжения этого эллипсоида на точки полюса и экватора, что и позволило ему определить сжатие Земли. Приведем общий ход его рассуждений. Представим себе два канала, наполненные жидкостью: один, проведенный из центра Земли к некоторой точке экватора, и второй, проведенный из центра к полюсу. Очевидно, что сила притяжения на экваторе по сравнению с полюсом должна быть меньше по двум причинам. Во-первых, точка экватора эллипсоида расположена дальше от центра масс, чем точка полюса. По этой причине, по расчетам Ньютона, притяжение на экваторе будет уменьшено на величину 1/5а.

Во-вторых, на экваторе действует центробежная сила, уменьшающая притяжение на величину д (д — отношение центробежной силы на экваторе к силе тяжести на экваторе). Таким образом, если за единицу принять притяжение

6

Земли на полюсе, то на экваторе это притяжение будет равно 1 — 1/ба — Я- То же соотношение сохраняется и внутри однородной Земли для всех точек этого канала, поскольку в этом случае обе силы (сила притяжения и центробежная сила) изменяются по одному и тому же закону, а именно прямо пропорционально {расстоянию от центра Земли. Для того чтобы заполняющая каналы жидкость могла оставаться в равновесии, необходимо, чтобы вес жидкости в одном канале равнялся весу жидкости в другом канале, что будет иметь место при условии

Заменяя здесь Ъ через а (1 — а), получим после сокращения 1 — а = 1 — 1а — д,

откуда а = (5/4)д.

Принимая для Земли г/ = 1/289, Ньютон получил, что сжатие Земли должно быть а = 1 /2 3 1 .

Современник Ньютона Гюйгенс, решая ту же задачу, исходил из предположения, что Земля — неоднородна, причем довел эту неоднородность до крайности, полагая, что вся масса Земли сконцентрирована в одной точке — центре, а остальные ее части имеют плотность, равную нулю. В таком случае получается соотношение существенно иное, чем у Ньютона, а именно оказывается, что сжатие будет равно а = (1/2) д. Принимая д = 1/288, Гюйгенс получил для Земли а = 1/576.

Исследования Ньютона и Гюйгенса убеждают нас в том, что величина сжатия должна зависеть от закона изменения плотности с глубиной. Клеро показал, что величины сжатия, полученные Ньютоном п Гюйгенсом, являются двумя пределами, между которыми должно заключаться действительное сжатие реальной планеты, если только она имеет форму эллипсоида вращения. Близость действительного сжатия к тому пли другому пределу дает указание на степень неоднородности планеты.

Сам Клеро, решая задачу определения фигуры равновесия медленно вращающейся неоднородной массы, псходпл из следующих предпосылок. Клеро считал, что Земля состоит из бесконечного числа эллипсоидальных однородных слоев, имеющих общий центр и общую ось вращения. Плотности и сжатие этих слоев являются функцией расстояния от центра. Никаких предположений ке делается относительно того, твердые ли эти слои или жидкие, поэтому каж-

: : чках которой действующая сила должна быть направлена по нормали. Для соблюдения этого условия достаточно, если лишь один наружный слой будет килким.

Клеро получил линейное дифференциальное уравнение второго порядка, устанавливающее связь между плотностью и сжатием внутренних эллипсоидальных слоев. Рассмотрение этого уравнения позволило Клеро сделать общее заключение: если плотность слоев возрастает от поверхности к центру, то сжатие соответствующих эллипсоидальных слоев по направлению к центру должно уменьшаться.

Далее Клеро получил выражение для силы тяжести на внешней поверхности планеты и вывел теорему, носящую его имя, позволяющую определить сжатие Земли. Согласно этой теореме сумма (относительного) приращения силы

7

тяжести и сжатия всегда одинакова и равна пяти вторым отношениям центробежной силы на экваторе к силе тяжести. Принципиальная важность теоремы Клеро, как отмечал в свое время Стоке, состоит в том, что она имеет место в силу самих условий равновесия неоднородной планеты и не зависит от условий ее внутреннего строения; разумеется, нужно предположить, что внутренние слои Земли весьма близки к сферам,— иначе весь вывод этой теоремы не имел бы места. Следует также отметить, что теорема Клеро точна только до первой степени сжатия.

После установления факта эллипсоидальности Земли во многих странах получили большое развитие работы по градусным измерениям и выводам размеров (аи а) земного эллипсоида. Так, например, в X I X в. было сделано более двадцати выводов размеров земного эллипсоида. Но сравнение результатов различных выводов, полученных из градусных измерений в разных странах, показало, что получающиеся расхождения превосходят величины, которые могли бы быть объяснены ошибками собственно измерений. Анализ полученных выводов привел к заключению, что наблюдающиеся расхождения объясняются отклонениями фигуры Земли от эллипсоида вращения.

Впроцессе длительной эволюции учения о фигуре Земли ученые пришли

квыводу, что с очень большой степенью приближения под фигурой Земли можно понимать форму невозмущенной никакими внешними причинами (притяжением Луны, разностью температур, атмосферного давления и пр.) поверхности морей и океанов при некотором среднем уровне воды. Эта поверхность является одной из уровенных поверхностей силы тяжести, по предложению

определения фигуры Земли было невозможно до тех пор, пока при решении этой проблемы не удалось полностью освободиться от необходимости знать внутреннее строение Земли.

Английский ученый Стоке (1819—1903) был первым ученым, который доказал, что определение фигуры Земли принципиально возможно без какихлибо предположений относительно закона изменения плотности внутри Земли. С этого момента начинается новая эпоха в развитии теории фигуры Земли.

В основе теории Стокса лежит теорема, в которой утверждается, что потенциал и его первые производные (т. е. составляющие силы тяжести) во внешнем пространстве могут быть определены, если известно: общая масса планеты, ее угловая скорость вращения и уровенная поверхность силы тяжести, внутри которой заключены все притягивающие массы. Решение этой задачи для данного тела составляет так называемую проблему Стокса. В общем виде (т. е. для любой произвольной поверхности) проблема Стокса не решена до сих пор.

Известно решение проблемы Стокса лишь для наиболее простых фигур, какими являются эллипсоид вращения и трехосный эллипсоид. Но поскольку в пределах солнечной системы крупные планеты довольно близки по своей форме либо к эллипсоиду вращения, либо к трехосному эллипсоиду, то практически нет необходимости иметь решение проблемы Стокса для какой-либо более сложной фигуры.

Представляет определенный интерес задача, обратная проблеме Стокса: по значениям силы тяжести, заданным на уровенной поверхности, внешней относительно всех притягивающих масс, определить форму этой поверхности. Стоке решил и эту задачу. Геоид не удовлетворяет условиям теоремы Стокса,

8

поскольку геоид не является внешней, относительно притягивающих масс, уровенной поверхностью, над поверхностью геоида возвышаются значительные массы материков и островов. Кроме того, сила тяжести на поверхности геоида неизвестна, она может быть получена из измерений только на поверхности Земли. Стоке учитывал это обстоятельство, но он полагал, что после введения в измеренное значение силы тяжести небольших поправок (редукций) поверхность геоида может быть определена по выведенной им формуле.

Однако все попытки удалить при помощи различных вычислительных приемов массы материков и островов, возвышающиеся над поверхностью геоида, с тем, чтобы сделать эту поверхность удовлетворяющей условиям теоремы Стокса (иными словами произвести сложную операцию регуляризации Земли) п решить проблему редукции силы тяжести с физической поверхности Земли на поверхность геоида, потерпели неудачу. Оказалось, что без знания закона распределения плотностей внутри земной коры задача определения фигуры геоида решена быть не может. По этой причине выдающийся советский ученый, член-корреспондент Академии наук СССР М. С. Молоденский предложил не связывать задачи геодезии и теории фигуры Земли с проблемой определения фигуры геоида.

Задача геодезии, цо предложению М. С. Молоденского, должна заключаться в определении физической поверхности Земли и внешнего гравитационного поля. М. С. Молоденский доказал, что эту задачу можно решить принципиально строго, без привлечения каких-либо гипотез о внутреннем строении Земли. Труды М. С. Молоденского (первая его работа, посвященная основным вопросам геодезической гравиметрии, вышла в 1945 г.), в которых разработана современная теория фигуры Земли, несомненно составили целую эпоху

вразвитии учения о фигуре Земли.

Втеории М. С. Молоденского за фигуру сравнения (относимости), относительно которой определяется фигура реальной Земли, принимается уровен-, ный эллипсоид, потенциал которого (называемый нормальным потенциалом) находится в результате решения проблемы Стокса. Точный закон изменения силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида определяется так называемой нормальной формулой силы тяжести. Если бы полученная формула представляла собой в точности наблюденную силу тяжести, то это служило бы доказательством, что поверхность Земли является поверхностью эллипсоида. Возмущения внешнего гравитационного поля Земли (возмущающий потенциал, шомалпи силы тяжести) являются следствием отступлений истинной фигуры Земли от фигуры сравнения (относимости).

фпзпческой поверхности Земли. Это дает возможность найти отступления :;:з::ческой поверхности Земли от принятой фигуры сравнения. Таким образом тся основная задача определения фигуры и внешнего гравитационного

голя Земли.

Рассматривая перспективные задачи геодезии, М. С. Молоденский [1] гклеляет статическую геодезию, которая определяет фигуру Земли и ее гравитационное поле на некоторую эпоху и кинематическую геодезию, которая изучает изменение этих характеристик во времени.

Особо большие перспективы в этом отношении открываются благодаря успехам, связанным с использованием наблюдений искусственных спутников Земли и других космических объектов. Появились новые методы решения основ- о й научной задачи геодезии:

9