shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Высота квазигеоида С связана с возмущающим потенциалом, определяемом в точках физической поверхности Земли (VI.19). Так как возмущающий потенциал является непрерывной и однозначной функцией, то этими же свойствами обладает и высота квазигеоида. Следовательно, поверхность квазигеоида является непрерывной и определяется однозначно. Однако возмущающий потенциал Т связан с поверхностью, на которой он определяется, поэтому естественно предположить, что если его определять пе на физической поверхности Земли, а на какой-то иной поверхности, то этой, иной поверхности будет соответствовать свой квазигеоид. Ведь в принципе возмущающий потенциал является функцией высоты точки над поверхностью эллипсоида и если его определять в точках, лежащих на разных высотах, но на одной отвесной линии, то для каждой из них будет существовать своя аномалия высоты и, следовательно, разные высоты квазигеоида. Но во всех этих случаях квазигеоиды не имеют физической интерпретации.

Рис. 37

Возможен, однако, реальный случай, когда необходимо рассматривать два квазигеоида, например, при геодезических работах, проводимых в шахтах и туннелях. Высота квазигеоида для точки М физической поверхности Земли

вычисляется по формуле (VI. 19)

гтм ^ Ц0~УУр

авысота квазигеоида для точки Ь, находящейся в шахте,

Таким образом, если из нивелирования определить нормальные высоты точек М и Ь, то их разность не будет равна глубине точки Ь относительно физической поверхности Земли.

140'

В этом случае В. Ф. Еремеев предлагает определять геодезические высоты точек, находящихся внутри Земли, через высоты соответствующих точек земной поверхности. Так, например, для точки Ь (рис. 37) можно использовать соотношение

Я ь - Д Ъ + С * - - ^ - .

ческого нивелирования, сопровождаемого измерениями силы тяжести в точках нивелирного хода.

§ 33. ВОЗМУЩАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ФИГУРА ЗЕМЛИ

Проблема изучения фигуры Земли непосредственно связана с задачей определения возмущающего потенциала, поскольку составляющие уклонения отвеса и аномалии высот, вычисленные через возмущающий потенциал (формулы (VI.8) и (VI.19), позволяют получить точные геодезические координаты В, Ь и Я всех пунктов триангуляции относительно принятого уровенного эллипсоида V = Цо. _

Если В и Ь первоначально установленные геодезические координаты пунк-

~Ё-о = Хо — 'Позесфо,

где |0 и т]0 — составляющие уклонений отвеса в исходном пункте триангуляции, полученные из градусных измерений. После того, как будут вычислены через возмущающий потенциал [по формулам (VI .8)] точные значения составляющих уклонений отвеса | и т), можно получить в исходном пункте и точные геодезические координаты В0 и Ь0

В0 = В0 + 8В0;

Ь0 = Ьй + бЬ0;

бВ0 = — 20;

141'

Г л а в а VII

АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ГЕОДЕЗИИ И ГЕОФИЗИКЕ

§ 34. ПОНЯТИЕ ОБ АНОМАЛИЯХ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ. АНОМАЛИЯ В СВОБОДНОМ ВОЗДУХЕ

Аномалией силы тяжести называют разность между действительной силой тяжести (полученной из наблюдений) и ее нормальным (теоретическим) значением. Аномалия силы тяжести называется «чистой» в том случае, если значения действительной силы тяжести и нормальной отнесены к одной и той же точке, если же эти значения относятся к разным точкам пространства, аномалия называется «смешанной».

Поскольку, как правило, имеет место последняя ситуация, возникает необходимость при вычислении аномалий силы тяжести, либо в значение изме-

где §м — значение измеренной силы тяжести в точке М; у^ — значение нормальной силы тяжести в точке N (см. рис. 36); у0 — значение нормальной силы тяжести на уровенном эллипсоиде в точке М0; Ау — поправка за высоту.

На основании формул (У.32), (У.34) и (У.39) имеем

Таким образом, при вычислении аномалий в свободном воздухе в измеренное значение силы тяжести § поправки не вводятся.

Вычисленная по формулам (VII.1) и (VII.2) аномалия в свободном воздухе будет «смешанной».

Поправка Ау за высоту, вводимая в нормальное значение силы тяжести, называется редукцией в свободном воздухе. Это название связано с тем, что приведение силы тяжести в нормальном поле по формуле (У.32) предполагает отсутствие вне эллипсоида притягивающих масс (первоначально притяжением воздуха просто пренебрегали). В этом смысле редукцию в свободном воздухе было бы лучше назвать редукцией в пустоте.

143'

Аномалия в свободном воздухе может быть и «чистой» аномалией. В этом случае вместо нормальной высоты Ну при вычислении редукции Ду [формула (VII.2)] следует взять геодезическую высоту Н. Однако до последнего времени «чистые» аномалии в свободном воздухе при исследованиях фигуры Земли не применялись.

В условиях дискретной гравиметрической съемки для определения аномалий в промежуточных пунктах, где наблюдений силы тяжести не производилось, появляется необходимость в интерполировании аномалии.

Аномалии в свободном воздухе существенно зависят от рельефа местности и потому линейное интерполирование этих аномалий приводит к неудовлетворительным результатам. Поэтому обычно применяется так называемое косвенное интерполирование аномалии в свободном воздухе, используя при этом другие виды аномалий.

§ 35. ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ РЕДУКЦИИ

Основной причиной, вызывающей сложный, неправильный характер изменения аномалий в свободном воздухе, является действие притягивающих масс, находящихся между физической поверхностью Земли и уровнем моря 1 (называемых топографическими массами). Если из аномалий силы тяжести исключить влияние топографических масс, то линейное интерполирование полученных таким образом аномалий дает более удовлетворительные результаты. С необходимостью устранения возмущающего эффекта топографических масс из результатов наблюдений силы тяжести приходится встречаться и при решении различных геологических проблем, в частности при разведке полезных ископаемых, а также при изучении внутреннего строения Земли. Гравитационные аномалии можно считать обусловленными действием наружных топографических масс и аномальных масс, находящихся внутри Земли. Для геологической интерпретации результатов гравиметрических определений разделение этих двух влияний имеет важное значение. Аномалия должна быть обусловлена притяжением только тех масс, которые представляют интерес при решении данной проблемы и, следовательно, все другие влияния должны быть исключены.

Поправку за влияние притягивающих масс, заключенных между уровнем моря и физической поверхностью Земли, будем называть топографической поправкой (редукцией) или, иначе, поправкой (редукцией) за топографию. Топографическая поправка представляет собой вертикальную составляющую притяжения топографических масс и в соответствии с формулой (1.11) определяется из соотношения

(УИ.З)

т

где г — радиус-вектор от притягивающей точки до текущей элементарной массы дт\ (г, г) — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси г в притягиваемой точке (обычно ось 2 совмещается с направлением отвесной линии); х — полный объем топографических масс.

1 Уровнем моря здесь и везде далее будем считать поверхность квазигеоида. Под высотой точки земной поверхности над уровнем моря будем понимать ее нормальную высоту Ну, но в дальнейшем изложении для упрощения обозначений индекс у будет опущен.

144'

Под топографическими массами будем понимать все массы, расположенные выше уровня моря, имеющие, как правило, переменную плотность б, дополнительные массы в континентальных депрессиях ниже уровня моря, имеющие плотность, равную средней плотности земной коры б0 = 2,67 г-ему"3, и дополнительные океанические массы, имеющие плотность б" = 8' — б0, где б' = = 1,03 г-см""3 — плотность морской воды.

Следует заметить, что на море топографические редукции при использовании аномалий силы тяжести в геодезических целях для улучшения интерполяции малоэффективны, поскольку неровности дна удалены от гравиметрического пункта, расположенного на поверхности моря и обычно малоизвестны. Для решения геодезических задач достаточно удалить топографические массы, расположенные лишь выше уровня моря. Топографическая редукция может включать эффект всех топографических масс Земли и тогда она называется полной топографической редукцией. При вычислениях полной топографической редукции влияние дальних зон может быть вычислено с помощью ЭВМ, с использованием средних высот по стандартной сетке или разложения высот по сферическим функциям. Как правило, однако, влияние топографических масс учитывается только до определенного расстояния от точки наблюдения и в этом случае поправка называется неполной топографической редукцией. Выбор расстояния, в пределах которого должно быть учтено влияние топографических масс, зависит от многих обстоятельств: высоты точки наблюдения над уровнем моря, общей формы местности, величины эффекта удаленных масс и, наконец, специфики решаемой задачи.

При вычислении топографических редукций вводятся некоторые упрощения. Вместо эллипсоида рассматривается сферическая модель Земли, а при небольших радиусах учитываемого района — даже плоская модель.

Вся поверхность земного шара делится концентрическими окружностями, проведенными вокруг точки наблюдения, на зоны, которые в свою очередь радиальными лучами делятся на секторы, в которых средняя высота местности (или глубина морского дна) должна быть известна. Действительная форма топографических масс, таким образом, представляется системой призматических тел. Ближайшие к наблюдаемой точке зоны могут рассматриваться как плоские, влияние остальных зон должно производиться с учетом сферичности Земли. Примером подобного разделения поверхности Земли может служить способ деления на зоны и секторы, предложенный американским геодезистом Хейфордом. Хейфорд разбил всю поверхность Земли на 15 плоских зон, обозначенных латинскими буквами от А до О (внешний радиус последней плоской

зоны 0 2 принят равным 166,7 км) и на 18 сферических, которые обозначены номерами от 18 до 1 (1 зона — самая отдаленная). Границы каждой сферической зоны установлены таким образом, чтобы редукция при заданной высоте к в пределах сектора равнялась 0,1 мгл. Внешний радиус последней плоскости зоны Ог равен внутреннему радиусу сферической 18-й зоны. Таким образом, вся Земля без пробелов покрыта 33 зонами. Внешние радиусы зон и число секторов в каждой зоне даны в табл. 4.

Предложенное Хейфордом деление поверхности Земли на зоны и секторы до сих пор используют при вычислениях редукций, для чего составлены специальные таблицы, при помощи которых определяют влияние топографических масс всей Земли на величину силы тяжести в данной точке.

Для вычисления топографической редукции определяют притяжение топографических масс, расположенных в каждом секторе всех зон как плоских,

так и сферических, в пределах выбранного радиуса, и затем суммируют полуденные результаты.

Выведем формулу для вычисления притяжения топографических масс, принимая Землю за шар некоторого среднего радиуса Е.

(г.*)

Пусть точка А (рис. 38) — притягиваемая точка — находится на уровен-

ной поверхности потенциала силы тяжести, совпадающей со средним уровнем моря (в том случае, когда А имеет высоту над уровнем моря, отличную от нуля,

вводят поправку за высоту точки наблюдения).

Определим влияние на ускорение силы тяжести в точке А сферического

цилиндра, у которого внутреннее и внешнее сферические расстояния равны соответственно 9Х и 02, а высота (или глубина) над (под) поверхностью уровня есть Н.

146'

Считая объемную плотность б постоянной и выражая элемент объема в сферических координатах

Ах = (К ± к)2 з т Э Й0 АХ Ак,

в соответствии с формулой (VII.3) получим

точки М над сферической поверхностью уровня; 0 и А, — сферические координаты точки М.

Совместим ось г с направлением отвесной линии в точке А (рис. 39). Учитывая, что направление силы Р, с которой элементарная масса Ат, находящаяся

Отбрасывая из-за малости поправочные члены, найдем окончательно формулу для вычисления вертикальной составляющей притяжения сферического цилиндра (топографическую редукцию, обусловленную притягивающими массами, заключенными внутри данного цилиндра) в наблюдаемой точке А

Вычисление среднего значения функции Е (к, Э) величин Е представляет значительные трудности, поэтому поступают иначе. Сохраняя малые второго порядка, представим функцию Е (к, 0) в виде

Формула (VII.7) более удобна для вычисления влияния далеких притяги-

вающих масс, имеющих форму цилиндрического пояса, на величину силы тяжести в точке А, чем (VII.6). Для вычисления топографической редукции за

притяжение топографических масс, расположенных в пределах одного сектора данной зоны, следует использовать формулу

где п — число секторов в данной зоне.

При расстояниях от притягиваемой точки порядка до 200 км можно пренебречь кривизной Земли и рассматривать земную поверхность как плоскость. В этом случае формулы для вычисления топографической редукции значительно упрощаются.

На основании формулы (VI 1.3) и соотношения (VI 1.4) получим

2Я а В

ООО

где а — радиус района, Я — высота точек земной поверхности над уровнем моря. В общем случае Я = / (I, а) — будет переменной величиной.

Выберем цилиндрическую систему координат (рис. 40). Начало координат совместим с точкой А0, за ось т. примем направление отвесной линии в точке А. Тогда координатами текущей точки М, где находится элементарная масса дт, будут: I — радиус-вектор, а — полярный угол иг — высота точки М над

уровнем моря. Выразим элемент объема йх в выбранной системе координат

йх = 1й1 йа йг.

448'

отсюда

2Я а Нг (йр + Я - г)

[г2+(А0 + я - 2 ) 2 ] г / г '

О О О

В результате интегрирования по г получим

Чтобы выполнить дальнейшее интегрирование, необходимо знать вид функции Н = / (I, а) по всей учитываемой поверхности. Вид этой функции

определяется при помощи топографической карты. Вся местность, подлежащая учету, разбивается по тому или иному закону на отдельные ячейки.

кольцевых зон, а также число ячеек в каждой зоне определяются условиями местности. Очевидно, что в пределах каждой отдельно взятой ячейки найти вид функции Н = / (I, а) при помощи топографической карты значительно

проще, чем для всего учитываемого района. Размеры ячеек следует выбирать настолько малыми, чтобы внутри каждой отдельной ячейки высоту Н можно

было считать постоянной, равной средней высоте. Влияние такой ячейки с номером I на величину силы тяжести в точке А согласно (VI 1.9) будет

149'