shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Тогда

ЭТО формулы Венинг-Мейнеса для случая, когда не ставится предварительных условий к нормальному потенциалу. Формулы Венинг-Мейнеса следует рассматривать как первое приближение к определению наклона уровенной

Вид этой функции нам неизвестен. Потенциал Т на самой поверхности 2 в общем виде обозначим Т [В, Ь, Щ (В, Ь)].

ЗЮ

где (В, () — угол между касательными к сфере и к поверхности 2 в точке N (рис. 52).

Производная от Т (В, Ь, Н) во внешней точке по тому же направлению Ъ- будет

Если внешняя точка (В, Ь, Н) неограниченно приближается к поверхности 2, р -»- Ро, то в пределе мы получим значение внешней предельной произ-

водной возмущающего потенциала Т по касательному к 2 направлению I

«)• (УШ.94)

Возмущающий потенциал Т определяется формулой (VIII.63). Поскольку потенциал простого слоя есть функция непрерывная во всем пространстве, то

При этом условии должны быть равны и производные потенциалов по направлению I, касательному к поверхности 2, т. е.

Сравнивая (VIII.93) и (VIII.94), получим

Эта формула дает возможность вычислять значения внешних предельных производных возмущающего потенциала через величины, заданные на самой поверхности 2.

где

/ • 2 = Р о + Р ' 2 - 2 Р О Р ' С 0 8 1|>.

Следовательно,

212'

Следовательно^

2

На основании формулы (VIII.65) получим прямое значение производной

Подставим (VIII.98), (УШ.99) и (УШ.ЮО) в формулу (УШ.97)

П'Хгле преобразований получим

РО дВ

Вместо поверхности 2 примем, как и раньше, поверхность 2, которая ••ределяется преобразованием радиус-векторов согласно (VIII.71). В этом сгучае необходимо иметь в виду соотношения

213'

Кроме того, введем новую плотность % и элемент телесного угла йсо. Элемент массы слоя будет

=ЯЧ<1со.

X А; Ро ОВ

Подставляя значение 1/г из формулы (VIII.80) в бесконечный ряд (VIII.77), получим

приравнивая множители при к" слева и справа, получим

+3Я

214'

юторое используем для преобразования формул (VIII. 102).

Получим аналогично соотношение для случая п = 0. Используя соотно-

215'

Произведя в (VIII.102) замены в соответствии с соотношениями (VIII.! и (VIII.104), получим

2в ) ро ад.

ЗД2

Здесь

в соответствии с обозначениями, принятыми ранее.

Нулевое приближение совпадает с полученными ранее формулами ВенингМейнеса (VII 1.91). Поправки к нулевому решению будут иметь вид

дН]_

Ро дВ

216'

Аналогично определяются поправки гц, х\г . . .

§ 48. ФОРМУЛЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

Приведем формулы М. С. Молоденского первого приближения для общего земного эллипсоида. На основании (VIII.87) получим, что возмущающий потенциал на физической поверхности Земли будет вычисляться по формуле

(VIII. 109)

Поправка в аномалию силы тяжести, учитывающая влияние рельефа, в соответствии с (VIII.83) имеет вид

(УШ.ИО)

(й

Вспомогательную функцию %0 на основании (VIII.84) вычисляют как

217

Учитывая вышеизложенное, а также формулы (УШ.88), (VIII.91 (VIII.106), (VIII. 107) и (VIII.108), при вычислении высот квазигеоида и сост: вляющих уклонения отвеса можно пользоваться формулами

шать аномалии силы тяжести. Исследования Е. М. Орловой показали, что для получения надежного результата эти поправки необходимо вычислять для всех экстремальных точек физической поверхности.

Вопрос значительно осложняется, если в формулах М. С. Молоденского учитывать последующие члены.

Поправки 8%2, . . . определяются в основном рельефом местности, непосредственно окружающем исследуемую точку, и при их вычислении не требуется производить интегрирование по всей поверхности Земли, однако

В настоящее время при решении ряда практических задач нашли широкое применение формулы Стокса (VIII.53) и Венинг-Мейнеса (VIII.59), которые можно рассматривать в качестве нулевого приближения к формулам М. С. Молоденского. Однако формулы нулевого приближения дают удовлетворительную точность только для пунктов, расположенных на равнине.

Так, например,, уклонения отвеса по формулам нулевого приближения в равнинных районах получаются со средней квадратической ошибкой ±0,3— 0,5", тогда как в горах — с ошибкой ±1,0—1,4" х. Чтобы получить в горных районах такую же точность, как и в равнинных, необходимо тем или иным способом исключить из аномалий силы тяжести влияние топографических масс и все вычисления (высот квазигеоида и уклонений отвеса) производить в поле остаточных аномалий. Затем необходимо восстановить влияние исключенных масс непосредственно на высоты квазигеоида и уклонения отвеса. Таким образом, высоты квазигеоида и уклонения отвеса определяются как сумма двух слагаемых — влияния топографических масс и аномальных масс, которое вычисляется по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса.

1 По исследованиям Е. М. Орловой.

218'

Наиболее удобны для вычислений формулы, предложенные Л. П. Пел-

о о

Стоящие в квадратных скобках выражения представляют собой аномалии Фая, вычисленные методом косвенной интерполяции через аномалии в неполной топографической редукции [см. формулу (VII.29)].

Высоты квазигеоида и составляющие уклонения отвеса, вычисленные с использованием аномалий Фая, соответствуют случаю, когда топографические

тельном расположении и конденсации на поверхности Н = Щ, = сопз1, вычи-

сляются по формулам

(VIII. 118)

со

(VIII.119)

со

(VIII. 120)

чины А Ер и Ат)р в горах могут достигать нескольких секунд. Для вычисления поправок А Ер и Ду]р имеются таблицы, составленные Е. М. Орловой

Формулы (VIII. 115), (VIII.116) и (VIII.117) получили распространение при вычислении уклонений отвеса в пунктах геодезической сети СССР; точность вычислений вполне соответствует современному состоянию гравиметрической съемки в горных районах. Однако после исключения влияния топографических масс не учитываются уклонения физической поверхности Земли от поверхности Н = Щ = сопзЪ, проходящей через исследуемую точку. Иными

словами, остаточные аномалии силы тяжести, получившиеся после удаления топографических масс, без всякого изменения переносят на поверхность Н —

= Щ = сопв!. Если перенести аномалии с физической поверхности на поверх-

1 Е. М. О р л о в а . «Тр. ЦНИИГАиК». М., «Недра», 1965, вып. 157.

219'