Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет геосистем и технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

14.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 447 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

или, окончательно

(П.35)

Следовательно, функция V может быть найдена в любой точке Р внешнего пространства по тем значениям, которые принимает на поверхности а линейная комбинация аУ + <1У/с1п. Вся трудность задачи заключается в том, чтобы построить для данной поверхности а функцию Е.

В заключение параграфа докажем, что внешняя задача Дирихле имеет единственное решение. Предположим обратное, а именно, пусть имеются две функции V и V , гармонические вне о, регулярные на бесконечности и при-

нимающие на поверхности о одинаковые значения. Тогда новая функция						Т =
— у — у	будет гармонической вне о			и регулярной на	бесконечности.	При-
меним к ней (II. 7), положив II =			У =	Т
		т		о
Ио по условию во внешнем пространстве АТ = 0, а на поверхности Т — О,
поэтому получим		ш"
		ш"	Б {Т,	Т)йт = 0.
Это равенство возможно лишь в том случае, когда в каждой точке внешнего
пространства		ОТ	дТ
		ОТ	дТ
		дх	ду	дг
Отсюда	следует, что функция		Т должна сохранять		постоянное значение

во всем внешнем пространстве. Но на бесконечности функция Т должна обращаться в нуль, следовательно, в каждой точке внешнего пространства функция Т = 0. Таким образом доказано, что внешняя задача Дирихле имеет единственное решение. Аналогично доказывается единственность решения внешней задачи Неймана.

§12. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ СФЕРЫ

ИБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ

Приведем решение внешней задачи Дирихле для поверхности сферы. Пусть заданная поверхность а есть сфера радиуса В с центром в 0 (рис. 19). Определим


в произвольной		точке внешнего		простран-
ства	Р (р, 0, А.) функцию		Уе, гармоническую
Р(РА*) вне	данной поверхности		сферы	а, регуляр-
ную на бесконечности и принимающую на
поверхности сг		заданную	совокупность зна-
чений Н т Уе =		/ (0', %').	Здесь	р, 0, X —

м(в\я')

Рис. 19

значение сферических координат точки (без штрихов — во внешнем пространстве, со штрихами — на поверхности сферы).

Определим функцию Грина для сферы. Для этого на прямой ОР на расстоянии р' отметим точку Р' под условием, чтобы рр' = В2. Точки Р и Р' называются сопря-

женными. Возьмем во внешнем относительно сферы а пространстве переменную точку К и определим ее расстояния до сопряженных точек

г2 = йа + Ра —2йр созф

(11.36)

г'2 = й2 4-р'2 — 2 йр' СОЗ

На поверхности сферы получаем очевидные соотношения

г! = В2

р2 — 2Вр соз г|з

(П.37)

г'$2 = П* +

р'2-2Кр'

соз

гг,

Я*

то

получим

1ак как р

к2

= В2

- 2

С034 = ^

(Р2 + Я2

2Вр соз Ф) =

г?,

отсюда г'5 =

(В/р) г8.

Функция Грина С, входящая в формулу (И.33), для случая сферы имеет вид

(11.38)

Действительно, функция [7 =

— — — будет

удовлетворять условию

регу-

лярности на бесконечности и будет гармонической во всем внешнем пространетве, функция — будет регулярной на бесконечности и гармонической во всем

внешнем пространстве, кроме самой точки Р. Кроме того, на поверхности сферы:
~~ Г5		1_		гв	р	1	д
~~ Г5	г'^Р			гв	Я	г3	р ~ •
Таким образом, функция С удовлетворяет всем условиям,								которым должна
удовлетворять функция Грина.
Вычислим нормальную	производную
йС			1	йг .	Я 1	йг'		,ут оп\.
		г2		йп т"	р	йге •		^ • '
Здесь п — направление внешней нормали, совпадающее с направлением йг
Дифференцируя выражения	(11.36),			получим
	г	йп	—д, — р создЬ,
		йп			!
	г' - ^ - = й - р'созаЬ .
		йп				т
Подставляя эти значения в (11.39), получим
АС	й — рсозг\|) ,				Н й—•р'соз'ф
йп		гЗ		"т	р		г '3

На самой сфере нормальная производная функции Грина принимает вид

								Д2
г йв\		_	Д-рсо8т\|>			. Д		— с о 8 ^
I ап	)с				г!	р		дз
								3
После сокращения и приведения подобных, получим окончательно
					р2 —Д2
			(	—	) -	я,!	•	(П-4°)
			\	йп /о		я,!	•	(П-4°)
Подставив (11.40)	в	(11.33),			получим	решение внешней задачи Дирихле
в виде
			=		о			(И.41)
					о

Эта формула называется интегралом Пуассона для внешнего пространства. Аналогично можно доказать, что внутренняя задача Дирихле имеет ре-

шение
Уг(р, 6,	=	9',	т.	(11.42)
		о

Получив интегралы Пуассона для точек внешнего и внутреннего пространства, необходимо доказать два положения: 1) определяемые функции Уе и У4-, рассматриваемые как функции координат х, у, г, действительно удовлетворяют уравнению Лапласа, 2) при стремлении точки Р к любой точке сферы определяемая гармоническая функция стремится именно к тому значению, которое задано для этой точки сферы, т. е. что соблюдаются условия

Н т У Д р ,	9, X) = Н т Уг (р, 9, л) = /(0', X').	(11.43)
р->-н	р->-Н

При доказательстве первого положения заметим, что функции Уе и У,- будут гармоническими функциями координат точки Р в том случае, если каждый элемент интегралов (11.41) и (11.42) будет обладать этим свойством. Чтобы убедиться в этом, необходимо доказать, что функция (Н2 — р2)/г3, называемая ядром интеграла Пуассона, будет гармонической функцией координат х, у, г. Для этого представим ядро интеграла Пуассона в виде суммы двух гармонических функций.

Преобразование ядра интеграла проведем следующим образом. Из соотношения (11.37) можно получить

р2 — Ц г = г% — 2В2 + 2В р соз г|з.

Следовательно,

р2 —Д2 1 2Д п

Из формулы (11.37) следует

дг	я —	р С05 1]}
дя		т
ж потому
р2 — Д2	1	2Д	дг
гз	~~ г	/-2	дЯ '

Окончательно ядро интеграла Пуассона представим в виде суммы двух функций

- ^ - т + и - я г С т ) -	("•«)
где 1/г — функция гармоническая. Остается доказать, что второе	слагаемое

справа также является гармонической функцией. Доказательство это основано

на следующей лемме: если 11 (х, у,	2) есть гармоническая	функция координат
I, у, г в области т, то и р (д(7/др),	где р2 = хг + г/2 + г2	есть гармоническая
функция в той же области.
В ядре интеграла Пуассона (11.44) роль II играет 1/г. Атак как 1/г является
гармонической функцией координат	точки Р, тб и К (д/дВ) (1/г) также будет

функцией гармонической. Итак, первое положение доказано.

Второе положение будет доказано ниже, используя представление гармонической функции V бесконечной суммой шаровых функций.

Здесь же отметим, что при р = В обе формулы (11.41) и (11.42) дают Уе =

— V, = 0. Таким образом, интеграл Пуассона имеет устранимый разрыв при

=В.

Покажем, что интеграл Пуассона (11.41) (как, впрочем и (11.42) может быть представлен в виде алгебраической суммы потенциалов простого и двойного :лоев, распределенных на поверхности сферы.

Из рис. 20 найдем

р8 = Дя + г2 + 2Дгсо8(г, В)

на рис. 20 направление К совпадает с			направлением внешней нормали п).
Отсюда
р2 — Д 2	_ _	1	2Д С08 ( г , Д)
Г 3	—	г +	7-2
• интеграл Пуассона (11.41) для внешнего пространства примет вид
о			о

Очевидно, что первый интеграл в (11.45) можно рассматривать в качестве потенциала простого слоя, плотность которой

а второй интеграл является потенциалом двойного слоя плотности

Получим значение интеграла Пуассона для плоскости. Переход от сферы к плоскости осуществляется при неограниченном возрастании радиуса сферы. Положим в (11.41) В -»- сю. При этом Н т (р-\-В)/2В = 1. Обозначив разность р — В через 2 (высота точки над плоскостью), получим

(И.46)

Здесь под о следует понимать бесконечную плоскость, а под до — элемент этой плоскости.

Глава III

ШАРОВЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§13. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ

ИСФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Втеории потенциала широкое применение нашли так называемые шаровые

исферические функции.

Шаровой функцией степени п называется целый однородный многочлен степени п в переменных х, у, г, удовлетворяющий уравнению Лапласа. Обозначим его через 8п (х, у, г). Докажем одно важное свойство однородных многочленов: если гармоническую функцию возможно представить в виде ряда однородных многочленов, то последние должны быть шаровыми функциями.

Предположим, гармоническая функция 7 представлена бесконечным рядом

однородных многочленов	оэ
	оэ
^	= 2		$„(*,	У, 2).
	п=О
Так как функция V — гармоническая, то она должна удовлетворять урав-
нению Лапласа, поэтому	со
А7 =	со			У, 2) = 0.
А7 =	2	&8п(х,		У, 2) = 0.
	п=О

Но каждый из многочленов А8п (х, у, г) представляет собой в свою очередь однородный многочлен степени п — 2 (при п = 0 и п = 1 А8п (х, у, г) тождественно равен нулю); поэтому в представленном выше ряде многочленов никакие приведения членов между отдельными многочленами невозможны, п потому еумма этого ряда может быть равной нулю, лишь если его члены порознь равны нулю, откуда следует, что

Д8п(х, у, г) = О,

т. е. каждый однородный многочлен 8„ (х, у, %) должен удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. быть шаровой функцией. Впоследствии это важное свойство однородных многочленов будет использовано для того, чтобы найти шаровые и сферические функции в явном виде. Именно, если брать заведомо гармоническую функцию и раскладывать ее в ряд однородных многочленов, то на основании доказанного выше свойства полученные однородные многочлены должны быть шаровыми функциями.

5 Заказ 1379

В силу основного свойства	однородных	функций имеет место	формул:
8п(х, у,	г) = р?8п(±,	1 - ) .	(Ш.1

Пусть х, у, г — прямоугольные координаты внешней точки Р, а р, 9, X — сферические координаты той же точки (см. рис. 20). Связь между прямоугольными и сферическими координатами дается формулами

Х = р 8ХП0 соз X 1
г/ = рзт9зтА, \|>			(111.1
г = рсоз9		/
где
р2 = х2	+ у2 + г2.		(Ш.З
Переходя к сферическим координатам, получим
Ч т 7'	7 ) = у " ( 0 '		<1П-4''
Функция Уп (9, X) будет однородной		функцией степени	п от з т 0 соз/..

31П 0 81П X и соз 9 и называется сферической функцией степени п.

Подставляя (Ш.4) в (Ш.1), получаем связь между шаровыми и сферическими функциями

8п(х, у, 2) = р«Г„(0, X).

Основное свойство сферических функций выражается так называемой теоремой ортогональности. Для доказательства этой теоремы обратимся к формуле Грина (11.18) для гармонических функций V и V, положив

	17=8п(х,		у, 2) = р"УД9\		X'),
	У = 8т(х,		у, 2) = р«Ут(0', X').
Поверхность сг принимается за сферу, поэтому производные А8/Ап совпа-
дают с производными по направлению р
	ли	й8п	= прп~1Уп	(9',	Х%
	йп	йр
	йУ ^	йЗт	• шрт~1Ут (9",		X').
	йп	йр
Подставляя полученные значения функций и их нормальных производных
в (11.18), получим
I ^ [р»рт'1тУп (9',	X') Ут (0',	X') -	ртрп^пУп	(9',	X') Ут (0", X')] Аа =	0.	(Ш.5)
о
На поверхности	сферы сг имеем \| рл + т _ 1 \|а = цп+т-1^
Выразим элемент поверхности Аа через элемент телесного угла Аа>
		Аа = Е2Аа>.
Очевидно Асо можно рассматривать как				элемент поверхности		на	сфере
радиуса 1.

После сокращения в (II.5) на Еп+т+1				получим
		( т - п ) ^ Г п ( 9 \	Г)Гт(в%		X')	аа = 0.	( Ш . 6 )
		и
Отсюда	вытекает, что, если т		п, то
		со
Это и	есть	свойство ортогональности			сферических функций.		Заметим,
что интеграл		(9', к') йсо, который		получается		в левой части	(Ш.6) при

со

•п = п есть некоторая постоянная, отличная от нуля (все элементы интеграла положительны).

§14. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ШАРОВЫХ

ИСФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Найдем шаровые и сферические функции в явном виде. Сначала рассмо-

трим	один частный случай.
Пусть функция г является функцией только координат точки Р (см. рис. 20).
Тогда	из треугольника ОЫР
	Г 2=Д2 + р 2 _ 2 й р С08 9.
Представим функцию 1/г (гармоническую при г ф 0) в виде однородных
многочленов в переменных координатах точки Р.		Очевидно, что
	1	-	-	(III.7)
	-1 — [Д а - Ьр а - гДрсоаЭ]	2		(III.7)

Раскладывая многочлен в ряд по степеням отношения Е/р, применительно к"случаю, когда точка Р является внешней по отношению к сфере радиуса Е (т. е. при р > Е), получим

пли в общем виде

	00
1	X 1	д п	Р„(с°з0 )-	(III.8)
	А р7^1
	71=0

Аналогично, если точка Р заключена внутри сферы радиуса Е (р <5 Е), то

ПЛИ

СХ)
= 2 - ^ г Р „ ( с о в е ) .	(Ш.9)

п=О

Заметим, что	функции		угла	0,	стоящие множителями			при	степенях
В/р (или р/В), являются полиномами (или многочленами) Лежандра,									обознача-
емыми в общем случае Рп		(сов 0). В нашем случае первые из них
			Р0	(С О3 0) =		1,
			Р Г	(С08 0) =		СОЗ 0,
		Р 2 ( С О 8 0 ) = \| - С О 8 2 0 - ^ .
Последующие значения полиномов Лежандра можно получить при помощи
рекуррентной формулы. Приведем эту формулу без доказательства
Рп+1	(соз 0) =	^	± 1 соз 0Р„ (соз 0) -				Рп _! (соз 0).		(111.10)
Из формулы	(111.10)	заключаем,			что	Рп (соз 0)	с четными	индексами п

содержат только четные, а с нечетными индексами — только нечетные степени переменной соз 0. Отсюда следует свойство полиномов Лежандра

Рп (—соз 0) = ( - 1 )пРп (соз 0).

(111.11)

Заметим еще, что поскольку основная переменная 0 изменяется в пределах от 0 до л, соз 0 заключен в пределах — 1 СОЗ 0 = ^ + 1 . Этим определяется в нашем случае область изменения полиномов Лежандра Рп (соз 0).

Рассмотрим произвольный член основного ряда (111.9)

рпРп (соз 0)

идокажем, что это выражение представляет собой целый однородный многочлен степени п в переменных х, у, %. В самом деле, как было замечено выше, полином п-й степени Рп (соз 0) может заключать в себе только члены со степе-


нями	(соз 0)",	(соз0)"~а,		(соз 0)"~4			и	т. д. В		общем	случае произвольный
член	полинома	Рп (соз 0)			содержит		переменную			соз 0 в	степени п — 2к, где
		к =	0,	1,	2	. . . п/2 при			п четном		1
		/с =	0,	1,	2	п	\|	при	п нечетном		I
		/с =	0,	1,	2	. . . —^—		при	п нечетном

Поэтому в (III.9) мы с точностью до постоянных множителей, являющихся функцией только п и к, имеем дело с членами типа

р" (соз Щп~2к = [рп~2к (соз 0)ге-2й] • р2к.

Но согласно (III.2) и (III.3) в прямоугольной системе координат

р соз 0 = 2; р2 = а;2+г/2 + 22.

	Поэтому	Р " ( С 0 5 в)п-*к	=	2п-2к(х2 +	у2 +	22)к =	8п{х,	у,
									2),
так	как это	выражение при любом к может				дать только			члены	вида хручг5,
у которых		сумма показателей равна всегда п.					Следовательно,			выражение
рпРп	(соз 0)	является целым		однородным многочленом				степени п		в перемен-
ных	х, у, 2. Поскольку,		кроме того,		ряд	(II 1.9) однородных				многочленов

рпРп (соз 0) представляет собой гармоническую функцию 1/г, то, согласно доказанному выше, все эти многочлены должны являться шаровыми функциями. Итак, мы установили, что рпРп (соз 0) есть частный вид шаровой функции степени п, а Рп (соз 0) — полином Лежандра — частный вид сферической функции степени п.

Шаровые функции, ряд которых представляет гармоническую функцию 1/г (Ш . 8) вне сферы, имеют отрицательный порядок

, (г

-V

рп(оозв)

У,

Рассмотрим

частный

случай,

когда

0 = 0 .

Тогда при р 5> Я г =

р — В ,

1 _

со

•(•-т)

Д "

(III. 12)

р — Н

П™+1

71=0

а п р и р

К г — В — р

СО

1 _

(111.13)

П 0 - 8 - ) '

•

дп+г-

П—р

Сравнивая эти разложения с (Ш.8) и (III.9), приходим к выводу, что при

0 = 0 (соз 0 =

+ 1 ) все многочлены Лежандра равны 1, т. е.

Рп(

1) =

(111.14)

п имея в виду, что Рп

(соз 0) содержит либо одни четные, либо одни нечетные

степени сое 0

Рп{—1) — (—!)"•

(111.15)

Далее положим, что функция г является не только функцией координат

точки

Р (р, 0, А), но и функцией координат точки

М (0', А'),

находящейся на

сфере

радиуса В

(рис. 21). В этом

случае

-^-=[Д2 +

р2 — 2Ярсозф]

2 .

(111.16)

Значение

соз ф

определяется

из

сферического

треугольника

МИР 0

(рис. 21),

образованного

дугами больших

кругов,

соз г|э = соз 0 соз 0' +

з т 0 з т

0' соз (Я' — А) =

соз 0 соз 0' + з т 0 з т 0' X

X соз А соз X' +

з т 0 з т

0' з т

А з т

А/.

(Ш. 17)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 447 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201649.15 Кб26Rabota_po_Geodezicheskoy_Astronomii_5.doc
#
27.03.201686.89 Кб43Raspechatat_fik.docx
#
27.03.201648.95 Кб82Reshenie_zadach_po_Investitsiam.docx
#
27.03.2016305.15 Кб21RUP_IM_kontr_rab.doc
#
27.03.2016226.3 Кб19SGGA_upravl_in_proetom_URA.doc
#
04.06.201514.99 Mб100shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli.pdf
#
11.11.20193.89 Mб7Sobstvenno_OTChET_Imms.doc
#
27.03.201679.08 Кб9SOTsIOLOGIYa_TRUDA.docx
#
04.06.2015407.04 Кб23Temy_VKR_kafedry_UiP.doc
#
27.03.2016238.55 Кб269tenses_booklet.pdf
#
18.09.2019128.51 Кб5Teoria_sistem.doc