М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч

нение плоскости, в которой они лежат. (Ответ: г + 6у + + Зг - 9 = 0.)

1.273. Составить уравнение плоскости, проходящей

140

через точку М0(2, О, I) и прямую ------ =» г + ‘. ,

(Ответ: 5х — Зу — z — 9= 0.)

1.274. Найти точку, симметричную точке М(2, 7, I)

относительно плоскости х — 4</ + г + 7= 0. (Ответ: (4, - 1 ,3 ).)

1.275. Найти точку, симметричную точке Р(4, 3, 10)

относительно прямой х = 1+ 21, у = 2 + 4f, 2 = 3 + 5/. (Ответ: (2, 9, 6).)

1.276. Найти уравнение перпендикуляра, опушенного из точки Мо(3, —2, 4) на плоскость 5х + 3у — 7z + 1=0.

(0геет:^ = » ± 1 = ^ ± . )

1.277. Через начало координат провести плоскость,

(Ответ: Ах+ Ьу — 2г = 0.)

1.278. Найти расстояние от точки ЛЦ1, 2, 5) до указан­ ной прямой:

1) х = t, у ~ 1— 2/, 2 = 3 + /;

ov / * + y — 2 + 2 = 0,

\4х - 3 г + 3 = 0.

(Ответ: I) -^35/6; 2) 8д/3/26)

1.279. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:

/Ах + 2у + 3z + 1= 0, (Зх + у + 72— 2=0, 19дс + by + 2z + 9 = 0, 1 х + у — 42 +3 = 0.

( Ответ: I) л/10/3; 2) А-у/Ё/(Qnjb).)

1.280. Найти канонические уравнения проекции пря­

141

1.282. Составить канонические уравнения перпендику­ ляра, опущенного из точки Мо(хо, Уо. Zo) на данную пря­ мую (L), если:

-3, - 5 ).)

1.16. КРИ ВЫ Е ВТОРОГО ПОРЯДКА

Говорят, что кривая (Г) в системе координат Оху имеет уравнение f ( х, у) = 0, если выполнено следующее условие: точка М(х, у) принадле­

причем не все коэффициенты А, 8, С одновременно равны нулю (в про­ тивном случае (Г ) — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого порядка).

В общем случае может оказаться, что уравнение (1.14) определяет еырождекш/ю кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

Если же кривая (Г) — невырожденная, то для нее найдется такая прямоугольная система координат, в которой каноническое уравнение этой кривой имеет один из следующих грех ендов:

Система координат, в которой уравнение кривой (Г ) имеет вид (1.15), (1.16) или (1.17), называется канонической системой координат.

Изучим основные кривые второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноуда­ ленных от данной точки, называемой центром. Если R — радиус окружности, а точка С(а, Ь) — ее центр, то уравнение окружности имеет вид

(дс — д )2 + ( 1/ — 6 ) 2 = Я 2.

142

Если центр окружности совпадает с точкой 0(0, 0), то ее уравнение записывается в виде

** +у2= R3

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстоя­ ний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), боль­ шая, чем расстояние между фокусами.

Точки At(a, 0), А 2( —а, 0), S i(0, b), Bi(0, —b) называются верши­ нами эллипса. Центр симметрии 0(0, 0) называется центром эллипса.

Параметры а н 6 называются соответственно большой и малой полу­

осями эллипса, векторы F\M и FiM — фокальными радиусами-векторами

точки М, принадлежащей эллипсу, а числа г, -=|F,Af| и r3 = \FaM) —

фоксиьньши радиусами точки М.

Форма эллипса (мера его сжатия)*характеризуется его эксцентри­

ситетом е = с/а = ~\Ja2 — Ь-/а (так как с < а, то е <; I ). При е ~ 0 ,

т. е. а = 6 , эллипс является окружностью.

Прямые (Di): * = а/е и (£>2): х — —а/е, перпендикулярные к боль­ шой оси эллипса и проходящие ка расстоянии а/е от его центра, назы­ ваются директрисами эллипса (см. рис. 1.47).

Для эллнпса справедливы равенства:

rt/di = е, гi/d) = е.

143

где d| и di — расстояния от точки М(х, у), принадлежащей эллипсу, до директрис, ближайших к фокусам Fi и F?, соответственно.

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если ось Ох проходит через фокусы Fi(c, 0) и F 2( — с, 0), а точка 0(0, 0) — середина отрезка F\F2 (рис. 1.48), то из равенств IFjM —

— F[M\ = 2а, гг — г, = ±2а получаем каноническое уравнение гипер­ болы

*7о! -у7<.2=1 (Ь*= с2аг).

и мнимой осями, а центр симметрии О — центром гиперболы. Векторы

F\M, F2M — фокальные радиусы-векторы точки М, принадлежащей гиперболе, а числа г,, г2— фокальные радиусы точки М.

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М (*, у) гиперболы до этой прямой стремится к нулю при х~* + во или х — оо. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

у ~ ± — х. Число

е = с/а = -\ja* + Ь'/а > I

144

называется эксцентриситетом гиперболы и характеризует ее форму. Если а = Ь, то гипербола называется равносторонней.

Прямые (0|): дг = а/е н (£>2): х= — а/е, перпендикулярные к дейст­ вительной оси гиперболы и проходящие на расстоянии а/е от ее центра, называются директрисами гиперболы (см. рис. 1.48).

Директрисы гиперболы обладают следующий свойством: отношение расстояния от любой точки гиперболы до какого-либо фокуса к рас­ стоянию от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т. е.

rt/d, = е. i = 1, 2.

Параболой называется множество точек плоскости, равноотстоя­ щих от дайной точки этой плоскости, называемой фокусом, и дайной прямой той же плоскости, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая х — —р/2 , а фокусом — точка f (р/2, 0) (рис. 1.49), то имеем каноническое уравнение параболы

У* = 2рх.

Парабола, заданная таким уравнением, расположена симметрично относительно оси абсцисс. Число р > 0 называется параметром парабо­

лы, точка О — ее вершиной, вектор FM — фокальным радиусом-вектором

точки М параболы, а число г = \FM\ — фокальным радиусом точки М.

Если осы» cmmerpm параболы служит ось ординат, то уравнение параболы кисет П и

х2 = 2ру.

Длина фокального радиуса-вектора параболы у* = 2рх определя­ ется по формуле г = х -f- р/2.^Прямаа(Ь): х = —р/2 является директри­

145

сой параболы у* = 2рх, а прямая (D'): у = —р/2 — директрисой па­ раболы х2 = 2ру. Для параболы r — d, где d — расстояние от точки М(х, у\ принадлежащей параболе, до соответствующей директрисы.

Примеры

I. Записать уравнение окружности, имеющей центр

вточке 0'(6, 7) и касающейся прямой 5х— \2у — 24 = 0

(рис. 1.50).

Реш ение. Радиус R окружности найдем как расстоя­ ние от центра 0'(б, 7) окружности до данной прямой:

R = 1 5 - 6 - 12- 7 - 2 4 I / V 5 2 + 12г = б.

Воспользовавшись каноническим уравнением окруж­ ности, получим

(х — 6)2 + (у — 7)2— 62.

2- Записать уравнение окружности, если точки М i(3, 2),

М2( — 1, 6)— концы диаметра окружности (рис. 1.51).

Реш ение. Найдем координаты центра окружности по формулам деления отрезка пополам:

Х0 = ^ ,± > , ^ 3+ ^-1) = 1, У о = у_^ + ум, = 1 + L = 4.

Определим радиус окружности. Имеем ОМ\ — (2, —2), тогда

/?= 10М<1 = V 22 + (- 2 )2= 2V2.

Уравнение окружности примет вид

(х - 1 )2 + (у - 4 )2 = 8.

146

3. Расстояния от одного из фокусов эллипса до концов большой оси равны 7 и 1. Составить уравнение ~элл”ипса.

Реш ение. По условию AFi = I, BF\ = 7 (рис. 1.52). Тогда 2а = AFi + F\B = 1+ 7 — 8, а = 4, с — OFi = 4 —

— 1=3. Так как для эллипса с2 = а2— Ь , Ь2= а2— с2—

= 42 — З2 = 7, b = т/7, то, подставляя найденные значе­

ния о и Ь в каноническое уравнение эллипса, получаем *742+ i/2/(V7)2= l.

4. Прямые jt= ± J} служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8. Найти уравнение этого эл­ липса.

Реш ение. По условию 2Ь = 8. Уравнения директрис

х= dzafe. Отсюда ± а/е= ±8, а/е = 8, е = с/а. Тогда

а2/с = 8, а2= 8г. Так как для эллипса с2= а2— Ь2=

= о2 — 16 нлн а2— с1+ 16, то, подставляя выражение для о2 в равенство а2 = 8с, получаем:

8с = с2+16, с2- 8 с +16 = 0, (с — 4)2= 0, с = 4.

*2/32 + у2/16 — 1.

5. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку vW(9, 8), если уравнения асимптот гиперболы у =

— ± х. Найти эксцентриситет и уравнения директрис.

Реш ение. Из уравнений асимптот находим =

147

Так как точка М(9, 8) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы. Отсю-

Тогда

Искомое уравнение гиперболы имеет вид

•*2/9 — у2/8 = 1. Найдем эксцентриситет:

е = с/а = У a2+ b2/a - -^9 + 8/3 = УТУ/3.

Уравнения директрис имеют вид

б. Уравнение эллипса имеет вид л:2/49 + у2/24 = 1.

Составить уравнение софокусной гиперболы (т. е. такой,

фокусы которой совпадают с фокусами данного эллипса) при условии, что ее эксцентриситет е= 1,25. Найти урав­ нения асимптот и директрис гиперболы (рис. 1.53).

148

с фокусами гиперболы. Отсюда имеем: Fi{5, 0), F2( —5, 0). Обозначим через Я| н Ь\ полуоси гиперболы. Так как

то имеем: а\ = с\/е — 5/1,25 = 4, Ы = с? — а2= 25 — 16 = = 9, Ь| =3. Тогда уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами эллипса, имеет вид

х 2/42— у'2/32— 1.

Уравнения асимптот гиперболы

ауравнения ее директрис

*= ± а/е= ±4/1,25= ±16/5.

7.Парабола с вершиной в точке 0(0, 0) проходит через точку Л (—2, —3) и симметрична относительно оси Ох

(рис. 1.54). Записать ее уравнение, найти фокус и уравне­

ние директрисы.

Решение. Так как точка А ( —2, —3) принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению

параболы у2=2рх, откуда имеем 9= —4р или р= —9/4.

Следовательно, уравнение искомой параболы имеет вид

9

у2= — -jx; F( —9/8, 0) — ее фокус. Уравнение директ­ рисы х = —р/2 = 9/8.

8. На параболе у2= 8х найти точку, фокальный ра­ диус-вектор которой равен 20.

Решение. Из условия имеем: 2р = 8, р = 4. Тогда

F(2, 0) — фокус данной параболы. Пусть М{х, ^ — про­ извольная точка параболы. По определению параболы

NM = FM или х + р/2 =*=х + 2 (рис. 1.55). По условию х -f- 2 = 20, откуда х = Г8. Из уравнения параболы имеем: у2= 8- 18= 144, ±12.

Таким образом, искомые точки — М|(18, 12) и М2(18,

-12).

9.Составить уравнение параболы, если известно, что: а) фокус параболы F(5, 0), а ее директрисой является

ось ординат; б) парабола симметрична относителБно оси Оу и про­

ходит через точки 0(0, 0) и М(6, —2).

Реш ение, а) Так как по условию р = 5 и вершина

149