shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Г л а ва I ПОТЕНЦИАЛЫ ТЯГОТЕНИЯ

§ 1. СИЛОВОЕ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Полем некоторой величины называется область, каждой точке которой отнесено определенное значение этой величины, причем обычно это значение изменяется от точки к точке непрерывно. Поле может быть стационарным (установившимся), если в каждой точке пространства оно не меняется с течением времени, или нестационарным (неустановившимся), если такое изменение имеет место.

Поле может быть скалярным или векторным в зависимости от характера исследуемой величины. В качестве примера скалярного поля можно привести поле температур или поле плотностей. Характерными физическими примерами векторных полей являются поле скоростей, поле электрической напряженности, поле сил и т. д. В зависимости от характера действующей силы различают поля:

электростатические, магнитные, тяготения и др.

Знание свойств силового поля тяготения является необходимым для решения многих вопросов астрономии и геофизики, в частности для определения формы космических тел.

Как известно, тяготение (или притяжение) является неотъемлемым свойством материи. Закон взаимодействия между отдельными материальными частицами был установлен Ньютоном и получил наименование закона всемирного

«частицей» здесь подразумеваются тела, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними, т. е. так называемые материальные

Коэффициент пропорциональности / называется гравитационной постоянной, численная величина которой не зависит ни от физических, ни от химических свойств масс т и т', ни от величины и направления скорости их движений (при условии, что величины скоростей не приближаются к скорости света), ни от свойств и степени заполнения среды, разделяющей эти массы. Значение этой постоянной определяется только выбранными единицами массы, длины и времени.

11

из лабораторных измерений силы притяжения между двумя известными массами с помощью крутильных весов.

При вычислении орбит небесных тел (например, спутников) относительно Земли используется геоцентрическая гравитационная постоянная, равная произведению гравитационной постоянной на массу Земли (включая ее атмосферу)

пространения взаимодействий. Однако опыт показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Поэтому и классическая механика, исходящая из представлений о мгновенности распространения взаимодействий, заключает в себе некоторую неточность.

Влияние конечности скорости распространения взаимодействий на движение учитывается релятивистской механикой, основанной на принципе отно-

Поэтому в дальнейшем мы будем исходить из положения классической или ньютоновской механики и не учитывать поправок, вытекающих из принципа относительности Эйнштейна.

Определение силы взаимного притяжения двух тел, находящихся на расстоянии, сравнимом с их размерами, является чрезвычайно трудной задачей. Любые две точки, находящиеся внутри этих тел, притягивают друг друга согласно закону Ньютона, но сила взаимного притяжения самих тел определяется значительно более сложным образом. Величина этой силы и ее направле-

ничную массу, помещенную в эту точку. Поскольку сила в этом случае численно

произвольной точке пространства можно найти ускорение Р (величина ускорения определяется формулой (1.1), положив в ней тп' = 1).

Ускорение Р является вектором, имеющим величину Р и направление.

12

Обычный способ представления вектора в прямоугольных координатах с . стоит в использовании трех единичных векторов г, ] и к, которые направлены злоль осей х, у ж г соответственно (рис. 1)

Р^Р~1+Ру] + Ргк,

где Рх, Ру и Рг суть проекции величины ускорения Р на оси координат, зелпчина ускорения Р вычисляется по формуле

а направление вектора Р определяется направляющими косинусами

вольной точке пространства Р будет известно ускорение, определяемое вели-

13

(г, 0 = 1 8 0 ° - ( Р , I).

Получим проекции величины ускорения на оси координат

Рх=Рсо5(Р, х)

Р(х,у,г)

ПодставляяТв^выражения (1.6) значение Р из (1.4) и значения косинусов углов из2(1.7), получим

14

В случае силового поля нескольких отдельных точек, для каждой из них могут быть написаны выражения (1.8). Компоненты ускорения по осям коорди-

Рассмотрим теперь случай силового поля материального тела произвольной формы. Обозначим через (1пг элементарную массу, которую будем рассматривать как точечную. На основании выражений (1.8) компоненты элементарной

Рис. 3

силы, с которой элементарная масса дт притягивает точечную массу т! = 1, будут равны

Интегрируя по объему тела т, получим составляющие силы притяжения Т7 для материального тела

Под г здесь понимается расстояние от любой текущей точки М (текущая точка берется там, где имеются притягивающие массы: либо внутри данного тела, либо на его поверхности) до притягиваемой точки Р и является переменной величиной. Интегрирование производится по объему т (по координатам текущей точкп М — т) и координаты притягиваемой точки Р — х, у, т, рассматриваются как параметры.

15

Если известно направление, по которому данное тело притягивает точку Р , то, естественно, в таком случае одну из координатных осей, например ось 2, совместить с направлением действующей силы Р. Тогда проекции силы Р, на оси х и у будут равны нулю, а

т

В заключение рассмотрим силовое поле, создаваемое массами, распределенными в виде бесконечно тонкого слоя на некоторой поверхности ст. Аналогично предыдущему можно доказать, что

§ 2. ПОНЯТИЕ О ПОТЕНЦИАЛЕ. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПОТЕНЦИАЛОВ СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ

Формулы (1.8), (1.9) и (1.10), служащие для вычисления проекций силы притяжения на оси координат, однотипны и могут быть получены как частные производные одной скалярной функции, получившей название потенциала. Введение этого понятия значительно облегчает изучение силовых полей тяготения, так как вместо изучения трех функций независимых переменных х, у и 2\ Рх, Ру, Рг можно ограничиться изучением только одной функции — потенциала.

Потенциалом называется функция, частные производные которой по осям координат равны проекциям действующей силы на соответствующие оси.

Если Рх, Ру и Рг — проекции силы тяготения на оси координат, то потенциал (потенциальная функция) этой силы, согласно определению, должен удовлетворять следующим условиям:

Учитывая эти связи между потенциалом V и составляющими силы тяготения, можно сказать, что потенциал полностью характеризует силовое поле. Найти же составляющие притяжения по формулам (1.14) значительно проще, чем по формулам (1.10).

16

где г — расстояние между элементарной массой и точкой Р.

Проинтегрировав по объему т, занимаемому притягивающей массой, полу-

Для проверки покажем, что производные от полученной функции V (х, у, г) будут равны проекциям силы притяжения на оси координат. Поскольку ин-

д

- е - м Н ' Д Д " * " " * .

дх

и аналогично для производных по двум другим координатам. Таким образом, убеждаемся, что и в данном случае удовлетворяются условия (1.14), т. е. что функция V (х, у, г) действительно является потенциальной.

Для определения потенциала какого-либо тела требуется знать точную форму поверхности, ограничивающей данное тело (поскольку пределы интегрирования зависят от формы притягивающего тела), и плотность в каждой точке как внутри тела, так и на его поверхности.

Рассмотрим еще два вида потенциалов силы тяготения: потенциал простого слоя и потенциал двойного слоя. Простым слоем называются массы, распределенные на некоторой поверхности а в виде бесконечно тонкого слоя, иначе говоря, массы, сконденсированные на этой поверхности.

Понятие простого слоя имеет реальное значение в электростатике, где заряды леяеат бесконечно тонким слоем на поверхности кондуктора, причем на единицу поверхности приходится количество электричества (х.

Понятие двойного слоя обязано своим происхождением учению о магнетизме, поскольку элементарный магнит является не точечной массой, а так называемым диполем, т. е. бесконечно малой иглой, на концах которой сосредоточены равные по величине положительное и отрицательное количества магнетизма.

В теории фигуры Земли потенциал простого слоя, как и потенциал двойного слоя, имеет важное значение, поскольку потенциал объемных масс вне

18

тела может быть представлен либо в виде одного из этих потенциалов, либо в виде определенной комбинации потенциалов простого и двойного слоев, распределенных на поверхности тела.

Эта замена приводит к значительным упрощениям, так как в этом случае интегрирование будет производиться не по объему, а по поверхности.

Для вывода формулы потенциала простого слоя поступим следующим образом. Допустим, что в объеме х, заключенном между двумя очень близкими

где интегрирование распространяется на весь объем т, а под г понимается рас-

Рис. 4

Если к — расстояние по нормали между поверхностями а и а' достаточно мало, то с точностью до малых высших порядков элементарный объем йх можно представить как

к -*• 0, но при этом приближении будем оставлять неизменной массу йт внутри каждого элементарного объема йх. Поставим условие, чтобы

19