shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

ность Н = 1Ц = сопвЪ и учесть их вертикальный градиент, то выражения

(VIII.115), (УШ.116) и (VIII.117) будут более точными.

Л. П. Пеллинен вывел формулы, которые с точностью порядка [(^ — у)Н\ /

позволяют получить тождественный результат с тем, как если бы при вычислении в поле полных топографических аномалий применять формулы М. С. М-:- лоденского в первом приближении. Формулы Л. П. Пеллинена имеют виг

* : = - 4 огоИ ~ у ) н - т - р - + 2 я / б я т + ® с о 8 ( у п т - 1 2 2

(VIII.122) и (VIII.123) удобнее, нежели те, в которых используются поправки 6^1. При получении члена 8§" не требуется обращаться к карте высот физической поверхности Земли, достаточно знать лишь высоты этих точек; отпадает необходимость в вычислении поправки за наклон в уклонение отвеса.

§ 49. УРАВНЕНИЯ ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИИ

Высоты квазигеоида С и составляющие & и г) уклонений отвеса относительно принятого референц-эллипсоида вычисляют по формулам (VIII.90) и (VIII.91), которые содержат четыре постоянные величины: 1У0 — 170, х0,

Ув) На-

значит, может быть поставлена обратная задача: определить эти четыре постоянные в пунктах, в которых из наблюдений получены \ и т). Градусные измерения совместно с гравиметрической съемкой позволяют решить эту задачу. В астрономических пунктах высоты квазигеоида I, определяются методами астрономического или астрономо-гравиметрического нивелирования, а составляющие уклонений отвеса вычисляются по формулам (VI.5)

Т] = (А,— Ц созВ.

Высоты квазигеоида и составляющие уклонения отвеса, вычисленные через аномалии силы тяжести по формулам первого приближения (см. § 48), обозначим: I,, г).

220'

Уравнения (VIII.125) можно составить для всех пунктов градусных изме-

рений, в которых известны разности ^ — При достаточном диапазоне изменения широт и долгот все четыре неизве-

стные определяются из решения по способу наименьших квадратов. Условия

Дифференцируя (VIII. 124) по долготе Ь, получим условие для определения неизвестных по разностям составляющей уклонения отвеса в первом вертикале.

221

мул, полученных М. С. Молоденским, заставляют искать новые способы определения возмущающего потенциала Земли. При этом наметилось два направления: одни исследователи пытаются дать точное решение этой проблемы, другие — приближенное, сколь угодно близкое к точному.

Точные способы решения задачи Молоденского характеризуются следующими основными особенностями: 1) граничные значения предполагаются заданными непрерывной функцией на физической поверхности Земли; 2) решение представляется в виде разложения различных выражений для возмущающего потенциала по малому параметру.

М. С. Молоденский при составлении интегрального уравнения представил возмущающий потенциал Земли Т в виде потенциала простого слоя (УТИ.бЗ).

Это — не единственный способ представления возмущающего потенциала. Можно, например, представить Т в виде потенциала двойного слоя или в виде

линейной комбинации потенциалов простого и двойного слоев, подобрав соответствующее соотношение между их плотностями.

Для поисков новых интегральных уравнений, решающих поставленную краевую задачу, можно использовать более простые краевые задачи, чем данная, а именно краевые задачи с условиями на границе

= А;

где II ж V — вспомогательные, гармонические вне поверхности Е функции. В. В. Бровар показал, что решение краевых задач можно свести к решению одного интегрального уравнения для определения плотности простого слоя 11. Если искать решение внешней задачи Дирихле в виде производной потен-

•222

то для определения (х используется краевое условие, которому на поверхности Е должна удовлетворять функция II

Найдем решение внешней краевой задачи с условием на границе

Формулы (VIII.132) и (VIII.131) решают поставленную задачу. Отметим, что интегральное уравнение (VIII.132) совпадает с уравнением (VIII.129).

Пусть, наконец, нужно решить внешнюю краевую задачу с условием на границе

где Т (р, В, Ь) — искомое решение задачи.

Положим, что функция Т связана с функцией II (VIII.128) условием

Подставив в краевое условие уравнение (VIII.133), получим интегральноеуравнение для [1

Для определения функции Т (р, Ва Ь) воспользуемся формулой (VIII.134)

1

д

дР

223'

Первое слагаемое правой части представляет собой потенциал простого слоя с плотностью (1/4я) р.'; второе — произведение р на производную потенциала простого слоя с плотностью (1/2:гс) (х'. Оба слоя распределены по поверхности 2. Функция V (р, В, Ь) является гармонической во внешнем пространстве

ирегулярной на бесконечности.

Всоответствии со свойствами производной от потенциала простого слоя [см. формулу (1.85)] второе слагаемое на поверхности 2 терпит разрыв, вели-

чина которого будет равна

224'

Эта функция гармоническая, регулярная на бесконечности и на поверхности 2 в соответствии с (VIII. 10) принимает значение

V (Ро, В, П) = -р0 б?0 .

Подставляя последнее равенство в (VIII.143), получим интегральное уравнение для определения [х'

Внутренний интеграл в формуле (VIII.147) можно представить

При вычислении второго интеграла применим формулу иптегрированн* по частям

| и йи = ил) — | V Ли,

Функция (VIII.152) при р' = К совпадает с обычной обобщенной функппе> Стокса.

226'

Сравнивая (VIII.151) с (VIII.152), найдем

Чтобы решение было возможно, необходимо исключить негармонические члены в выражении для возмущающего потенциала, т. е. удовлетворить условие

- З у ^ ц ' р ' с о з г Н ^ О

2

•ли

|ц'р'созг|)й2=0. (VIII.153)

2

Следовательно, в формуле (VIII. 149) сферические функции первой степени будут отсутствовать.

Поэтому окончательно

Элемент массы слоя

р/ йЕ = (г д,а

• основные формулы (VIII.146), (VIII.153) и (VIII.154) в этом случае примут вид

Применяя метод Молоденского, Бровар получил соотношения для определения величин (х и Т

о

1 С Г — Ну

а

Эти выражения проще аналогичных формул Молоденского, поскольку интегральное уравнение решается при помощи одних лишь функций р„, тогд; как в решении Молоденского приходится вычислять две функции 8@„ и х- В. В. Броваром рассмотрен также случай, когда возмущающий потенциал представляется суммой интегралов с ядрами Е и ЛЕ/йп'. Здесь п' — внешняя нормаль к поверхности 2 в текущей точке, а Е — фундаментальная гармони-

ческая функция, имеющая вид

228'

После некоторых преобразований получим

О, сгг

'рНМ, что

~е Т — возмущающий потенциал Земли, удовлетворяющий на земной поверх-

ности 2 краевому условию (VII 1.62).

Поскольку во внешнем пространстве функция II определяется по формуле VIII. 164), получим

Введем обозначения:

В{Р, гр, Р') = Р'8Ш^ Г - 4 - ф .