shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Поэтому потенциал силы тяжести для первого случая будет IV' = V' +

+(о2/2 (х2 + у2) и для второго Ш" = V" + со2/2 (ж2 + V2)»

Рассмотрим разность Т = IV'—IV", равную разности потенциалов сил

тяготения

и потому обладающую всеми свойствами, которыми обладает потенциал тяготения.

Следовательно, функция Т вне поверхности а должна быть гармонической

(поскольку в этой области нет притягивающих масс) и регулярной на бесконечности.

На уровенной поверхности а потенциалы V/' и IV" должны удовлетворять условию И7' = Сг, IV" = С2 (где Сг и С2 — некоторые постоянные), поскольку

поверхность с является уровенной для обоих потенциалов.

Применим к функции Т формулу Грина (II.7), положив в ней V = V —\ТГ

где т — внешнее относительное поверхности а пространство. Учитывая (1У.36), а также что на поверхности а:

И Лп

а

Поскольку как при первом, так и при втором распределениях масс общая масса тела М остается неизменной, то

но интеграл Дирихле может быть равен нулю только в том случае, если каждый из его элементов обратится в нуль. Отсюда следует, что во всем внешнем про-

110'

но на бесконечности Т обращается в нуль, поэтому сопз1; = 0. Таким образом, во всем внешнем пространстве, а также на поверхности о, = \У2', кроме того, выполняются равенства (IV.37), что и доказывает теорему Стокса.

Теорема Стокса может быть распространена и на физическую поверхность планеты, не являющуюся уровенной, только в этом случае необходимо знать на ее поверхности приращения потенциала силы тяжести относительно какоголибо начального пункта.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность определения внешнего потенциала силы тяжести, а вместе с тем и самой силы тяжести независимо от плотности, однако она не отвечает на вопрос: как может быть решена эта задача для данной конкретной уровенной поверхности. Нахождение потенциальной функции IV по данным условиям составляет так называемую проблему Стокса. Поскольку потенциал (7 центробежной силы выражается независимо от формы уровенной поверхности и масс простой формулой () = = <о2/2 (ж2 + г/2), проблема Стокса сводится к нахождению потенциальной функции притяжения V. Эта функция V должна удовлетворять условиям:

1.Во всем внешнем пространстве удовлетворять уравнению Лапласа.

2.Быть регулярной на бесконечности.

3. Быть всюду непрерывной и конечной, а также иметь непрерывные

иконечные первые производные.

4.Принимать на уровенной поверхности а вид

V = СОП81 -Щ-(а?-\- у\

так как М1 должно быть величиной постоянной на поверхности. Все эти условия однозначно определяют искомую функцию V, а следовательно, и И7.

Проблема Стокса, являясь непреодолимо трудной для произвольной уровенной поверхности сг, решена для тех поверхностей, которые могут представлять интерес при исследовании фигуры планет, а именно: для эллипсоида вращения и трехосного эллипсоида.

Стоксом решена и обратная задача, состоящая в определении формы внешней уровенной поверхности а силы тяжести и внешнего потенциала ТУ, при условии, если известны угловая скорость вращения, значения силы тяжести

должен быть предварительно задан. Например, если под нормальным потенциалом II понимать потенциал эллипсоида вращения, внешняя поверхность которого является уровенной (такой эллипсоид называется уровенным эллипсоидом), то потенциал II может быть найден в результате решения проблемы Стокса для эллипсоида вращения. Таким образом, в задаче Стокса определению подлежат лишь малые величины Т = \7—11. Эту задачу Стоке свел к третьей краевой задаче теории потенциала. Поверхность уровенного эллипсоида II = = 110 Стоке использовал в качестве отсчетной поверхности (поверхности относпмости), относительно которой определяется положение точек на геоиде.

Строго говоря, для определения потенциала Земли и формы геоида нельзя использовать задачу Стокса, так как, во-первых, геоид не удовлетворяет условиям теоремы Стокса: он не является внешней уровенной поверхностью, и, во-вторых, измерения силы тяжести производят на физической поверхности Земли, а не на геоиде. Однако Стоке и его последователи рассчитывали, что

111'

сэтими отступлениями от теории можно успешно справиться, если ввести в

измеренную силу тяжести небольшие поправки — редукции. В соответствии

сэтим необходимо было решить сложные проблемы «регуляризации» Земли и редуцирования силы тяжести. Первая проблема состояла в том, чтобы путем введения поправок в измеренное значение силы тяжести получить такое гравитационное поле Земли, которое соответствовало бы условиям теоремы Стокса. Иначе говоря, проблема состояла в том, чтобы путем вычислительных операций убрать все массы материков и островов, возвышающиеся над геоидом, и разместить их ниже поверхности геоида, для чего требовалось вычислить влияние притяжения этих масс на значение силы тяжести в каждой точке, где она измерялась. Исправленная этими поправками сила тяжести затем подлежала переносу (редуцированию) на геоид регуляризированной Земли. Однако указанные выше проблемы оказалось невозможно решить принципиально строго без детального знания закона, по которому изменяется плотность между геоидом

ифизической поверхностью Земли.

Задача, непосредственно интересующая геодезию, по определению фигуры Земли и ее внешнего потенциала принципиально строго была поставлена и решена М. С. Молоденским (1945 г.). Им же были исследованы условия существования полученного решения и вопрос об его единственности. ЗадачаМ. С. Молоденского может быть сформулирована так: если тело, обладающее общей массой М, вращается с постоянной угловой скоростью со около неизменной оси, то его внешний потенциал и форма могут быть однозначно определены, если известны: М, © и, кроме того, в каждой точке поверхности тела приращение потенциала силы тяжести относительно единого начала, значение силы тяжести и приближенные геоцентрические координаты гравиметрических пунктов. Вместо М может быть дан потенциал Ш0 в начальной точке, или расстояние между двумя удаленными точками.

Решение задачи было получено М. С. Молоденским в предположении, что внешний потенциал IV достаточно близок к известному нормальному потенциалу 17 (за нормальный потенциал принимается потенциал уровенного эллипсоида). Как и в задаче Стокса, определению подлежат небольшие величины Т — IV—17. Решение имеет вид интегрального уравнения относительно Т. Поверхность уровенного эллипсоида 17 = 170 в теории М. С. Молоденского используется в качестве отсчетной, относительно которой определяется положение точек физической поверхности Земли.

В настоящее время широкое развитие получили новые методы решения геодезических задач, в основе которых лежит использование наблюдений искусственных спутников Земли (ИСЗ) и других космических объектов. В частности, используя результаты наблюдений спутников, можно определить параметры, характеризующие внешнее гравитационное поле Земли.

Известно, что движение искусственного спутника в поле тяготения Земли подчиняется основному закону динамики Ньютона, который в прямоугольной системе координат имеет вид

где V — потенциал силы притяжения.

112'

Рассматривая эти уравнения, заметим, что ускорение спутника равно градиенту потенциала и что, следовательно, измеряя ускорение, можно определить потенциал.

Таким образом, этот способ в принципе позволяет производить прямое измерение потенциала V в точках траектории спутника вместо того, чтобы выводить его из решения трудной граничной задачи. Однако такая прямая процедура определения потенциала не является практичной по двум причинам.

Во-первых, ускорение, обусловленное главным образом членом потенциала /А/Ур, соответствующим шару с симметричным распределением плотностей и компоненты, интересующие нас, которые соответствуют сжатию Земли и другим более мелким отклонениям от сферической симметрии, не превышают одной тысячной главного члена, поэтому их трудно точно определить. Во-вторых, имеются ускорения, обусловленные влиянием внешних факторов, главными из которых являются: гравитационное действие Солнца и Луны, сопротивление атмосферы и световое давление, которое Солнце оказывает на спутники. Эти ускорения искажают данные наблюдений и с трудом поддаются точному учету.

Оказалось целесообразным при определении потенциала использовать отклонения от Кеплерова эллипса или так называемые возмущения, наблюдаемые в движении спутника вокруг Земли. Некоторые из этих отклонений увеличиваются постоянно со временем или изменяются с периодом многих недель „ и вследствие этого поддаются точному измерению при помощи сравнительно простых наблюдений, которые можно производить в течение длительного времени. Поэтому компоненты потенциала, вызывающие эти отклонения, могут быть определены довольно точно. Другие компоненты вызывают отклонения, изменяющиеся с суточным или меньшим периодами, определение их связано с большими трудностями и характеризуется сравнительно невысокой точностью.

Таким образом, отклонение фактических положений и скоростей ИСЗ от расчетных используется для подбора более подходящей для описания движения ИСЗ модели гравитационного поля Земли, при этом приходится ограничиваться определением ограниченного числа коэффициентов главных членов разложения потенциала в ряд по сферическим функциям, оказывающих на движение используемых ИСЗ, ощутимое влияние. (Более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. XI и XII.)

Коэффициенты членов этого ряда могут быть получены и по результатам наблюдений силы тяжести на Земле. Однако недостаточная плотность, а в ряде случаев точность мировой гравиметрической съемки ограничивает в настоящее время возможности этого способа. Наилучшие результаты получаются при совместном использовании гравиметрических и спутниковых данных, поскольку по наблюдениям искусственных спутников наиболее надежно определяются общие особенности гравитационного поля Земли, распространяющиеся на большие площади (низкие гармоники разложения по сферическим функциям), а измерения силы тяжести позволяют лучше представить его детали (высокие гармоники).

8 Заказ 1379

Глава V

НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

§ 23. НОРМАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЗЕМЛИ. НОРМАЛЬНАЯ СИЛА ТЯЖЕСТИ

Потенциал II, достаточно близко представляющий потенциал IV силы Xпяжести реальной Земли, называется нормальным потенциалом. Он имеет

^вспомогательное значение и используется лишь для того, чтобы вместо вычисления полного значения потенциала IV Земли можно было бы ограничиться

определением малых его отклонений от нормального II.

Нормальное силовое ноле значительно проще действительного гравитационного поля Земли, его уровенные поверхности и силовые линии используются в качестве координатных, при помощи которых определяется положение точек физической поверхности Земли.

Нормальный потенциал Земли может быть получен различными методами. Остановимся лишь на двух.

Один метод основан на представлении потенциала силы тяжести рядом шаровых функций. Так, например, можно приближенное значение потенциала

Определим эту постоянную таким образом, чтобы получить уровенную поверхность, отклонения которой от поверхности моря были бы небольшими. Для этого, положив в (У.1) 0 = я/2, р = а, после некоторых преобразований

получим значение постоянной

подставим ее значение в (У.1) и найдем

414'

При последующих преобразованиях будем пренебрегать величинами второго и последующих порядков малости, так как выражение для потенциала V получено с учетом малых первого порядка.

Введем в рассмотрение величину д, понимая под этим отношение центро-

бежной силы на экваторе к силе тяжести 6е на экваторе

(В2а

Эта величина имеет тот же порядок малости, что и сжатие Земли а. Поэтому, с учетом вышесказанного,, можно при вычислении д заменить силу тяжести 0е на экваторе силой притяжения шара массы М на точку земного,

экватора, т. е. положить

г№

Тогда получим

0 ) 2 а 3

*№'•

Введем это значение д в (У.З); кроме того, в поправочных членах положим р = а. Тогда

Щ

Р

удерживая малые первого порядка,, найдем

=1 + ^ г ( } С 0 8 2 6 ' - Т ) + Т ^ 6 +

отсюда

Р

Мы получили уравнение сфероида Клеро,. который может рассматриваться- в качестве нормальной Земли. Можно доказать, что с точностью до малых величин первого порядка сфероид Клеро совпадает с эллипсоидом вращения,, большая полуось которого а, а сжатие

Подставив это соотношение в формулу (У.2), после небольших преобразований получим

Эта формула определяет значение, которое приближенный потенциал принимает на поверхности сфероида Клеро с параметрами: а (большая полуось), а (сжатие), М (масса) и ю (угловая скорость вращения).

Найдем величину силы тяжести О0 на поверхности сфероида Клеро. Для этого нужно взять производную от приближенного потенциала ТУ по направлению внешней нормали п. Однако, учитывая, что угол между направлением радиус-вектора р и нормалью к поверхности сфероида п невелик [угол (п, р)

можно рассматривать, как разность между геоцентрической и геодезической широтой, которая не превосходит 11'], можно считать, что

гт'

Представим приближенный потенциал в виде

^ = Ж + НЛ^С1 ( 4 С082 е _ 4 . ) + т. р2 0,

и после дифференцирования найдем

Здесь под р в главном члене следует понимать значение радиус-вектора эллипсоида, определяемое формулой (У.4), а в остальных членах, которые являются малыми первого порядка, положим р = а. Тогда

«.-^[Ч^П^НН'Гх

Удерживая малые первого порядка, после преобразования получаем

а с учетом (У.6)

Следует упростить полученную формулу. Для этого вычислим значение С0 на полюсе Ор и на экваторе Ое сфероида Клеро. Полагая в (У.9), 9 = 0, получим

Следовательно,

Ор = С, ( а - 1 + 4 ? ) ,

отсюда

бр—6е 5

416'

Введем обозначение

Ор — Се о

Величина р представляет собой относительный избыток силы тяжести на полюсе по сравнению с экватором. Очевидно, что

Образуем отношение

1 + « — I ?

отсюда с точностью до малых первого порядка найдем

С0 = С,(1 + Рсо8*6)

или после замены 0 географической широтой ф

Формулы (У.12) и (У.13) составляют теорему Клеро. Первая из них определяет сжатие земного сфероида через д и коэффициент р. Вторая дает закон

нормального распределения силы тяжести на поверхности сфероида.

Для определения массы сфероида Клеро воспользуемся формулой (У.11). Получим

санные выше формулы, можно получить остальные. Так, если за основные пара-

Однако формулы, полученные выше, уже в конце прошлого века перестали удовлетворять геодезию из-за недостаточно хорошего приближения к условиям реальной Земли.

Для решения задачи Молоденского определение нормального потенциала Земли основано на решении проблемы Стокса для эллипсоида вращения.

117'

Эта проблема может быть сформулирована следующим образом. Дается: общая масса М тела, его угловая скорость вращения со и форма внешней уровенной поверхности, заданная уравнением

где а и Ь — соответственно большая и малая полуоси уровенного эллипсоида. Требуется определить потенциал II заданного уровенного эллипсоида. Параметры эллипсоида: М, со, а и а должны быть выбраны таким образом,,

чтобы отступления потенциала II эллипсоида от потенциала IV силы тяжести реальной Земли были бы настолько малыми, чтобы квадратами этих отступлений можно было пренебречь. Плотность б такого эллипсоида может быть неизвестна, однако это не означает, что она может быть вполне произвольной. Распределение масс внутри данного эллипсоида должно быть таким, чтобы направление силы тяжести у в каждой точке поверхности эллипсоида совпадало с направлением нормали к этой поверхности.

В результате решения проблемы Стокса находится потенциал II уровенного эллипсоида, который и принимается за нормальный.

Нормальная сила тяжести у определяется через потенциал II в соответ-

ствии с (1У.9):

т---ё-

Значение нормальной силы тяжести у0 на поверхности эллипсоида будем

обозначать:

иг)/ аи \.-

где индекс 0 означает, что значение нормальной производной должно быть взято на поверхности эллипсоида.

В 1929 г. итальянским геодезистом Сомильяна была получена формула для уо> которая в конечной форме выражает точный закон изменения силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

где В — геодезическая широта; уе — нормальная сила тяжести на экваторе эллипсоида; ур — нормальная сила тяжести на полюсе эллипсоида.

Но в таком виде формула неудобна для вычислений. Следует разложить правую часть (У.15) в ряд и получить более удобную, но уже приближенную формулу. Разложение может быть выполнено с любой степенью точности.

Введем величины

Ур-Уе •

где р — относительный избыток силы тяжести на полюсе по сравнению с экватором; а — сжатие эллипсоида.

Будем иметь

Тр = 7е(1 + Р), 6 = а ( 1 - а ) ,

118'

Раскрывая вторую скобку по биному Ньютона и сохраняя малые величины второго порядка (за величины первого порядка малости будем принимать здесь и далее величины порядка 1/300, равные сжатию Земли а), получим

Формулу (У.17) называют первой формулой Клеро с членами второго порядка.

В настоящее время характеристики гравитационного поля Земли часто представляются в виде разложения в ряд по сферическим функциям. Поэтому имеет смысл представить формулу (У.17) нормальной силы тяжести в виде суммы сферических функций. Для этого выразим в1п2В и з т 2 2В через соответствующие многочлены Лежандра

В некоторых случаях требуется знать среднее значение нормальной силы тяжести для всей поверхности Земли. Его можно получить, если интегрировать формулу (У.20) по всей сфере и результат разделить на поверхность сферы (принимая радиус сферы В = 1)

119'