shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Если в подынтегральной функции (1.20) вместо г подставить гга1п или г„ (рис. 13), то, очевидно, будут иметь место следующие неравенства:

гшах

т

Н'К'Ш' б йт

Но гт а х и гт ! п , как постоянные величины, могут быть вынесены из-под знака интеграла, а интеграл

Аналогично тому, как это было доказано для потенциала объемных масс, можно доказать, что потенциал простого слоя непрерывен и конечен во всем пространстве, вне притягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа и имеет непрерывные производные всех порядков, на бесконечности является функцией регулярной.

Производная потенциала V по произвольному направлению I

40

является проекцией силы притяжения простого слоя на направление I. В том случае, когда притягиваемая точка пересекает поверхность простого слоя, первые производные потенциала терпят разрыв. Мы уже убедились в этом при рассмотрении частного случая простого слоя — бесконечно тонкого однородного сферического слоя (см. § 4). Теперь покажем, что это имеет место и в более общем случае.

Обозначим внешнюю точку относительно слоя через А, внутреннюю — через В, а точку на самой поверхности слоя — через С (рис. 14). Пусть точки А ж В неограниченно приближаются к точке С, в этом случае производные потенциала У по произвольному напра-

как пределы, к которым стремится составляющая силы притяжения простого слоя по направлению I при неограниченном приближении притягиваемой точки к слою с внешней и внутренней сторон поверхности а.

Прямое значение производной —йУ^/й/ определим, как составляющую силы притяжения в самой точке слоя. йУ^'/й/ определяется без предельных переходов непосредственно в точке С, расположенной на слое

конечное значение, поступим следующим образом. Выделим вокруг точки С

41

мояшо получить прямое значение производной на слое йУ0/й1 через предельные значения.

Итак, первые производные потенциала силы притяжения простого слоя терпят разрыв при пересечении слоя. Поэтому па простом слое всегда следует различать три значения производных потенциала: два предельных и одно прямое.

42

П о т е н ц и а л д в о й н о г о с л о я

Потенциал двойного слоя можно представить как сумму производных иенциалов простых слоев (1.33). В самом деле, интегралы, стоящие справа

^вны, удовлетворяют уравнению Лапласа (1.70) и регулярны на бесконеч- :сти. Следовательно, во внешнем пространстве этими свойствами будет область и потенциал двойного слоя.

Однако при пересечении притягиваемой точкой поверхности слоя первые :оизводные потенциала простого слоя терпят разрыв, поэтому и потенциал ЕОЙНОГО слоя также будет терпеть разрыв. Так же, как и для первых произлных потенциала простого слоя, следует различать два предельных 1Уе и И7,- олно прямое значение Ш0 потенциала двойного слоя. Величина разрыва : генциала двойного слоя в точках самого слоя определяется из соотношений

1Уе = 1У0 + 2я/у

(1.89)

§ 6. УГОЛ ВИДИМОСТИ И ИНТЕГРАЛЫ ГАУССА

Если двойной слой имеет постоянную плотность /V = 1, то его потенциал :>значим через Й. В этом случае формула (1.30) примет вид

Чтобы выяснить геометрический смысл выражения, стоящего под интеграом, представим себе так называемую единичную сферу, т. е. сферу, описанную

Рис. 15

43

Глава II

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

§ 7. ФОРМУЛЫ ГРИНА

Прямая задача теории потенциала заключается в определении потенциала тяготения V, если известны строение тела и его форма.

Для целей геодезии необходимо решить обратную задачу, состоящую в определении формы притягивающего тела через его потенциал.

При этом важно исключить плотность б тела, поскольку в настоящее время строение Земли, как и других тел солнечной системы, точно неизвестно. Можно ли в принципе определить потенциал V, не зная закона распределения плотностей внутри тела? Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо рассмотреть зависимость между потенциалом V и плотностью б.

В прямой задаче теории потенциала эта зависимость определяется формулой (1.20). Эта формула не позволяет дать положительный ответ на поста-

Левую часть этого уравнения всегда можно вычислить, если потенциал V известен, и тем самым будет определена плотность в любой точке тела.

Поскольку уравнение Пуассона справедливо только внутри тела, следует заключить, что плотность может быть выражена только через потенциал, заданный внутри притягивающих масс.

А можно ли определить плотность тела в случае, если потенциал известен только во внешнем пространстве? Если бы внешний потенциал можно было бы аналитически продолжить внутрь притягивающих масс, то тогда плотность тела была бы определена. Однако эта операция невозможна, потому что внутренний и внешний потенциалы выражаются разными аналитическими функциями. Можно найти бесчисленное множество различных распределений плотности внутри тела при одинаковом внешнем потенциале.

Рассмотрим в качестве примера однородный шар. Как видно из формулы (1.54), его внешний потенциал определяется массой М и, следовательно, при любых значениях плотности б и радиуса Я, при условии, что общая масса остается неизменной, внешний потенциал V будет иметь одинаковые значения.

Потенциал вне притягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа, которое не содержит плотности. Для его решения необходимо знать область, в которой потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа.

45

Таким образом, задача определения фигуры притягивающего тела непосредственно связана с определением внешнего потенциала, который может быть найден независимо от плотности в результате интегрирования дифференциального уравнения Лапласа.

В основе современных методов решения уравнения Лапласа лежат формулы преобразования некоторых объемных интегралов в интегралы по поверх-

ограниченные вторые производные во всех точках области т, заключенной внутри поверхности а.

Рассмотрим тождество

Здесь два крайних интеграла являются объемными, при вычислении первого интеграла, стоящего в правой части полученного равенства, интегрирование должно производиться по плоскому коптуру 2, полученному проектирова-

46

очевидно, что

щи»

В

оба эти выражения представляют собой сумму квадратов первых производных от и У,-.

Отметим, что в последнем интеграле производная берется по направлению внешней нормали к поверхности о, восстановленной на элементе йсг.

Полученная формула Грина позволяет от объемных интегралов перейти к интегралу по поверхности. Это очень важное обстоятельство, ибо в тех случаях, когда определить поведение тех или иных функций внутри тела мы не можем, для нас очень важно уметь перейти от функций, заданных внутри тела, к функциям, заданным на поверхности.

Положим теперь в (II.1) 17г = У,-, это дает

X а

Наконец, поменяем в (II.1) функции 17{ и У,- местами, получим

48