shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Координаты В ж Ь входят в неявном виде в функцию Стокса 8 (тр). Это

вытекает из формулы (111.17), заменив в которой 0 через 90° — В, получим

Для определения частных производных, стоящих под интегралами, воспользуемся формулами сферической астрономии, которые в соответствии с рис. 21 представим в виде

- з т а р ^ = СОЗ В' СОЗ В 81П (Ь' — 1).

Принимая во внимание формулы (VI 11.55), будем иметь

(VIII.57)

Эти формулы были получены Венинг-Мейнесом и носят его имя. Если выражать составляющие уклонения отвеса в секундах дуги, то

1

оо

Я2 Я

200'

Введем обозначение

Проведем алгебраические преобразования

:реобразуем последний член, стоящий в скобке,

201

Числовые значения функции (} (гр) приведены в табл. И.

Формулы Стокса (VIII.53) и Венинг-Мейнеса (VIII.59) следует рассматривать как первое приближение к определению высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса в точках физической поверхности Земли.

§46. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ НА ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ (РЕШЕНИЕ МОЛОДЕНСКОГО)

Краевое условие для возмущающего потенциала, полученное М. С. Молоденским для поверхности 2 (VIII.8) с учетом (VIII.6), имеет вид

где индексы 2 и 8 означают, что соответствующие величины относятся либо

к поверхности Земли первого приближения 2, либо к физической поверхности 8.

В качестве исходной уровенной поверхности нормального потенциала берется сфера радиуса В и считается, что радиус-вектор точки на поверхности 2

равен

Рх = В+Н1.

202'

Проблема состоит в определении функции Т, которая на поверхности 2 удовлетворяет условию (VIII.62), вне Б является гармонической функцией координат и на бесконечности регулярна. М. С. Молоденский предложил рассматривать возмущающий потенциал во внешнем пространстве как потенциал простого слоя плотности ф, распределенного на поверхности 2,

- И * <22. (УШ.бЗ)

В таком случае задача сводится к определению функции ф. Внешнюю1 производную потенциала (VIII.63) на слое 2 по направлению Н получим ана-

логично (VIII.41)

'(ЭТ.)

Подставим (VIII.65) и (VIII.63) в краевое условие (VIII.62)

это и есть основное интегральное уравнение Молоденского.

Существует несколько способов решения этого уравнения. Изложим способ, предложенный М. С. Молоденским, с учетом уточнений, сделанных впоследствии В. В. Броваром. Приведем (VIII.66) к более простому виду.

203'

Учитывая, что р' = В + № , р0 = Д + Щ, а р' - р0 = Нг - Щ. выражение, стоящее в последнем члене уравнения (VIII.66), можно представить как

Используя обозначение

Я

перепишем уравнение (VIII.66) в более простом виде

( У Ш . 6 8 ,

Введем вместо плотности слоя <р вспомогательную функцию %, связанную

с ф соотношением,

__ Я» Ф — % соз ос.

Элемент Й2 поверхности 2 заменим элементом телесного угла йо)

асо = Л 2 соз а .

Р'2

Элемент массы слоя будет равен

Ф<1'^ = П2%<1(о,

а интегральное уравнение (VIII.68) примет вид

Выразим возмущающий потенциал Т через функцию %

(VIII.70)

М. С. Молоденский предложил следующий метод решения. Поверхность 2 преобразуется в поверхность 2 так, что угловые координаты в полярной системе координат сохраняют свое первоначальное значение, а радиус-вектор (см. рис. 51) изменяется в соответствии с выражением

204'

где р. — радиус-вектор преобразованной поверхности 2; к — постоянный коэф-

считать отнесенными к новой поверхности 2. Возмущенный потенциал Т на яовой поверхности 2 будет выражаться через функцию % формулой

где а — угол между нормалью к поверхности 2 и радиус-вектором р0 в точке N.

Величины г и ос являются функциями к и могут быть представлены в виде

рядов по степеням к.

Для поверхности сферы (см. рис. 51) имеем

г0 = 2Е з т у ,

где — угол между р_о_и р'.

Для поверхности 2 можно написать

где

и = н^'-Щ Го

Это упрощение вполне оправдано, так как само интегральное уравнение (VIII.73) имеет относительную погрешность порядка сжатия Земли а вследствие того, что за отсчетную поверхность принята сфера.

205'

Наклон поверхности 2 изменяется пропорционально к, т. е. будет име* место равенство

1,§а = к%%<%,

откуда

соз2а = (1 + к2а)"1 — 1 — к21§2а + ... (VIII.:'

Величины Т, % также могут быть представлены в виде рядов по степеням со

Неизвестные функции Тп и %„ полностью определяют искомые на поверх ности 2 величины Т и поскольку при к = 1 ряды (VIII.76) и (VIII.77) дак:

Чтобы определить функциональную зависимость между Тп и %п, подстави: (VIII.76) и (VIII.77) в формулу (VIII.72), кроме того, функцию 1/г представим в виде ряда по степеням к, использовав для этого соотношение (VIII.74)

Следовательно, для определения возмущающего потенциала по формуле (VIII.78) нужно знать %п. Подставим в интегральное уравнение (VIII.73) полученные ряды (VIII.75), (VIII.77) и (VIII.80)

206'

(й

2 • 55 (Хо+ кгх + /с2Ха + . . . ) &2х8 ( 1 - 1 /с2*2 + . . . ) Ао.

Приравнивая множители при к в одинаковых степенях, получим

(В

где

2 (Шр-Цр)

Хо" йсо,

(VIII.83)

207'

Интегральное уравнение (УШ.82) подробно рассмотрено в § 44. Аналогично (VIII.44) и (VIII.45) напишем общие решения уравнений (УШ.82) в следующем виде:

Подставляя (VIII.85) в (VIII.81), получим уравнения для определения Т- всех степеней

е>

что совпадает с формулой Стокса (VIII.47).

Во все последующие приближения также входит функция Стокса. Рельеф учитывается со второго приближения, наклоны земной поверхности (углы а) в явном виде появляются, начиная с третьего приближения (VIII.83).

Наибольшую поправку к решению Стокса дает возмущающий потенциал Т

нет необходимости интегрировать по всей поверхности Земли, а достаточно ограничиться ближайшими окрестностями исследуемого пункта.

208'

Подставив значение Т (VIII.87) в (VI.19), получим формулу Молоденского. лля вычисления аномалии высоты

Условием существования решения интегральных уравнений типа (VI 11.82)- является требование, чтобы свободный член не содержал сферической функции первой степени, т. е. применительно к формулам (VIII.87) и (VII 1.88) аномалии силы тяжести должны удовлетворять условию

§ 47. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Для определения составляющих уклонения отвеса \ и т) в точках физической поверхности Земли необходимо слагающие возмущающего потенциала Т — величины Т0, Тг, Г2, . . . подставлять в формулу (VI.8).