shimbirev_b_p_teoriya_figury_zemli

Рассмотрим решение внутренней задачи Дирихле на конкретном примереПусть заданная на сфере функция имеет вид

/(0, Я) = С + с о з 2 0 .

Представим / (0, Я) как сумму сферических функций. Постоянная С является сферической функцией нулевого порядка, ибо любая постоянная величина может рассматриваться в качестве сферической функции нулевого порядка, поскольку при п= 0 по формуле (111.29) получаем У 0 (0, Я) = А 0 0 . Функцию соз2 0 можно выразить через полином Лежандра второй степени

У1 = 0,

У2 = - § - ^(соз0),

Уз = У4 = . . . = Уп = . . . = 0.

Подставляя далее найденные значения Уп (0, Я) в (111.22), получим решение внутренней задачи Дирихле

^(Р, 0> я) = 2 - & Г » ( 0 . Я) = С + 4 + -|-т^(соз0).

п=0

90

При решении внешней задачи Неймана для сферы краевое условие имеет

вид

дУе(р, 9, X)

где / (0, X) — заданная на сфере функция. Она раскладывается в ряд (111.25); будем считать сферические функции Уп (0, X) известными. Искомая функция Ге (р, 0, X) — гармоническая во внешнем пространстве и регулярная на бесконечности — должна иметь вид (111.24)

СХ1

п=Ор"

где Хп (0, X) — сферические функции, подлежащие определению. Выполняя дифференцирование функции Уе (р, 0, X) по р, получаем предельное равенство

дУе

Пусть, например, требуется решить внешнюю задачу Неймана, если краевое условие задано

91

На основании сказанного выше находим

У0 = а,

П= о,

У 2 = 4 - 1 ^ 8 2 ( 6 ) + <*а(в)1,

п=О

и представим заданную на сфере функцию / (0, X) двумя рядами

Поскольку всякая функция двух переменных, заданная на сфере, может быть единственным образом разложена в ряд сферических функций, то должны соблюдаться условия

откуда определяются все Хп (0, к) при условии, что аВ—п—1 Ф 0. Запишем решение внешней третьей краевой задачи

92

Глава IV

ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И МЕТОДЫ ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 20. СИЛА ТЯЖЕСТИ И ЕЕ ПОТЕНЦИАЛ. ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

На каждую точку Земли помимо силы притяжения действует также центробежная сила, вызванная вращением Земли около ее оси. Равнодействующую этих двух сил, действующую на единицу точечной массы, принято называть силой тяжести. Таким образом,

скоростью около неизменной оси, как абсолютно твердое тело. При таком определении силу тяжести следует считать в каждой точке Земли величиной постоянной, не меняющейся с течением времени. Однако в действительности дело обстоит значительно сложнее. Земля не является абсолютно твердым телом, она испытывает приливные возмущения, скорость вращения Земли и положение мгновенной оси вращения в теле Земли не остаются неизменными, меняется также с течением времени и положение небесных светил относительно центра инерции Земли. Все эти факторы оказывают влияние на значение силы тяжести и с величиной этих влияний в настоящее время приходится считаться. Поэтому в измеренное значение силы тяжести приходится вводить соответствующие поправки, учитывающие перечисленные выше влияния. Вследствие большой неоднородности в распределении масс внутри Земли сила тяжести изменяется на ее поверхности по такому сложному закону, что не представляется возможным дать точную функциональную зависимость между значением силы тяжести в данной точке и ее координатами.

Наиболее удобной величиной для характеристики силового поля Земли является потенциал силы тяжести, который является мерой работы, совершаемой полем силы тяжести при перемещении единичной массы из бесконечности в данную точку.

Значение потенциальной функции в данной точке позволяет определить поверхность, проходящую через эту точку (поверхность равного потенциала), тогда как значение силы тяжести характеризует силовое поле лишь в одной точке.

Потенциал силы тяжести всегда имеет смысл использовать при анализе наблюдений, производимых на поверхности Земли, на самолете, дирижабле

94

п т. п., поскольку при этом приходится иметь дело с характеристиками гравитационного поля Земли. Так, в одних случаях в результате измерений мы получаем значение силы тяжести (гравиметрические измерения), в других же1 приходится использовать в качестве основных ориентирных линий направления силовых линий поля силы тяжести (астрономические и геодезическиеизмерения).

Что же касается описания движений тел во внешнем пространстве, то все зависит от того, в какой системе координат описывается это движение. Если используется система координат, вращающаяся вместе с Землей, то будет использоваться потенциал силы тяжести. Если же используется инерциальная система координат, то придется иметь дело с потенциалом притяжения.

Для определения потенциала силы тяжести необходимо знать потенциал центробежной силы, который можно найти, если известны проекции центробежной силы на оси координат. Найдем эти проекции.

действовать центробежная сила К, направленная во внешнее пространство по перпендикуляру к оси вращения Земли. Величина этой силы определяется из соотношения

расположим произвольно в плоскости малого круга, по которому совершается вращение точки М.

Так как направление центробежной силы будет совпадать с направлением радиуса р параллели точки М, то, очевидно, что проекции центробежной силы

К г = Ксо&(К, г) — К соз(р, г).

соз(р, г) = О,

и проекции центробежной силы на оси координат будут

Кх = а2х

К у = со2^ к г = 0.

Нетрудно прийти к выводу, что потенциал () центробежной силы будет"

95

Для определения потенциала силы тяжести (обозначим его И7) найдем проекции силы тяжести на оси координат и подберем такую функцию, частные производные которой по осям координат равнялись бы соответствующим проекциям силы тяжести на оси координат. Используя теорему: проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, получим

— + = +

8у = ру+Ку=-щ Ь - ^ - ;

Эти соотношения позволяют определить потенциал силы тяжести IV как

Проверим это утверждение. Дифференцируя (1У.2) почленно по координатам, убеждаемся, что функция IV удовлетворяет условиям (1.14)

д\у _ дх

дШ _

ду

д\У дт, =

Формулу (1У.2) можно представить в ином виде

Для вычисления потенциала силы тяжести по этой формуле необходимо знать не только форму Земли, но и закон распределения плотностей внутри ее. Поскольку фигура Земли и распределение масс внутри ее неизвестны, точное вычисление потенциала IV по формуле (IV.3) невозможно. Однако если первый

96

Таким образом, физический смысл первых производных потенциала IV вполне ясен. Что касается физического смысла вторых производных

В потенциал силы тяжести в качестве слагаемого входит потенциал притяжения V, поэтому первые производные потенциала IV непрерывны, а вторые производные IV терпят разрыв там, где плотность притягивающих масс ме-

Для потенциала силы тяжести будут также справедливы формулы (1.35), (1.40), (1.41) и все следствия из них. На основании (1.35) определим дифференциал потенциала силы тяжести

Ш = %С05(8, «)<&. (IV.7)

Из этой формулы вытекает, что приращение потенциала между двумя бесконечно близкими точками может быть определено, если известны: сила тяжести расстояние с1я между точками и угол (§, в), являющийся дополнением зенитного расстояния до 180°. Зенитные расстояния измеряются со сравнительно малой точностью. Поэтому имеет смысл выразить приращение потенциала с11У через соответствующий отрезок йп нормали к уровенной поверхности потенциала силы тяжести.

Величину Лп можно рассматривать как элементарное превышение йк между двумя бесконечно близкими уровенными поверхностями и потому в формуле (1У.8) величину йп можно заменить величиной йк.

Из (1У.8) следует, что •

т. е. сила тяжести есть производная от потенциала, взятая по направлению внешней нормали к уровенной поверхности силы тяжести.

Разность потенциалов между двумя.точками земной поверхности О и А, находящимися на конечном друг от друга расстоянии, на основании (1У.8) может быть получена как сумма элементарных работ, т. е.

на физической поверхности Земли. Для этого нужно, чтобы между точками О и А был проложен нивелирный ход, который позволит получить превышения к, и чтобы в точках этого хода были измерены значения силы тяжести При этих условиях интеграл (IV. 10) может быть вычислен.

Важной характеристикой поля силы тяжести являются силовые линии, которые получили название отвесных линий.

Получим в общем виде систему дифференциальных уравнений для всего семейства отвесных линий.

Для этого возьмем на какой-либо отвесной линии элементарный отрезок йк, его проекции на оси координат обозначим через йх, йу и йг,. Согласно опре-

делению вектор силы тяжести § должен касаться отрезка йк. В этом случае

Из системы уравнений (IV. 11) следует, что отвесные линии определяются первыми производными потенциала ТУ. Поскольку первые производные потенциала обладают свойством непрерывности, то и отвесные линии также будут выражаться непрерывными функциями. Определим вектор кривизны отвесной линии. Вектором кривизны кривой называют предел Отношения приращения единичного вектора касательной т к приращению йк длины кривой, когда последнее стремится к нулю, т. е.

98

отсюда

йх

Учитывая, что вектор силы тяжести § определяется формулой (IV.4), получим

отсюда следует, что отвесная линия является пространственной кривои двоякой кривизны.

Поскольку вектор кривизны отвесной линии определяется через вторые производные потенциала И7, то при пересечении отвесной линией масс с раз-

Эти два вектора взаимно перпендикулярны, поэтому должно соблюдаться условие

ах§х + ау8у + агёг = 0.