shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Поскольку в соответствии со свойством ортогональности сферических, функций

| | Р 4 (8тЯ)йсо = 0Т

окончательно получаем

Зная значение нормального распределения силы тяжести [формула (У.17)], можно определить, насколько отличается от него действительное значение, полученное из наблюдений. Отклонения действительной силы тяжести от нормального значения называются аномалиями силы тяжести, играющими важнуюроль в теории фигуры Земли, разведке полезных ископаемых, геофизике. В частности, через аномалии силы тяжести выражают все элементы, характеризующие фигуру Земли и определяющие положение точек физической поверхности Земли относительно принятой фигуры относимости (уровенного эллипсоида).

§ 24. СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Между формой уровенного эллипсоида вращения (характеризуемой сжатием а), угловой скоростью его вращения со и значениями силы тяжести на полюсе ур и экваторе уе существует строгая математическая зависимость, установленная итальянским ученым Пицетти. Формула Пицетти имеет вид

где ё — ]/а2—Ь2/Ъ — второй эксцентриситет эллипсоида. Представив агс1# ё рядом

и удерживая при последующих преобразованиях малые второго порядка» найдем

120'

•окончательно получим

•Это есть вторая формула Клеро с точностью до величин второго порядка. Формула (У.23) вместе с формулами (У.17) и (У.18) составляют теорему

Клеро с точностью до величин второго порядка малости. Впервые соотношения подобного типа были получены французским ученым Клеро, исходя из некоторых предположений о внутреннем строении Земли, и лишь с точностью до малых первого порядка.

Для определения параметра д необходимо знать три величины: а, а и уе. Угловая скорость вращения м определяется из астрономических наблюдений по формуле

(У.24)

где Т — сидерический период обращения планеты вокруг своей оси, выраженный в секундах среднего времени. Для Земли угловая скорость вращения известна с очень высокой степенью точности:

ю = 7,2921151467.10"5 рад/с.

Большая полуось а эллипсоида определяется, как правило, из совместной обработки спутниковых и астрономо-геодезических данных, экваториальная постоянная уе — из наблюдений силы тяжести. Но, как показывает анализ формулы (У.22), значения а и уе мало влияют на точность определения д, поскольку этот параметр является величиной первого порядка малости. Поэтому при вычислении параметра д можно принимать приближенные значения а и уе (обеспечить в них четыре значащих цифры). Для Земли параметр д можно

считать величиной известной

д — 0,003468.

Формула (У.23) связывает сжатие эллипсоида а с коэффициентом Р нормальной формулы (У.17). Используя эту зависимость, можно, задавшись значением сжатия а, вычислить соответствующий этому значению коэффициент нормальной формулы р, и, наоборот, определив коэффициент р, вычислить соответствующее значение сжатия а. Для геодезии вторая формула Клеро (У.23) представляет большой интерес, так как позволяет определить сжатие а эллипсоида

Однако для этого, как уже говорилось выше, коэффициент р должен быть предварительно определен. Для определения коэффициента р используют наблюдения силы тяжести, которые производят как на суше, так и на поверхности океанов и морей. Естественно, что сжатие а, полученное по результатам гравиметрических определений, лучше характеризует фигуру Земли в целом, чем сжатие, выводимое по результатам градусных измерений, покрывающих лишь материковую часть Земли, т. е. примерно х/з всей ее поверхности. В дальнейшем будет показано, что наиболее быстро и точно сжатие определяется из анализа вековых возмущений орбит ИСЗ.

Ш'

Приведем без выводов наиболее важные соотношения между параметрами уровенного эллипсоида вращения.

Значение нормального потенциала 170 на поверхности уровенного эллип-

Для определения разности (С—А) главных моментов инерции эллипсоида вращения применяется формула

в какой-либо точке уровенной поверхности нормального потенциала, проходящей выше или ниже отсчетной поверхности II = 110.

Высоты точек над поверхностью уровенного эллипсоида, отложенные по нормали к его поверхности, называются геодезическими высотами. Допустим, что требуется вычислить значение нормальной силы тяжести в точке, геодезическая высота Н которой известна. Считая, что высота Н по сравнению с большой полуосью эллипсоида является малой величиной порядка квадрата сжатия, можно воспользоваться разложением величины у в ряд Тейлора по аргументу Н, ограничиваясь первыми членами разложения

где п — направление внешней нормали. Введя обозначения

Т - & - * . <у-31>

получим

Ввиду малости коэффициента Кг вторым поправочным членом в больший^ стве случаев можно пренебречь.

122

Величина йу/йп называется вертикальным градиентом нормальной силы

тяжести, она характеризует изменение нормальной силы тяжести по высоте. Вычислим величину вертикального градиента йу/йп в точке, находящейся на самом эллипсоиде. Для этого следует применить формулу (ГУ.17) к случаю

нормального поля. Расположим оси координат следующим образом: ось г совместим с направлением нормальной силы тяжести (с направлением внутренней нормали к эллипсоиду), ось х направим по касательной к меридиану на север, а ось у по касательной к параллели на восток. В таком случае р* и р^

следует рассматривать в качестве радиусов кривизны меридиана М и первого вертикала N эллипсоида. Согласно обозначениям, принятым в высшей геодезии,

р х = м = а ( 1 ~ е 2 ) ,

где е — эксцентриситет эллипсоида. После этого формулу (ГУ.17) можно напи-

сать в виде

7о = 7 е [ 1 + ( 4 ? - а ) з 1 п 2 5 ] -

Или, после подстановки з т 2 В = (1—соз 223)/2, в более удобной форме

Ч4-тв+тОсоз 2В

123'

Подставив численные значения величин, входящих в полученное выражение, получим

Отличие этого приближенного значения вертикального градиента от значения, даваемого формулой (У.34), максимально может составить 0,00025 мгл/м, что даст ошибку при вычислении 7 на высоте Н = 1 км около 0,25 мгл.

Поэтому в большинстве случаев можно положить

где Н должно быть выражено в метрах.

Формулу (У.35) можно получить более простым путем. Пренебрегая малыми первого порядка, приравняем нормальную силу тяжести силе притяжения шара на его поверхности. Тогда в соответствии с (1.55)

Для высоты, выраженной в километрах, и поправки к2Н2 в миллигалах к2=0,0723.

124'

§ 26. КРИВИЗНА СИЛОВОЙ ЛИНИИ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Определим модуль вектора кривизны силовой линии нормального поля через горизонтальные градиенты нормальной силы тяжести. В соответствии с 1У.13

Дифференцируя (У.17) (членом второго порядка, содержащим р1 можно пренебречь) по В и по Ь, получим

(У.41)

п затем

уйМ з т 2 В,

или, пренебрегая малыми второго порядка,

(У.42)

где Я — средний радиус Земли.

Отсюда следует, что кривизна силовой линии нормального поля изме* няется только с изменением широты. Следовательно, силовая линия — плоская кривая, лежащая в плоскости меридиана. На рис. 32 силовая линия изображена дугой

практически не отличается от отрезка нормали к уровенному эллипсоиду, т. е.

Семейства уровенных поверхностей и силовых линий нормального потенциала можно использовать в качестве координатных плоскостей и линий,

125'

полностью определяющих положение любой точки земной поверхности в пространстве.

Уравнение семейства уровенных поверхностей нормального потенциала имеет вид II = сопзЪ. Поскольку одна из постоянных V0 известна (У.28), то

вой линии в точке А с плоскостью экватора (см. рис. 32). Будем называть этот угол нормальной широтой. Величины IIА—/70, Вп и Ь полностью определяют положение точки в пространстве и могут рассматриваться в качестве координат.

Однако в геодезии превышение точек над отсчетной поверхностью принято определять не через разность нормальных потенциалов 11А—Г/0, а с помощью геодезических высот. Покажем, что эти величины непосредственно связаны друг с другом и что, зная разность I]А-~Т]0, можно определить геодезическую высоту и, наоборот (при условии, что широта Вп известна). Однако, строго

говоря, через разность потенциалов Х] А — определяется не геодезическая высота Н, а отрезок силовой линии нормального поля Нп = АА0 (см. рис. 32).

На основании (1.41) имеем

где ут — значение нормальной силы тяжести в точке, находящейся в середине

Докажем, что в полученном соотношении отрезок силовой линии Нп может быть практически с пренебрегаемой погрешностью заменен геодезической высотой Н. Из рассмотрения рис. 32 следует, что разность Вп—В0 нормальных широт точек А и А0 равна углу между касательными к силовой линии в этих точках. Если считать, что силовая линия на отрезке АА0 имеет постоянный радиус кривизны (СА = СА0 = р), то угол между касательными будет равен углу между радиусами, проведенными из центра кривизны С силовой линии в точки А и А0.

Тогда Нт как дуга окружности радиуса р, определится из соотношения

•а отрезок Н из прямоугольного треугольника СБА

(Ва-В0).

ш

§ 28. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Из семи параметров а, а, /М, со, II0, уе, (3, определяющих нормальный

потенциал Земли, независимыми являются только четыре параметра, так как

отличаются друг от друга не только размерами и формой, но и способом ориентирования в теле Земли. Общий земной эллипсоид ориентируется таким образом, что его центр масс совмещается с центром масс Земли, а малая ось совпадает

в точке О (рис. 33). Положим, что координаты центра масс эллипсоида относительно центра масс Земли будут х, у, г. Вычислим центробежные потенциалы Земли и референц-эллипсоида в текущей точке М

"Поскольку

х' = х-\-х

У'=У + У,

•128

разности центробежных потенциалов можно представить

^Э - С/э = " I 1 [2 {XX + уу) + (X2 + У%

Положим, что расстояние между центрами масс О ж О' будет Д« — величина второго порядка малости. Пренебрегая квадратами этой величины и полагая х = у — А в, можно приближенно представить разность потенциалов на

экваторе

венно, принять за параметры, определяющие нормальное поле его большую полуось а и сжатие а. Коэффициент р в этом случае будет определяться через

принятое сжатие а по формуле (У.23).

Третьим независимым параметром является угловая скорость ю, которая всегда принимается равной угловой скорости вращения Земли.

В качестве четвертого независимого параметра необходимо взять одну из величин: /М, уе, II0, например экваториальную постоянную уе. В этом случае величины / М и 170 должны вычислять по формулам (У.27) и (У.28). Если же

за четвертый независимый параметр принимается величина /М, которая может быть найдена по результатам наблюдений за движением искусственных спутников, то тогда зависящие от нее величины II0 и уе определяются формулами (У.26) и (У.27).

Параметры уровенного эллипсоида практически нетрудно подобрать такими, чтобы потенциал силы тяжести II0 на его поверхности был достаточно близок к потенциалу Земли на уровне моря Ш0 (близко настолько, чтобы отношение (170—И/0)/1Ф70 было порядка 2—3 X Ю- 5 ). Если бы было точно известно значение И/0, тогда можно было бы изменить на известную величину либо массу, либо полуось уровенного эллипсоида с целью получить потенциал на его поверхности, равный

Но как заметил О. М. Остач [4], можно принять II0 = IV0 и в том случае, если значение IVп неизвестно, благодаря тому, что аномалии силы тяжести в очень слабой степени зависят от параметра 170. В самом деле, переход от уровенного эллипсоида 170 =/= IV0 к уровенному эллипсоиду 170 == осуществляется путем изменения большой полуоси а на величину Аа, нормальные же формулы силы тяжести для двух эллипсоидов с полуосями а и а -+- Да совпадают с очень высокой степенью, если значение уе у них одно и то же.

Действительно, в этом случае сжатие первого эллипсоида будет отличаться 1т сжатия второго на величину