shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Разложим ядро интеграла по степеням р. Для этого используем выражение (111.19)

ЯП+1 Рп( С081])).

Дифференцируя его по В, получим

70

Следовательно,

00 СО

п=О

Подставляя полученное значение ядра интеграла в (III.20) и интегрируя почленно, найдем

нат 0 и Я и это свойство не может измениться при интегрировании ее по переменным 0' и Я'. Поэтому члены ряда (111.22) —рп Уп (0, к) будут являться шаровыми функциями степени п.

Решим аналогичную задачу для гармонической функции Уе (р, 0, к) вне сферы радиуса В. Для этого в интеграл Пуассона (11.41) подставим значение его ядра, используя (11.44),

о

Мы имели (111.18)

п= О

после дифференцирования получим

- й г ( Т Ь 2 п ^ » < с о в * > '

п=О

следовательно,

с»

Подставляя это выражение в (111.23) и почленно интегрируя, найдем

вводя опять элемент поверхности сферы единичного радиуса и используя соотношение (111.21), получим

оо

п=О

0П+1 (11124. )

Каждая шаровая функция этого ряда имеет отрицательную степень

Следовательно, разрыв, который имеют интегралы Пуассона (11.41) и (11.42)

§ 15. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В РЯД ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ

Полученную в предыдущем разделе формулу (111.25) можно рассматривать как разложение произвольной функции / (0, X) в ряд по сферическим функциям У (называемым игреками Лапласа).

Условия, которым должна удовлетворять функция / (0, X) для того, чтобы разложение ее в бесконечный ряд сферических функций было возможно, для всех функций, с которыми приходится иметь дело на практике, обычно выполняются. Поэтому полученный результат (111.25) можно сформулировать так:

непрерывная функция двух переменных, заданная для всех точек сферы, может быть единственным образом разложена в соответствующий ей ряд сферических функций.

72

Подставив (111.29) в (111.25), найдем разложение заданной на поверхности сферы функции в бесконечный ряд сферических функций

п=о к-О

§16. КЛАССИФИКАЦИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Втеории специальных функций доказывается, что на основном интервале переменной соз 0 от —1 до + 1 полином Лежандра Рп (соз 0) имеет п неравных вещественных корней, расположенных симметрично по отношению к соз 0 = 0.

тельно полярной оси, причем четные гармоники имеют симметрию также относительно экватора, тогда как нечетные гармоники создают противоположный по знаку эффект в двух полусферах (северной и южной).

Вдоль произвольной параллели зональные гармоники в среднем не равны нулю.

Обратимся теперь к присоединенным функциям; общее выражение при-

принимают попеременно положительные и отрицательные значения (рис. 25, 26). Отметим, что вдоль меридиана гармоника сохраняет постоянный знак, но величина ее меняется с изменением широты; эти гармоники называются секториальными.

74

ственных корней, которым соответствуют п — к значений полярного расстояния 0, ими определяются га — к параллелей, которыми вся сфера делится на га — к + 1 зону, кроме того, каждый из множителей вш кХ и соз кХ обращается в нуль для 2к значений долготы X, т. е. на 2к меридианах, отстоящих друг от друга на 180°/к. Этой сеткой меридианов и параллелей вся сфера делится на сферические четырехугольники (кроме полярных областей, где образуются треугольники); в каждых двух прилежащих четырехугольниках данные

Р/,4 005 М

функции попеременно положительны и отрицательны (рис. 27, 28, 29). В пределах каждого отдельного сферического четырехугольника (1еззега) величина функции меняется и с широтой, и с долготой; эти гармоники получили наименование тессералъных.

Поскольку секториальные и тессеральные гармоники являются произведениями функций широты (полярного расстояния) на синусы и косинусы долготы и целых величин, кратных долготам, среднее значение любой из этих гармоник по произвольной параллели обращается в нуль.

Таким образом, в системе 2га + 1 основных сферических функций степени га имеется одна зональная, две секториальные и 2га — 2 тессеральные. Все они являются функциями, осциллирующими на сфере. Повышая степень сферических функций, мы как бы облекаем сферу правильной системой постепенно уменьшающихся участков, в которых происходит перемена знака сферических функций. Таким образом, задача разложения данной функции (0, X) в ряд сферических функций есть вопрос наилучшего приближения к заданной совокупности ее значений на сфере путем комбинации осциллирующих функций.

Проиллюстрируем все вышесказанное рядом примеров. На рис. 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 и 29 показан ход изменения некоторых сферических функций

76

Рис. 28 -5"

115"

и области, на которые делится ими сфера, с указанием того знака, который эти функции принимают в пределах каждой области. Так, например, на рис. 22

Следует обратить внимание, что третья зональная гармоника (см. рис. 23), как и любая зональная гармоника нечетной степени, производит противоположный эффект в северном и южном полушариях сферы, тогда как зональные гармоники четной степени (см. рис. 22 и 24) симметричны относительно экватора.

Секториальные гармоники Р22 соз 2Х (см. рис. 25) и Р4 4 соз 4Х (см. рис. 26) делят всю поверхность сферы на сферические секторы, в которых знаки поочередно меняются, первая функция делит сферу на четыре сектора, а вторая — на восемь.

Наконец, тессеральная гармоника Р41 соз X (см. рис. 27) делит сферу на два сектора и четыре зоны, функция Р42 соз 2Х на четыре сектора и три зоны (см. рис. 28) и, наконец, функция Р43 соз ЗА — на шесть секторов и две зоны (см. рис. 29).

Приведем несколько примеров на вычисление сферических функций. Прежде всего, имея значения полиномов Лежандра первой и второй степени, вычислим полиномы Лежандра третьей и четвертой степени. Для этого воспользуемся рекуррентной формулой (111.10).

78

Полагая п = 2, получим

— соз 0 = у соз3 0 — соз 6,

при п — 3 будем иметь

Р4 (соз 0) = ^ соз 0Р3 (соз 0) - - | Р2 (соз 0) = 1 соз 0 ( у соз3 0 — соз в ) —

- т ( Т с о з 2 0 - У ) = - Х с о з 4 0 - Х с ° 8 2 0 + 4 -

Продолжая этот процесс далее, можно получить полином Лежандра любой

79