shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

каждую из производных множат на з т 0 в степени, равной порядку производной.

Полученные, таким образом, присоединенные функции Лежандра множат на синус и косинус кратности долготы А, равной порядку взятой производной. Проиллюстрируем эти правила на примерах.

Положив в (111.27) п = 1, получим присоединенную функцию Лежандра

При к = 1 Р п = з т 0. Присоединенные функции первого порядка будут з т 0 соз А, и з т О з т А .

3 з т 0 соз 0 соз А, 3 з т 0 соз 0 з т А, 3 з т 2 0 соз 2А и 3 з т 2 0 в т 2А.

Поскольку разложением в ряд по сферическим функциям приходится пользоваться довольно часто, приведем значения сферических функций Рп0 и Рпк до пятой степени включительно в табл. 1.

§ 17. НОРМИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Во многих работах вместо обычных сферических функций используют нормированные сферические функции, отличающиеся от обычных лишь постоянными множителями. Эти множители подбирают таким образом, чтобы достичь известной симметрии основных формул.

Так, например, если положить

то интегралы от квадратов всех (2п + 1) сферических функций, взятые по единичной сфере, будут равны одной и той же величине 4я/(2п 4- 1), т. е.

со

Если разложение по сферическим функциям представить рядом

п=о к=О

80

то коэффициенты ряда определятся по формулам

Разумеется, нормировать сферические функции можно и не только под тем условием, которое было поставлено выше — связь между обычными сферическими функциями и нормированными можно установить, например, при помощи соотношений

^ ( е ) = гпкР(е), где гпк = дпк / 2 г е + 1 ; .

Рп (соз 0) = 1/2П + 1 рп (соз 0).

При таком нормировании среднее квадратическое значение сферической функции по всей поверхности сферы будет равно единице, т. е.

со

т о коэффициенты разложения определятся по формулам

Связь между коэффициентами различных разложений для названных «случаев устанавливают при помощи соотношений

где одна черта над буквой соответствует нормированным, а две черты — полностью нормированным коэффициентам.

Приводятся значения коэффициентов дпк и гпк до четвертой степени (табл. 2).

§ 18. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА СФЕРЕ, В РЯД ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ

При решении теоретических вопросов, связанных с определением фигуры Земли, различные величины, полученные из измерений в отдельных точках земной поверхности, приходится обобщать на всю земную поверхность, представляя их в качестве функций сферических координат, используя для этого разложения в бесконечные ряды по сферическим функциям. На практике, разумеется, всегда ограничивают разложение до определенной степени т, пренебрегая всеми последующими членами разложения. Вопрос об определении степени, какой следует ограничить разложение функции, решается в зависимости от имеющегося материала наблюдений и от точности, с которой требуется представить искомую функцию. Отдельные разложения выполнялись до 4, 8, 16 и даже до 40-й степени.

Если разложение в ряд по сферическим функциям производится до степени т, то число коэффициентов разложения, подлежащих определению, будет (т + I)2. Задача определения этих коэффициентов при разложении до высоких степеней является в техническом отношении весьма сложной.

Существующие методы определения коэффициентов разложения можно разбить на две группы. К первой группе относят методы, основанные на определении коэффициентов разложения по имеющимся значениям функции в отдельных точках сферы; ко второй — по осредненным значениям функции ,на некоторых площадях, покрывающих сферу.

Для первой группы функция может быть представлена в обычном виде

Л-О к=0

где / (6, Я) — известное значение.функции в точке сферы с координатами 0 и Я.

.32

В этом случае задача определения коэффициентов Апк и Впк может быть значительно упрощена, если значения функции будут даны не в произвольных, а в определенным образом выбранных точках. В зависимости от принимаемой системы расположения точек используют различные способы определения коэффициентов: способ Гаусса и два способа Неймана.

Для второй группы разлагаемая в ряд функция представляется

где черт ой отмечены величины, осредненные по некоторым площадям сферы. При определении тем или иным методом коэффициентов различных разложений приходится учитывать один существенный факт, в значительной сте-

пени усложняющий весь процесс вычисления коэффициентов.

Так как значения функции / (0, Я) в отдельных точках определяются из наблюдений, а наблюдения в большинстве случаев очень неравномерно распределены по земной поверхности, это приводит к существенному искажению

друг от друга по долготе, задаются значения / (0, Я) таким образом, что на одной

ством ортогональности функций, по которым производится разложение в ряд Фурье.

Как известно, две вещественные функции § (х) и к (х), заданные на конечном интервале а < х <[ Ъ, ортогональны на этом интервале, если

ь

Ц $ (х) к (х) с1х — 0.

а

Понятие ортогональности при этом во многом аналогично условию перпендикулярности двух векторов, заданных своими декартовыми проекциями. Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если

115"

каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом интервале. Исторически первым и наиболее важным примером ортогональной системы функций явилась система функций

ортогональна:

я

соз пх соз тх йх = О,

- я

я

31П пх зш тх йх = О,

-я

я

соз пх зхп тх йх = 0.

- я

;84

Если подынтегральная функция на данной параллели задана в п отдельных равноотстоящих по долготе точках, то коэффициенты р0, рк и дк определяются по формулам

1=1

га

Рк = — ^Н1д соз кХ„

1=1

АХ п

1=1

или при

1 = 1

Таким образом, мы рассчитаем число значений для:

85

Сравнивая коэффициенты при соответствующих синусах и косинусах кратных дуг двух многочленов, устанавливаем, что коэффициент р 0 должен, соответствовать совокупности тех членов разложения (111.31), которые не содержат долготы, т. е.

Таких уравнений в каждой группе будет то (что соответствует числу коэффициентов рх и дх). Таким образом, для определения коэффициентов Ап,

. . ., Ат1, В1Х, . . ., Втх необходимо решить две системы уравнений с то неизвестными в каждой. Аналогично получим

Так, постепенно найдем все коэффициенты Апк и Впк, причем не решая систем больше, чем с (то + 1) неизвестным.

Можно, однако, не ограничиваться ни числом параллелей, ни числом заданных на них значений функций. В этом случае задачу решают по способу наименьших квадратов.

Применение способа Гаусса, а также его дальнейшее использование для вычисления значений / (0, А) по формуле (111.31) для любой точки сферы и срав-

86

нение результатов вычисления с наблюденными значениями / (0, А) требует вычисления полиномов Лежандра и присоединенных функций Рпк (0). Обычно эти вычисления на практике выполняют с помощью ЭВМ.

2. Способ Неймана

Способ Неймана, как и способ Гаусса, основан на использовании значений разлагаемой в ряд функции / (0, А), заданных в точках пересечения параллелей и расположенных через равные интервалы друг от друга меридианов. Сначала для каждой параллели выполняют разложение функции в ряд Фурье, ограничиваясь членами заданной степени т. Коэффициенты ряда Фурье определяют по формулам Бесселя.

Для определения коэффициентов разложения функции / (9, А) по сферическим функциям Нейман предложил два метода численного интегрирования.

по некоторым площадям, то в этом случае уравнения погрешностей составляются в виде (111.32).

4. Метод численного интегрирования

Поверхность единичной сферы, по которой совершается интегрирование, разбивается на достаточно большое число элементарных площадок Доз. Если для каждой площадки А со известно осредненное значение функции / (0, А), то заменяя в (III.30) интегралы суммами, получаем формулы для вычисления коэффициентов

чертой отмечены осредненные по площади А со величины.

87

Средние интегральные значения сферических функций для соответствующих стандартных трапеций А©, ограниченных параллелями 0Х и 02 и меридианами А] и А2, следует вычислять по формулам

Выполнив в (111.36) интегрирование по К и обозначив

е2

ФЛ*(е) = ]Р„й (0)8П10й0,

е:

В. В. Бузук получил

р д с о з 0 ) =

Таким образом, точные формулы для вычисления коэффициентов Апк и Впк принимают вид

§ 19. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СФЕРЫ

При определении внешнего потенциала планет предварительно оказывается выгодным представить потенциал в виде ряда сферических функций. В таком случае решение краевых задач может быть выполнено при помощи сферических функций.

Выясним на частных примерах методику подобных решений.

Внутренняя и внешняя задачи Дирихле для сферы решаются следующим образом. Пусть на сфере радиуса В задана функция / (0, Я). Ее всегда можно представить в виде бесконечного ряда сферических функций (111.25). Входящие

89