Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет геосистем и технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

04.06.2015

Размер:

14.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4420 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Поскольку сферическая функция б^о не содержит членов первого порядка, то по условию ортогональности сферических функций каждый интеграл в отдельности должен быть равен нулю. Таким образом, получаем три условия

Л бй, сов е	' в т	в ' = О
о
Л б й с о 8 Я ' 8 т 8 ' а т в ' й е ' й Я , ' = 0			(VIII. 15)
со
Л 6# 0 вт Я , ' 8 т 0 ' 8 т 0 ' й 0 ' й Г = 0
0)		)
На основании (VIII.И) будем иметь
Л в г А ( е ' , « а . - Д О ( , - , » « . ( в - , « л - г а г ^ д о			^
При п Ф 0
Л	яде',	А/)Л» = О
(О
			( У Ш . 1 6 )

На этом основании условия (VIII.15) можно переписать в следующем виде:

Л (е—у) со8 в' 81п б' а'в' ах'=о

ш
Л<о (8 — у)созХ'8Ш0'зт0'й0'	с1\' = 0	(VIII.17)
Л (8 — У) 81П Я,' 81П 0' 81П 6'	й%' =	0
О)

Из (VIII.17) следует, что аномалии силы тяжести не могут быть заданы на сфере произвольно. Если условия (VIII.17) не соблюдаются, то это свидетельствует о наличии ошибок в измерениях аномалий.

Искомая гармоническая функция в соответствии с (VI.4) определяется рядом

		оо	с»
Г(Р,	е,	= п-0	= п=О	( У П Ш )
где Уп (6, X) неизвестная		гармоническая	функция. Требуется определить не-
известные функции	Уп (0, X) через известные §п (0, X),			заданные на сфере.

Указанную задачу можно решить, используя граничное условие (УШ.Ю). Продифференцируем функцию Т (VIII.18) по р и сложим полученное значение

с величиной 2Т/р. Затем получим предельное значение этой суммы при р Н

190'

в виде бесконечного ряда сферических			функций У"„ (О, А,). Полученный ряд,
= также ряд (VIII.12) подставим в граничное условие (УШЛО). Получим
	дТ„Р 7»=>>О			^
	со
	2Г = 2	2 у«(0		-
			рЛ+2
	71=0
Предельное значение суммы 2Т/р		+	дТ/др при р		й будет
дТ	. гт I			Я)	УП (0. Я)
др	Р 1р->-В			71=0
	71=0			71=0

Следовательно, граничное условие можно представить СО

В соответствии с теоремой о единственности разложения функции, заданной на сфере, в ряд по сферическим функциям два таких ряда могут быть равны лишь при условии, если коэффициенты при соответствующих сферических функциях равны.

Приравнивая сферические функции одинаковых степеней, будем иметь

- * « ( в , Я).

(VIII.19)

Отсюда следует вывод, что сферическая функция первой степени в разложении аномалии силы тяжести в ряд (0, Я) должна равняться нулю. Действительно, (VIII.19) при п ~ 1 дает

й(в, Ь) = 0.

(VIII.20)

Следовательно, величину Ух (0, X) нельзя определить по аномалиям силы тяжести. Все остальные сферические функции определяются в виде

Уп (0, X) =

В п Ф ' к ) .

(VIII.21)

Это соотношение связывает коэффициенты разложения возмущающего потенциала с коэффициентами разложения аномалии силы тяжести.

Подставив полученные значения функции Уп (0, X) всех степеней, кроме первой, в ряд (VIII.18), получим

Г (Р. в, =	+	№ - 2 2 )
	П=0

191'

Выделим сферическую функцию нулевой степени

Г ( Р , 0, *.) = - д я « в < е - Х ) +

+в

( у ш . 2 3

п~ 2

полученный ряд при р = В называется рядом Стокса.

Сравнивая (VIII.23) с (У1.4), получим

- 7?^ 0 (б, Я) =	/ ( М - М 0 ) ,	(VIII.24'
подставив значение §0 (0, К) из (VIII.14),	найдем
/ (М —М0) = 2В ( Ж 0 - *70) - ДО ( ё м - ук) Ло.		(VIII.25)
	О)

Это равенство при известной разности Ш0 — 170 можно использовать для определения массы Земли. Учитывая приведенные выше соотношения, перепишем обобщенный ряд Стокса в виде

Т(р,	0, я ) = р 2 Я ( Ж 0	- г / о ) —	1 +
		со	1 +
		со
	Ух (9. Л) ,	со
	Ух (9. Л) ,	р \ /
	Р2	д 2 ( т Г - ^ г -		(УП1-26'
		71=2
Если р = В,	для возмущающего потенциала на поверхности сферы получим
			п=	2
				(VIII.27)

Таким образом, решение краевой задачи получено в виде бесконечного ряда. Ряд этот сходится медленно. Для определения возмущающего потенциала

Стоксом также получена интегральная	формула,	вывод которой	приводится
в следующем параграфе.
Учитывая соотношения (VIII.11),	(VIII.20)	и (VIII.14),	разложение
(VIII. 12) можно представить в виде

0г - Т) = (г-Т)ср +

где в соответствии с (VIII.13) и (VIII.16)

2 * п ( е , Ц,	(VIII.28)
11 =2

Вп (0, X) =	Ц (8-у) Рп (созЧ>) йсо.	(У1Н.29)
	со

Итак, в разложении аномалии силы тяжести в ряд (VIII.28) по сферическим функциям не должно содержаться членов первой степени, а при соответствующем выборе нормального потенциала не будет членов и нулевой степени.

192'

В этом случае разложение аномалии в ряд будет начинаться с членов второй

степени
со
О т - г ) = 2	Впф, Я
п-2

§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ (РЕШЕНИЕ СТОКСА)

Представим ряд Стокса (VIII.26) в виде

г<р,	в, м =			+
			СО
	со
	п = 2		со
Заменив в последнем интеграле			его значением из (VIII. 11),	получим
г в , .	е,
			ОО
	со		2 ( т Г - 2 г ' - « - « г -	(УШ -30)
	со	"-п=2

Во втором и четвертом членах правой части равенства (VIII.30) под знаком интеграла стоит смешанная аномалия в свободном воздухе. Введем обозначение

п=2

п получим так называемую обобщенную функцию Стокса. Просуммируем ряд (VIII.31).

Обозначив В/р = х, ряд (111.18) представим в виде

						оо
	р 1^1+3:2 — 23; совя\|)					2 хпРп (соз г\|7).
г	р 1^1+3:2 — 23; совя\|)					Р
Отсюда
	г		1	==- =	У ХпРп (соз 1\|5).
	У 1+ж2 — 2ЖС08 1\|)				* *
пли					п=о
пли						00
						00
У Т	— 2х со5 г\|)			Л — X соз		= 2 хпРп (соз яр).	(УП1.32)
						п=2
Умножим обе части этого равенства на йх/х2 и проинтегрируем в пределах
от х -> 0 до х						оо
						оо
I [ у г т й ^			- 1	-	^ = ( с о 8		^
О		Т				П=2
13 Заказ 1379							193

/ 1 + ж2_2гсозг|з

интеграл в левой части этого равенства представим суммой трех интеграл:

X	1		X	X	X
Г	1	Ах	?	йх	Р С08я])йж

Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки х = 1/у. Отеке

Г	1			Ах _	Г		уАу
3	+		2хсо8г\|э	ж2	] /ц-у2_2ус08г\|) *
Последний интеграл является табличным. Известно, что
Г	уАу		__ УауЪ+Ьу+с			Ь	Г	Ау		(VIII 3"
3 Уау2+Ьу+с				а		2а	] уауг	+ Ьу +	с '	К	• "
			(причем а > 0)
В нашем случае а — 1; Ь =			—2 сое яр, с =		1. Поэтому
	+ СОЗ 1)51п (1/1 -\-уг — 2у СОЗ						— С08 Яр)].
После перехода к переменной х окончательно получим
Г	- = - [ / ! +			1 - ^ ^ + 0 0 3 ^				/ 1 + 1 2 0 0 ^
] л;21^1 + ж2—2х соз г\|>		I. У < х*			х		*	у	~г х2	х	Т
	-\--х—соз ф^ =			— ^	1/1 +х2		— 2х соз яр +
+	соз яр 1п		(1/1 -(-ж2 — 2ж соз яр				1 — х соз г]))^.
В свою очередь			1	Г созФйг			. ,
	Г Ах		1	Г созФйг			. ,
	) - ±Г =		- Т >	)	3	=008115 1п X.
Таким образом,
со
хП-1			С			\	г
2Л —г1Рп(созяр) = ] ——I				созяр1па:		^ у 14- х2		— 2а; соз яр —

П=2

— СОЗ Яр 1п ^1+^2 -2з:соз^ + 1-а:со8Т|;|

194'

пли после сокращений

	со
	2 т = Г / > " < С 0 8 =						I 1 - 2 ^ 0 0 5 ^ ]			-
п=2									х
									х
	— соз \\|> 1п [VI				+	х2 — 2х соз г\|? + 1 — х соя 1\|>]\| •
При нижнем пределе									о
При нижнем пределе
1пп —	[1 — 1/4 +		х2 — 2х соз г\|?] — соз г\|>1п 2 =						соз -ф — соз 1\|з 1п 2.
«->•0 х
Поэтому после подстановки						пределов
	Р"	(соза\|)) =			-^[1		—жсоз!\|5 —1/1 +х2 — 2x00311) —
71=2
	— сое		, .		У\.-\-хЪ—2гсо5оЬ + 1—хсозгЬ						(VIII.35)
	— сое			1п		1		^			(VIII.35)
Обобщенную функцию				Стокса			5 (р, т\|)) можно		представить		следующим
образом:
1Г 2	1 П = Г х М Р "			<со8		= 4 " 2		( 2 + Х П +	1 Р » < с	о 8	=
	_1_	05						^
	_1_	2 ^	*п+хРп (соз 1>) +					3 2	Рп (соз ф)
	Л	2 ^	*п+хРп (соз 1>) +					3 2	Рп (соз ф)
								71=2
Подставим в это тождество (VIII.32) и (VIII.35)
								2х	- 2х — 23? СОЗ 1)5 +
									- 2х — 23? СОЗ 1)5 +
							У	\-\-х%—2х С08Я\|)

+ 3 ^ ( 1 - ^ 0 0 3 ^ - 1 / 1 + ^ - 2 x 0 0 3 ^ - 3 ^ с о з ^ 1 п / 1 + д 2 - 2 з : с о 2 8 , | , + 1 - а : с о ^ ) ] >

или
							2х		- х — 5х2	соз "ф —
					У1 + х2 —			соз г\|)	- х — 5х2	соз "ф —
					У1 + х2 —			соз г\|)
п„лГл	I	„•>	г о ,	соз	1п	У1	—	— 2х соз 1\|) + 1 — х соз г})
— Зх у 1	+	х- — 2хсоз г\|) — Зж2		соз	1п		—			— ^
Подставив	х = К/р и		+	х2	— 2х соз я\|з = г/р, найдем обобщенную
функцию Стокса
5(Р.										{ у и и б )

13*

195

Подставив полученное значение 5 (р, -ф) в (VIII.30), получим

Г(р, е,			+ \| ш т № - у ) [ 8 < р ,	(У1П.ЗГ
			и
Отсюда можно получить значение потенциала на поверхности сферь^.
положив в этой формуле р =			В.
В этом случае г = 2В з т			г\|)/2 и
8(В,	=	Ц^ -- 6зт - \| - +1 - 5со8'ф - Зсозя\|)1п(8т^ -- ! - 8т 2 - \| - )" .
или, обозначив выражение в квадратных скобках через 8 (г\|з),				( У Н Ш

			8 (В, ^ =
Следовательно,
Т(В,	0,	=	+	(УШ.ЗР
Функция			со
Функция			©э
			©э
называется	функцией Стокса.		п=2
называется	функцией Стокса.

Мы получили интегральную формулу Стокса.

Если бы Земля была сферой, то формула Стокса точно определяла бы возмущающий потенциал Земли. Но в силу отличия Земли от сферы, применение формулы Стокса при определении возмущающего потенциала Земли приводит к ошибочным результатам.

Вопрос о том, каковы будут эти ошибки по величине явился предметом большой дискуссии.

Казалось очевидным, что поскольку Стоке в качестве поверхности интегрирования использовал сферу, а не эллипсоид (а отступления сферы от эллипсоида являются величинами первого порядка малости), то и ошибки вычисления возмущающего потенциала Земли — Т по формуле Стокса будут того же порядка.

Однако в 1913 г. итальянский ученый Пицетти доказал, что ошибки, возникающие при применении формулы Стокса будут иметь порядок Та. Поскольку возмущающий потенциал Земли Т является величиной второго порядка малости, а сжатие Земли а — первого порядка, то величина Та будет иметь третий порядок малости. Последующие исследования подтвердили вывод Пицетти.

Формулу Стокса (VIII.39) следует рассматривать, как приближенно определяющую возмущающий потенциал Земли.

Рассмотрим еще один возможный способ определения возмущающего потенциала Земли.

Представим возмущающий потенциал во внешнем пространстве Т в виде потенциала простого слоя плотности ц, распределенного на поверхности сферы о, т. е.

(УШ.40)

196'

Тогда задача определения потенциала Т сведется к определению неизве-

стной плотности В соответствии с (1.85) имеем

дТ	— — С С (ХС08(;°- р) ав -		2яц (9, Я).	(VIII.41)
др р->"Н	— — С С (ХС08(;°- р) ав -		2яц (9, Я).	(VIII.41)
др р->"Н	^	г0
Поскольку на сфере	о
Поскольку на сфере
	соз(г0р) = - ^ - ,
то
дТ
др р^п =		а	Ч	(VIII.42)
		а

Подставим (VIII.40) и (VIII.42) в краевое условие (VIII.10)

после суммирования получим интегральное уравнение для определения плотности и (0Д)

2Я\|4(0,			=					+	а		(У1П.43)
									а
Заменим плотность			[х (0', К'),		стоящую			под интегралом,		через величины,
заданные на сфере.
Прежде всего заметим, что интеграл
				^					а»
		асг		го			ю	г0
равен значению потенциала Т (VIII.40) на сфере (р =									В). Он уже определен через
смешанные аномалии, заданные на сфере (VIII.39)
Т (В, 6,		Я) = Д2 Л И					<&» = 2 (ТГ„ -110 ) +			Х) +
				ш
жли, учитывая	(VIII.11)			(О
жли, учитывая	(VIII.11)
Е 2	й			а<й =	И	6>	1 5	<*> ~ «	+	'	( У Ш - 4 4 >
	(О					6>
Подставив	значение потенциала						Т (В, 0, X) в		(VIII.43)	получим	решение
интегрального уравнения в виде
Ив,
НЛП							ь>
НЛП
и е ,		= ^		+			+ ( 4 я ) 2		( * > - № .		(VII1.45)
								(я

197'

С интегралами этого вида нам придется встречаться неоднократно; в нг под знаком интеграла всегда стоит произведение двух функций. Первая — в данном случае 8$0 — есть некоторая непрерывная функция, заданная во вс< точках сферы соответственно условиям данной конкретной задачи, она назг вается обкладкой; второй множитель — в данном случае 5 (ф) — зависг лишь от координат элемента йоа и координат 0 и X, называется он ядром инте: рала.

Итак, формула Стокса (VIII.39) полностью решает поставленную проблему т. е. определяет возмущающий потенциал Земли для случая, когда краев-:

условие (VIII. 10) отнесено к сфере. Полученное	решение справедливо липг-
в случае, если на сфере соблюдается условие
^8#0СО8яМ<О = 0,	(УШ.4»

или иначе, справедливы соотношения (VIII.15).

Условие (VIII.46), или соответствующие ему (VIII.15), называется уелс вием существования полученного решения.

Единственность решения обеспечивается в случае, если будут выполняться определенные требования к нормальному потенциалу Земли. Остановимся н. этом вопросе.

Перепишем формулу Стокса (VIII.39), выделив особо сферические функции нулевой и первой степени

т(Н, е,	+
	(0

«в

Для сферической функции первой степени находим

У1ф, X) = /М (г0 сов 6 + сов X 81П 6 + г/0 з т X вш 0), (VIII.45

где хй, г/0, г0 — координаты центра массы Земли.

Таким образом, возмущающий потенциал Земли определяется не тольк.: аномалиями силы тяжести (§ — 7), но и зависит от постоянных величин

«о. У01

значения которых находятся в прямой зависимости от способа определения нормального потенциала.

Так, в частном случае при определении нормального потенциала можно поставить следующие условия.

1. Масса выбранного эллипсоида М 0 должна равняться массе Земли М. что в соответствии с (VIII.25) тождественно требованию, чтобы сферическая функция нулевой степени в (VIII.47) равнялась бы нулю

2 (ТР0 - с д — Э Д (8 - у) йсо = 0.

(VIII.49)

198'

2. Потенциал II0 на поверхности эллипсоида должен равняться потенциалу И^о в начальной точке, т. е.

И'о-С/о-О,

и. следовательно, на основании (VIII.49) должно удовлетворяться условие

§§ (е-7)<Ьо =	0. '	(VIII.50)
ш
3. Центры масс эллипсоида и Земли должны совпадать, т. е.
Хо = Уо = го =	°-	(VIII.51)

Поставленным требованиям удовлетворяет общий земной эллипсоид. Таким образом, для общего земного эллипсоида формула Стокса при-

нимает более простой вид
Т(Н, 6,	(VIII.52)
(0
Если бы масса Земли М и значение потенциала	в начальной точке

были известны, то большая полуось общего земного эллипсоида а и величина уе определялись бы из формул (У.26) и (У.27). Однако ни М, ни \У0 с надлежащей

точностью неизвестны и для определения размеров общего земного эллипсоида к элементов его ориентирования используют астрономо-геодезические и спутниковые методы (см. § 77).

§ 45. ФОРМУЛА СТОКСА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫСОТЫ КВАЗИГЕОИДА И ФОРМУЛЫ ВЕНИНГ-МЕЙНЕСА

ДЛЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЩЕГО ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

Используя соотношения (VI.19) и (VI.8) между возмущающим потенпвалом и элементами, характеризующими фигуру Земли, можно определить гысоту квазигеоида ^ и составляющие уклонения отвеса \ и г). Так, на основаняп (VI.19) можно с учетом (VIII.52) получить

ТгК называемую формулу Стокса для высоты квазигеоида относительно общего земного эллипсоида.

Для вычисления составляющих отвеса используем соотношения (VI.8), 5 которых положим р = В. Дифференцируя формулу Стокса (VIII.52) по пере- *-гнным В и Ь, получим

(А

(О

199'

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4420 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201649.15 Кб26Rabota_po_Geodezicheskoy_Astronomii_5.doc
#
27.03.201686.89 Кб43Raspechatat_fik.docx
#
27.03.201648.95 Кб82Reshenie_zadach_po_Investitsiam.docx
#
27.03.2016305.15 Кб21RUP_IM_kontr_rab.doc
#
27.03.2016226.3 Кб19SGGA_upravl_in_proetom_URA.doc
#
04.06.201514.99 Mб100shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli.pdf
#
11.11.20193.89 Mб7Sobstvenno_OTChET_Imms.doc
#
27.03.201679.08 Кб9SOTsIOLOGIYa_TRUDA.docx
#
04.06.2015407.04 Кб23Temy_VKR_kafedry_UiP.doc
#
27.03.2016238.55 Кб269tenses_booklet.pdf
#
18.09.2019128.51 Кб5Teoria_sistem.doc