shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Если точка Р лежит внутри поверхности а, то применять формулу (11.6) ко всей области т нельзя, так как 1/г терпит разрыв, когда точка Р сливается с текущей точкой М; но эту формулу можно применить к той облает" т', которая получается из т выделением из нее внутренней полости, охватывающей точку Р (рис. 18), так как для любой точки М области т' г — РМ ф 0 функция 1/г остается непрерывной и А (1/г) = 0. Таким образом,

Если сжимать поверхность безопасности 2, окружающую точку Р, уменьшая ее до нуля, то в пределе область т' перейдет в область т и интеграл в левой

так как в полярных координатах йт =

=г2 з т бйбйАйг, поэтому (1/г) йт является

величиной порядка гйг, стремящейся

кнулю при г ->- 0. Предел интеграла

уменьшении размеров поверхности 2 до нуля будет стремиться к произведению

Формулы (11.11) и (11.12) позволяют вычислить значение любой функции У,- (Р) внутри поверхности а и на самой поверхности а, если известны: значения ДУ,- внутри области т и значения У,- и йУ,-/йга во всех точках поверхности а.

Важное свойство формул (11.10), (11.11) и (11.12) заключается в том, что их левые части представляют собой сумму трех потенциалов.

Ш (1/г) ДУ(йт можно рассматривать как объемный потенциал У (Р)

х

масс, плотность которых в каждой точке М равна ДУ,-.

50

в точке М равна У,-.

Учитывая это, для точки Р внутри объема т, на поверхности сг и вне объема

рывная внутри некоторого объема т вместе с ее первыми и вторыми производными и удовлетворяющая во всех точках т уравнению Лапласа. Таких функций существует бесчисленное множество; например, можно показать, что целый однородный многочлен степени п в переменных х, у, % вида %п ~ 2к (х2 + у2 +

— г2)к является гармонической функцией в любой области т, лежащей в конечных частях пространства.

Применим формулы Грина к гармоническим функциям. Положим в (11.1)

Здесь II; есть произвольная функция, удовлетворяющая только условию, непрерывности (вместе с первыми производными) внутри и на поверхности а. Полагая в (11.14) СУ,- = У,-, получим

Здесь слева стоит интеграл Дирихле; отсюда следует, что

а

Это неравенство справедливо для всякой функции У,-, гармонической внутри поверхности о, знак равенства относится лишь к случаю У, = сопз1 (постоянную можно рассматривать как гармоническую функцию внутри сг, ибо она отвечает всем признакам гармонической функции). Из формулы (11.4) при ДУ = 0 получается очень ваяшое соотношение

Отсюда следует, что значения нормальной производной функции УИ гармонической внутри поверхности а, не могут быть заданы на пей произвольно: они подчиняются условию (11.16). Следовательно, производная йУ^йп не может

51

В самом деле, если поверхность а простого слоя является уровенной, то тогда на поверхности о соблюдается условие У = сопз1. Потенциал Уг простого слоя в точках, находящихся внутри о, будет функцией гармонической и в соответствии с только что доказанным свойством гармонической функции он будет сохранять постоянное значение. Сила притяжения внутри слоя будет вычисляться, как производная от потенциала У,- по направлению внешней нормали,

Г — У будет функцией гармонической внутри а и равной нулю во всех точках поверхности о. Но согласно доказанной выше теореме 1 эта разность должна

тождественно равняться нулю внутри о, т. е. (У — У'),- = 0, и, следовательно,

г = у;.

Теорему 2 можно сформулировать еще и по-другому: если существует гармоническая функция У, принимающая на а заданную совокупность значений У, то она является единственной.

3. Теорема о среднем. Значение гармонической функции во всякой внутренней точке Р равно интегральному среднему ее значений, взятому по поверхности любой сферы (Б) с центром Р, лежащей целиком внутри т, т. е.

^ = = етг И " г , •* 2 • ( П - 2 2 )

2

где Е — радиус сферы 2.

Для доказательства этой теоремы обратимся к формуле (11.20) и положим, что а является сферой 2 радиуса К. Если точку Р поместить в центр этой сферы, то тогда г = К, а направление внешней нормали п будет совпадать с направлением В.

В таком случае

мума. Так как функция У,- обладает свойством непрерывности, то в этом случае

53

VI (Р) = 1/4яД2 Л не может иметь места, следовательно, гармони-

ческая функция не может иметь максимума во внутренней точке.

Аналогично можно доказать, что гармоническая функция не может иметь в ней и минимума. Но для точек самой поверхности о это рассуждение, основанное на теореме о среднем, неприменимо: здесь гармоническая функция, согласно общим свойствам непрерывных функций, должна достигать своих экстремальных значений.

§ 9. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА

Используем теперь соотношения, открытые Грином, между отвлеченными функциями II ш V для изучения свойств силового поля, создаваемого притягивающими массами. Положим, что область т, ограниченная поверхностью о, заполнена массами, плотность которых б. Потенциал, создаваемый этими массами, обозначим через V.

Применим формулы Грина (11.10), (11.11) и (11.12) к этому случаю. В точках, расположенных внутри объема т, потенциал V будет удовлетворять уравнению Пуассона АV = —4я/6. Поэтому объемный интеграл, входящий в формулы Грина и содержащий ДУ, примет вид

Фундаментальная формула (11.23) Грина замечательна тем, что позволяет определять внешний потенциал тела (который в дальнейшем будем обозначать Уе) независимо от плотности.

Кроме того, она показывает, что потенциал Уе объемных масс (вне тела) может быть представлен суммой двух потенциалов: потенциала простого слоя с плотностью 1/4я -АУ/йп и потенциала двойного слоя с плотностью (1/4я) У, распределенных по поверхности а тела.

Потенциал тела внутри масс, как видно из формулы (11.24), не может быть определен через поверхностные интегралы. Используя свойства потенциала двойного слоя, можно получить одну формулу для определения потенциала притяжения во внешнем пространстве и на поверхности а. Для этого следует применить преобразование М. С. Молоденского. М. С. Молоденский изменил обычное нанисание формулы (11.23) Грина, введя вместо У под знак интеграла разность У — У, понимая под У постоянную, равную значению У в данной точке Р на поверхности о.

54

Таким образом, М. С. Молоденский дает формулу (11.23) в следующем виде:

Покажем, что полученная формула будет удовлетворять случаям, когда точка Р находится во внешнем пространстве и на поверхности а. Действительно, з случае, когда Р находится вне а

И ^ ( т ) ^ Ш т ) ^

так как интеграл Гаусса во внешнем пространстве равен нулю, и формула '11.26) будет давать тот же результат, что и формула (11.23).

Когда же точка Р находится на поверхности а,

гЦМЯ*—1*-

а

так как интеграл Гаусса в этом случае будет равен —2п, и формула (11.26) будет совпадать с формулой (11.25). Формула Грина (11.23) верна не только для внешнего потенциала объемных масс, но справедлива для любой функции, гармонической во внешнем пространстве и регулярной на бесконечности.

§ 10. СТОКСОВЫ ПОСТОЯННЫЕ

Вернемся к формуле (II.6). Под функцией У{ будем понимать потенциал объемных масс, заполняющих объем т, ограниченный поверхностью а. Плотность этих масс обозначим через б. Под функцией будем подразумевать произвольную гармоническую в области т функцию. Тогда

Интегралы вида I = I)! ЬЛ^х [носят название стоксовых постоянных.

"т

Стоксовы постоянные обладают тем замечательным свойством, что их можно определить, не зная распределения масс. Как видно из формулы (11.27), для их вычисления необходимо знать поверхность а, ограничивающую данное тело, и значения потенциала V и его нормальной производной йУ/йп на поверхности.

55

Поясним физический смысл некоторых стоксовых постоянных. Положим V1 — 1. Тогда получим стоксову постоянную нулевого порядка

7°=Шбйт=м'

тела может быть определена без знания плотности, для ее определения требуется знать форму поверхности а и значения нормальной производной потенциала тела на ней.

Если положить

г/, = Б2—л2,

то получим стоксовы постоянные второго порядка:

X

Первые три интеграла представляют собой произведения инерции тела. Чтобы выяснить механический смысл двух последних интегралов, воспользуемся выражениями для моментов инерции тела относительно координатных осей х, у, г. Если ось 2 совместить с полярной осью, а оси х и у расположить

56

в плоскости экватора, то момент инерции тела относительно полярной оси будет

т

а экваториальные моменты инерции соответственно

т

X

Выразив объемные интегралы через моменты инерции

-с X

X

убеждаемся в том, что они представляют собой разности моментов инерции тела. Таким образом, массу тела, координаты центра массы, разности моментов инерции, произведения инерции можно рассматривать как стоксовы постоянные

различных порядков.

Определение стоксовых постоянных Земли, Луны и других планет солнечной системы составляет одну из важных задач космической геодезии.

§ 11. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Краевые (граничные) задачи теории потенциала состоят в определении гармонической функции, удовлетворяющей некоторым граничным или краевым условиям (т. е. условиям, которые могут быть выполнены на границе рассматриваемой области). В зависимости от характера граничных (или краевых) условий различают три типа краевых задач.

Первая краевая задача или так называемая проблема Дирихле может быть сформулирована следующим образом: в точках замкнутой поверхности а кадана функция V; требуется найти функцию V (х, у, г) гармоническую в некоторой области, ограниченной поверхностью о, и принимающую на этой поверхности заданные значения V. Различают внутреннюю задачу, когда гармоническая функция ищется в конечной области т, ограниченной поверхностью о, и внеш-

ции V (х, у, г); требуется найти эту функцию в области, ограниченной поверхностью а. Здесь также различают внутреннюю или внешнюю задачу, смотря

по тому, о какой из областей идет речь.

Третья краевая задача (называемая также смешанной краевой задачей) заключается в определении гармонической функции по значениям, принимаемым

57

на поверхности а линейной комбинацией аУ + йУ/йп. Эта задача также может быть внутренней или внешней. Следует иметь в виду, что при решении внешних краевых задач обязательно ставится условие, чтобы искомая гармоннческая функция обращалась на бесконечности в пуль (была регулярной). При изучении фигуры Земли приходится иметь дело с внешними краевыми задачами, поскольку потенциал притяжения V (х, у, г) — функция гармоническая только во внешнем пространстве и по краевым (или граничным) условиям он может быть найден только во внешнем пространстве. Поэтому в общем виде рассмотрим внешние краевые задачи.

П е р в а я к р а е в а я з а д а ч а

Требуется определить в точке внешнего пространства Р (х, у, г) функцию V, гармоническую вне данной поверхности а, регулярную на бесконечности и принимающую на а заданную непрерывную совокупность значений V.

На основании (11.23) можно написать

в том, чтобы исключить из формулы (11.30) член, содержащий нормальную

можно. Но тогда первый член подынтегрального выражения в (11.32) обращается в нуль и получим

о

Введенная здесь функция О носит название функции Грина для внешнего по отношению к поверхности а пространства. Таким образом, если для данной поверхности можно построить функцию Грина С, то тогда гармоническая функция в любой точке внешнего пространства может быть найдена по тем значениям, которые она принимает на поверхности а.

58

Функция Грина С должна быть определена во внешнем пространстве.

не может равняться —, так как II должна быть гармонической во всем внешнем

относительно а пространстве, а — теряет это свойство в точке Р. Таким образом, функция Грина должна обладать следующими свойствами: на бесконечности быть регулярной, вне поверхности а быть всюду гармонической, кроме одной точки Р, и на поверхности о обращаться в нуль.

Решение задачи будет найдено, если из формулы (11.32) удастся исключить член, содержащий V; тогда искомая функция У (Р) будет определяться только значениями нормальной производной, заданными на поверхности а. С этой целью примем во внимание некоторую вспомогательную функцию V, гармоническую вне поверхности а и регулярную на бесконечности, которую подчиним условию, чтобы (АН/йп)а = 0, где Н = 1/г + I]. Тогда получим решение второй краевой задачи в виде

1

У(Р) 4л

59