shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Глава VI ВОЗМУЩАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ

§ 29. СВОЙСТВА ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

Возмущающим потенциалом Т Земли принято называть разность между

действительным И7 и нормальным II потенциалами Земли

Поскольку выше было установлено, что различием центробежных потенциалов Земли и уровенного эллипсоида можно пренебречь, найдем, что Т пред-

ставляет разность потенциалов тяготения Земли и уровенного эллипсоида

Возмущающий потенциал Т обладает всеми свойствами потенциалов тяго-

тения; его первые производные непрерывны во всем пространстве, во всем внешнем пространстве возмущающий потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

ДГ = 0,

и на бесконечности является функцией регулярной.

Эти свойства возмущающего потенциала Земли позволяют для его определения во внешнем пространстве использовать метод краевых задач с тем или иным краевым условием, заданным на земной поверхности. Однако необходимо отметить одно принципиальное затруднение, возникающее при решении, этой задачи, а именно, поверхность, на которой задается граничное условие, должна быть известной. В нашем случае граничное условие удовлетворяется на поверхности Земли, которая сама подлежит определению. Поэтому приходится граничное условие, которому возмущающий потенциал Т удовлетворяет

в точках физической поверхности Земли, относить к той или иной известной поверхности и задачу решать методом приближений.

Получим разложение возмущающего потенциала Т в ряд по шаровым функциям. Для V3 согласно (1У.31) получим

где М0 — масса уровенного эллипсоида; Р°п — коэффициенты при полиномах Лежандра Рп (соз 0).

Ряд (VI.3) не содержит присоединенных сферических функций потому, что эллипсоид является телом вращения и его потенциал не зависит от долготы. Поскольку центр масс эллипсоида совмещен с его геометрическим центром, в разложении (VI.3) будет также отсутствовать сферическая функция первой степени.

Согласно (VI.2), вычитая почленно (VI.3) из (IV.31), получим для возму-

Если же потенциал тяготения Земли представить в форме (1У.ЗЗ), то разложение потенциала V3 будет

у°{р, е, 1)=^[1+ё20(-^-)гр2(созе)-!-740(-^)4р4(созе)+...]

т. е. потенциал V3 представлен с учетом сферической функции нулевого по-

рядка и зональных гармоник второго и четвертого порядка, то уровенная поверхность нормального потенциала при р = а не будет являться эллипсоидом

вращения. Это будет поверхность, близкая к сфере, которую принято называть сфероидом. Сфероид может быть определен как простейшая из поверхностей, отклонение которой от сферы характеризуется зональной гармоникой второго порядка. В этом случае при вычислении возмущающего потенциала по формуле (У1.4*) следует положить с20 = с20—с20, с40 = с40—с40, сп0 = сп0 (при п > 4), спк = спк (при любых значениях п).

132

Если бы некоторые стоксовы постоянные Земли были бы достаточно точно известны, то при выборе нормального потенциала можно было бы поставить условие, чтобы соответствующие стоксовы постоянные Земли и эллипсоида, стоящие в качестве коэффициентов при сферических функциях 2%, (0, X) и 7,п (9), были бы в точности равны. Например, можно было бы поставить условие, чтобы масса эллипсоида равнялась массе Земли (М0 = М), чтобы центр эллип-

соида совпадал с центром масс Земли (х0 = у0 = г0 = 0) и т. д. Тогда в разложении (VI.4) соответствующие сферические функции отсутствовали бы.

В общем случае возмущающий потенциал содержит сферические функции всех степеней.

§30. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВОЗМУЩАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

ИСОСТАВЛЯЮЩИМИ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

Вследствие отличия действительного гравитационного поля Земли от

где ф — астрономическая широта точки М\ В — геодезическая широта точки М: АХ — угол между астрономическим и геодезическим меридианами точки М.

Так как астрономические и геодезические долготы отсчитываются от одного начального меридиана, то

АХ^Х — Ь.

133'

Угол (п, у) между направлением нормали к эллипсоиду п и направлением нормальной силы тяжести у равен разности между нормальной и геодезической

широтой и согласно (У.47)

На сфере он измеряется дугой 2Х2Г = ДВ.

Угол (у, §) между направлением нормальной силы тяжести у и направле-

нием отвесной линии в точке М {$) называется уклонением отвесной линии. На сфере он измеряется дугой 212а = и. Для полной характеристики уклонения отвеса необходимо знать, кроме его абсолютной величины и, азимут плос-

кости, в которой расположен этот угол. Однако удобнее уклонение отвесь определять его проекциями на плоскости меридиана и первого вертикал г

31П Г] = 81П (X — Ь) С08 ф.

Определим зависимость между возмущающим потенциалом и составляющими уклонения отвеса. Примем точку М за начало прямоугольной системы координат, ось г совместим с направлением нормальной силы тяжести у, ось направим по касательной к меридиану на север, а ось у — на восток (рис. 35). Спроектируем угол между направлениями § и у на плоскости меридиана и пер-

вого вертикала. В соответствии с формулами (VI.5) установим правило знаков для составляющих ^ и т]; если астрономический зенит отклоняется от геодезического на северо-восток, то составляющие уклонения отвеса считаются положительными, если на юго-запад, то — отрицательными.

На рис. 35 астрономический зенит отклоняется к юго-западу, а потому

где ввиду малости углов | и г] тангенсы заменены самими углами. Составляющие силы тяжести связаны с потенциалом Ш соотношениями

« . - Т Г - Яду- С + П

134'

Поскольку плоскость ху перпендикулярна к направлению нормальной

силы тяжести, проекции нормальной силы тяжести на эти оси будут, очевидно,

Здесь с пренебрегаемой погрешностью составляющая §г заменена через у. Считая, что М + Н ^ N + Н К + Я = р, получим дифференциалы дуг

меридиана и параллели

получим окончательные формулы, связывающие возмущающий потенциал Земли и составляющие уклонения отвеса.

§ 31. НОРМАЛЬНЫЕ ВЫСОТЫ, АНОМАЛИИ ВЫСОТ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВОЗМУЩАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ И АНОМАЛИЕЙ ВЫСОТЫ

Геодезическая высота точки М земной поверхности может быть определена

через разность нормальных потенциалов 110 —йм (У.43). Однако в результате измерений определяется разность действительных потенциалов между значением потенциала силы тяжести в исходном пункте нивелирования Ш0 и значе-

135'

и геодезическая высота точки М на основании (У.45) определялась бы из соотношения

Но реальное гравитационное поле Земли отличается от нормального и вычисленная по этой формуле высота точки М не будет равна геодезической, т. е. в действительности имеет место неравенство

м

Нм Ф Ут

Вычисленную по формуле (VI.9) высоту можно рассматривать в качестве

приближенного значения геодезической высоты. Она получила название нормальной высоты Ну. Таким образом, имеем

Нормальная высота точки М определяет положение некоторой точки И, находящейся по нормали к эллипсоиду, проведенной из точки М, и удовлетворяющей условию

Чтобы вычислить высоту точки N (рис. 36) над эллипсоидом, представим

разности потенциалов в виде

— |N ум-,

М,-

м

Поставим полученные значения в (VI.И)

Введем в интеграл слева вместо переменной величины 7 ее среднее значение ут на отрезке М

м, м*

136'

Обычно ее преобразуют, выделяя главную часть и ряд небольших поправок.

Таким образом, полученная в результате измерений, производимых на •физической поверхности Земли, разность потенциалов Ш0—Ц7Ш позволяет определить только составляющую геодезической высоты точки М, а именно —

нормальную высоту, очень близкую к сумме измеренных превышений.

второй составляющей геодезической высоты. Очевидно, что аномалии высот, как и уклонения отвеса, характеризуют отступления гравитационного поля Земли от нормального. Приведем вывод формулы, устанавливающей связь

137'

В соответствии с (VI. 1) представим возмущающий потенциал Тм в точке М физической поверхности Земли в виде

Аномалии высот и нормальные высоты находятся в строгом соответствии друг с другом: их сумма дает значение геодезической высоты точки М. На основании вышеизложенного получим м

138'

§ 32. КВАЗИГЕОИД

Рассмотрим вспомогательную поверхность, введенную М. С. Молоденским, которая получила название квазигеоида. Представим себе, что от точки М0

которую точку К, координаты которой В, Ь и ^ (см. рис. 36). Если этот процесс продолжить для каждой точки физической поверхности Земли, то в результате получим множество точек К, совокупность которых и образует поверхность о', названную Молоденским квазигеоидом. Высоты квазигеоида над эллипсоидом будут равны аномалиям высот, определенным в точках физической поверхности Земли. Высоты точек М над поверхностью а' квазигеоида совпадают с нормальными высотами.

Следовательно, нормальную высоту можно определить как высоту точки физической поверхности Земли над поверхностью квазигеоида.

На океанах нормальные высоты равны нулю и потому геодезическая вы-

эти две поверхности незначительно отличаются друг от друга. Так, по исследованиям В. Ф. Еремеева, в равнинных районах отступления квазигеоида от геоида по высоте составляют величину нескольких сантиметров и только в горах могут достигать величины около 2 м. Поэтому практически поверхность квазигеоида может рассматриваться в качестве «уровня моря», относительно которой даются высоты на топографических картах.

Поверхность квазигеоида имеет сложную форму, отражающую сложный характер гравитационного поля Земли. Поскольку высоты квазигеоида С,' могут быть как положительными, так и отрицательными, поверхность квазигеоида может и подниматься, и опускаться относительно уровенного эллипсоида, т. е. эта поверхность образует волны различной протяженности и амплитуды.

Чтобы убедиться в этом, представим величину I, в виде разложения по шаровым функциям. Подставив (VI.4) в (VI.21), получим

Таким образом, величину поднятия или опускания квазигеоида в произвольной точке можно представить суммой бесконечного числа гармоник.

Но каждая гармоника имеет свою амплитуду колебаний и отражает колебательные процессы лишь в соответствии с заданной для нее функциональной зависимостью от координат 0 и Я. Поэтому характер волн, представляемых различными гармониками, неодинаков. Так, например, зональные гармоники четной степени дают волны, расположенные симметрично относительно экватора (см. рис. 22, 24), тогда как зональные гармоники нечетной степени (см. гнс. 23) характеризуют противоположный эффект в северном и южном полушариях сферы. В свою очередь, секториальные (см. рис. 25, 26) и тессеральные см. рис. 27, 28, 29) гармоники представляют колебания, являющиеся функциями не только широты, но и долготы.

Естественно, что сумма различных гармоник в (VI.23) дает очень сложный закон, которому подчиняются изменения величины I,.

139'