shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Используя соотношение (VIII.141), напишем

230'

При вычислении третьего интеграла (VIII.168) воспользуемся соотноше- •ем, получаемым из (VIII. 137)

Окончательно имеем

Р') - Р' вШ Ч- [ ( 2 0 0 8 2 Р ' С 0 5 ' • + 1 п + Р - Р ' созЦ,)] + Е(р*. О.

(VIII.173)

Используя принятые обозначения, перепишем формулу (VIII.166) в виде

Величины С, Б и Е в (VIII.167), (VIII.174) и (VIII.173) появились в резуль-

тате интегрирования по р. Вид этих функций определяется из условий задачи: «скомая функция Т должна быть регулярна на бесконечности и удовлетворять

уравнению Лапласа вне поверхности 2.

При достаточно большом удалении от Земли возмущающий потенциал Т

масс Земли относительно центра эллипсоида.

Каждое слагаемое (VIII.175) в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа.

Рассмотрим, что дает формула (VIII.174) в этом случае.

231'

При достаточно большом р сравнительно с р' можно считать

не является гармонической функцией. Для того чтобы (VIII.176), а вместе с те> и (VIII.174) определяли гармоническую функцию, необходимо, чтобы плот ность V удовлетворяла условию

Сравнивая почленно (VIII.176) и (VIII.175), находим

Таким образом, выявлены все элементы формулы (VIII.174), определена функции С, И и Е, установлено условие (VIII.178), которому должна удовлетворять вспомогательная плотность V, и основная стоксова постоянная (масс Земли) выражена через плотность V.

232'

С учетом условия (VIII.178) формулу (VIII.174) можно представить так

0 1

ра <71

Подставляя в А (р, гр, р') и В (р, гр, р') значения Б (р', гр) и Е (р', гр) и труп •

жлруя интегралы с одинаковой обкладкой, получим

а

233

Приравнивая множители при к в одинаковых степенях, получаем следующие приближения для определения

2я

о

Я ? — Я^ — Двшгр- дН'

дН'

рр Л ^ - Я ? - Л 8 1 п ф Э 5

= 15Г

(VIII.186)

В этих уравнениях, как уже подчеркивалось выше, опущены члены порядка ДУ/В. Поэтому представляется логичным подобное упрощение сделать

Подставив (VIII.187) и (VIII.188) в (VIII.182), получим приближенную формулу для определения возмущающего потенциала на земной поверхности^

4лЯ о

235'

Применяя метод Молоденского, положим

(VIII. 1&-

Формулы (VIII.186) и (VIII.189) решают задачу Молоденского.

Новый метод решения задачи Молоденского предложен М. И. Марычек. Вместо составления и решения интегрального уравнения М. И. Марыч испол:— зует зависимость между разложениями аномалий силы тяжести и возмущающего потенциала в ряд Тейлора по степеням высот Н рельефа Земли, устанавливаемую формулой Стокса. При этом предположение о сходимости эпп разложений не является обязательным, если только формулы для возмущающего потенциала построены аналогично формулам Молоденского, т. е. с помощью малого параметра к.

Имеем

где К — радиус отсчетной сферы: р— радиус-вектор точки физической поверх ности Земли; Н = р — Н — высота точки физической поверхности Земле Применяя метод разложения по степеням малого параметра к (0 ^ к ^ 1 Молоденского, М. И. Марыч получил формулы для вычисления возмущающего

потенциала в следующем виде:

236

Приравнивая между собой члены обеих частей равенства, содержащие к в одинаковой степени, получаем

ш

ближение) и соответствует вычислению возмущающего потенциала на поверхности сферы. Формулы (VIII. 192) и (VIII.193) дают последовательные поправки к стоксову приближению. Для вычисления этих поправок предварительно должны быть найдены приближения радиальных производных аномалий силы тяжести и возмущающего потенциала в точках физической поверхности Земли.

Строгие формулы, определяющие нулевое, первое и более высокого порядка приближения радиальных производных аномалий силы тяжести, были получены путем разложения этих производных в ряд Тейлора по степеням параметра к, аналогичного разложению (VIII.190).

Дифференцируя граничное условие

дТ , 2Т х

по направлению радиус-вектора р, были получены производные д2Т/др2, д3Т/др3 и т. д. Представляя их в виде разложений по степеням параметра к и приравнивая между собой члены обеих частей равенств, содержащих к в одинаковой степени, получены формулы, определяющие приближения радиальных производных возмущающего потенциала.

На практике всегда приходится ограничиваться приближением некоторого порядка, обеспечивающим требуемую точность. Поэтому для вычислений приближений данного порядка возмущающего потенциала, а также радиальных производных аномалий силы тяжести целесообразно пользоваться приближенными формулами, в которых учтены лишь главные члены.

Возмущающий потенциал в нулевом приближении определяется формулой Стокса (VIII.191). В качестве приближенных формул для вычисления первого и второго приближений служат формулы

т = т0 + Т1У т = т0 + тх + т2,

237'

в которых точные приближения радиальных производных аномалий си." тяжести заменены их приближенными значениями

Здесь первые члены вычисляются по формулам Венинг-Мейнеса, причеу в аномалии силы тяжести вводится поправка за вертикальный градиент аномалии силы тяжести. Последний член в формуле для \ представляет собог поправку за искривление силовой линии нормального поля.

Следует отметить новые подходы к решению задачи Молоденского, которынаиболее удобны при использовании ЭВМ.

В теории Молоденского аномалии силы тяжести рассматриваются как результат действия простого слоя плотности (х, распределенного на физической поверхности Земли. Это обстоятельство создает определенные трудности, так как приходится иметь дело со значительными величинами: распределение плотностей слоя в горных районах весьма сложно и неустойчиво даже при спокойном поле аномалий силы тяжести, а процесс приближений сильпо за-

238'

кедляется. Трудности теории значительно уменьшатся, если из аномалий силы тяжести выделить их региональную часть и интерпретировать ее простым моем, расположенным на уровенной поверхности Ни = сопз!, принимаемой

юсферу и проходящей ниже физической поверхности.

Врезультате такого выделения на физической поверхности Земли пригодится иметь дело с остаточными аномалиями, т. е. с величинами, меньшими г :• абсолютной величине, чем сами аномалии силы тяжести.

При подборе аномалий на поверхности Ни = сопз! может быть использован и->тод Аронова — Бьерхаммара.

Соответствующие простому слою аномалии Д^ на физической поверхности 3--мли связаны с аномалиями А§и на поверхности Ни = сопз! формулой, выте-

кающей из интеграла Пуассона (11.41),

а

пе р — радиус-вектор точки физической поверхности; В — радиус поверхности Ни — сопз1; г — расстояние от исследуемой точки до текущей точки юверхности Ни = сопзЪ.

В. И. Аронов принимал значения Ади постоянными для некоторых стандартных квадратов. При таком предположении

Методом последовательных приближений В. И. Аронов подбирал систему значений Ади , наилучшим образом соответствующую значениям Ад в точках гпзической поверхности, проекциями которых на поверхность Ни = сопз! "ьляются центры стандартных квадратов Да,-.

Таким образом, система региональных аномалий Ад, определенных по *~тоду Аронова, соответствует той, которая получилась бы, если построить гравиметрическую карту по измерениям лишь в точках, использованных при

тнечетах, причем в промежуточных точках аномалии находить путем интер-

глпрования с помощью формулы (VIII.195).

В.И. Ароновым приведены вычисления как на моделях, так и в конкретном

г>рном районе. В последнем случае использованы значения аномалий, заданные для узлов квадратной сетки 2 x 2 км.

Оказалось, что величины (Ад — Ад) во всех узлах не превысили 0,3 мгл, что в два раза меньше ошибки интерполяции силы тяжести в данном районе. Т.-кпм образом, при съемке, которая имеется в данном районе, найденная система значений Ади. на поверхности Ни = сопз1. практически эквивалентна

:гстеме наблюденных значений аномалий.

Можно полагать, что если расстояние 5 между соседними гравиметрическими пунктами больше высоты Ь, физической поверхности над поверхностью

ж их можно считать исходными при любых последующих вычислениях характеристик гравитационного поля Земли,

239'