М_Сухая, Бубнов. Задачи по высш. матем-ке Ч
.1.pdf■ft)
Условие перпендикулярности прямой (L) и плоскости (Я) означает, что п || s (рис. 1.36), т. е.
Л |
В |
С |
, , |
n = Xs или — |
= — |
= — |
= \, )tg R, |
i m |
p |
|
|
Условие того, что прямая (L) лежит в плоскости (Р ) означает, что точка Мо£\Р), т. е. n 1 s (рис. 1.37), откуда имеем:
|
|
А*г>+ Вуь |
Czn D *= 0,1 |
|
||
|
|
At + В т -f Ср = 0. |
/ |
|
||
Для |
определения |
точки пересечения |
прямой х — Ха |
у — Уа |
||
г — zo |
|
|
|
|
I |
m |
с плоскостью Ах + By -f- Сг + D = 0 надо совместно решить |
||||||
У |
|
|
|
|
|
|
их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими |
||||||
уравнениями прямой х = х0 + li, |
y = yo + mt, z = zo + pt. |
При этом |
||||
возможны следующие случаи. |
|
|
|
|||
I. |
Если At + В т + Ср Ф 0, то прямая пересекает плоскость'. В этом |
|||||
случае из |
уравнения |
Л(*о + lt) + В(у„ + mt) + C(za -|-/>0 = 0 находим |
||||
значение параметра |
|
|
|
|
|
|
|
ii |
|
Ахо -f- By» -Ь Czp + D |
|
||
|
= - |
A I + В т + Ср |
|
|||
|
|
|
|
|||
Ри с. 1.36 |
Рис . 1.37 |
130
соответствующее точке пересечения, и, подставляя его в параметри ческие уравнения прямой, получаем координаты точки /И|(*|, у,, г,) пересечения прямой и плоскости х, = х0 + tti, = у» + ml,, г, = Zo+ph.
2.Если Ai + В т + Ср = 0 н <4хо + Вуа + Czo + D =£0, то прямая параллельна плоскости.
3.Если А1 + В т + Ср = 0 и Ах„ + Вуо + Сгц + 0 = 0, то прямая
лежит в плоскости. |
(рис. 1.38) находится по |
Расстояние от тонки Mi до прямой (L) |
|
формуле |
|
d = ЦАМЬ, s)l/lsl, |
L. |
Ри с. 1.38 Ри с. 1.39
Расстояние между скрещивающимися прямыми (рис. 1.39)
d(Lu Ц )= \ (ATM*, a,. 8г)|/|($,. s2)l.
П римеры |
|
|
|
1. Через точку М(2, 3, |
1) провести прямую перпенди |
||
кулярно к прямой |
У |
__ 2 — 2 |
(рнс. 1.40). |
-1 |
3 |
||
Реш ение. Так как si = (2, — 1,3) — направляющий вектор данной прямой, то, обозначая направляющий вектор искомой прямой через s2 = (/, m, р) и учитывая,
что S |X s 2, имеем (si, s2) = 0 или 21— m -f- Zp ~ 0.
Поскольку векторы M QM , si, s2 лежат в одной плоско
сти, то их смешанное произведение равно нулю, т. е.
S u s2) = 0. Учитывая, что М0М = (3, 3, — 1), имеем
3 |
3 |
- 1 |
2 |
- 1 |
3 = 0 или 8/ — 11 m — 9р = 0. |
/ |
m |
р |
131
Таким образом, для определения координат вектора si получаем систему уравнений
21 — т + Зр = ОД
81 — П т — 9р = 0,}
эквивалентную системе
21 — т + 3р = 0,1
—7т — 21р = 0,/
откуда т = —'ip, I — —Зр. Подставляя выражения для
I |
и т в канонические уравнения прямой л — 2 __ |
у — 3 |
__ |
|||
|
г — I |
|
|
/ |
|
|
|
, получаем |
|
|
|||
|
а - 2 |
_ |
у — з |
_ г — I или х — 2 |
|
|
|
— Зр |
|
—Зр |
р |
|
|
|
2. Записать уравнение прямой, проходящей через |
|||||
точку М{2, |
—5, 3) параллельно прямой-X— 1 |
У - 2 |
= |
|||
__ z -f-3 |
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9 |
* |
|
Направляющий вектор данной |
прямой |
|
|
Реш ение. |
|||||
si =(4, |
—6, 9), а направляющий вектор искомой прямой s |
|||||
в |
силу |
ее |
параллельности исходной прямой имеет |
в*ид |
||
s = A,si. Следовательно, s=(4k, —6К 9А.).
Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (1.13), где в качестве (х0, г/о, го) возьмем координаты
точки М, Получим уравнение искомой прямой:
х — 2 __ V + 5 __г — З
4 ^ 6 ~ 9 ‘
132
3. Привести к каноническому виду уравнения прямой
хдг — 2у- + Эг ~ 4 = 0,1 .
Здс + 2у-г— э= —4 = 0./
Реш ение. Найдем направляющий вектор s = (/, т , р) искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам n( ~ (l, —2, 3) и пг = (3, 2, —5)
заданных плоскостей (рис. 1.41), то s ||[rtt, п2], т. е. s =
= Mni>"г], X6R. Тогда имеем
i |
j |
k |
П|, п2 = 1 |
- 2 |
3 = 4i+ 14j+ 8k = (4, 14,8), |
3 |
2 - 5 |
|
a s = (4b, 14X., 8k).
В качестве точки Мо(*о, уо, 20), через которую проходит
искомая прямая, возьмем точку ее пересечения с какой-
либо из координатных плоскостей, например с плоскостью Оху, уравнение которой г = 0. Координаты у0 и г0 этой точки определим из системы уравнений заданных плоско
стей, положив 2 = 0:
дсо— 2уо = 4Л
Здс0 + 2уо = 4./
Решая эту систему, находим: хо = 2, у о = — 1. Таким
образом, канонические уравнения данной прямой имеют вид
х-2 _ у Л- i _ £.
2 |
7 |
4 |
1 |
4. Найти расстояние |
между |
двумя параллельными |
|
133
прямыми (Z.|) |
и (L 2) (рис. 1.42), |
если |
х— 2 У+ l __ |
= (£.,) и JL |
f . _ 1= ± = i z £ |
(/л). |
4 |
|
Реш ение. Расстояние между параллельными пря мыми можно найти по формуле расстояния от точки до прямой. Здесь s=*(3, 4, 2), М\(7, I, 3), М$(2, — 1, 0),
A M fi= (5, 2, 3). Тогда
■ J |
к | |
||
[М2М I, s] = 5 |
2 |
3 |
' = _ 8 i _ j + l4 k = X - ^ - l. 14). |
3 |
4 |
2 |
|
Имеем
4 = 1И^|, »)1 - У и + ь и у
ыV 9 + 16 + 4
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точкуЛ10(4, —3, 1)параллельно прямым-^- = у = |
(£i) |
|||
* + |
1 ___ у — 3 |
___ г — 4 |
( Ь ) . |
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|||
Реш ение. Запишем уравнение плоскости, проходя щей через данную точку Мо'-
А (х - 4) + В (у + 3) + С(г - 1) - 0.
Так как нормальный вектор п этой плоскости перпенди кулярен к направляющим векторам Si =(6, 2, —3) и $2 =
—(5, 4, 2) заданных прямых (рис. 1.43), то n||[si, s2], т. е.
п— A.fsi, s2], к 6 R. Тогда имеем
134
|
i |
к |
[Si, s2]= |
2 |
- 3 = 16I-27J + 14* = (16, -27, 14), |
|
4 |
2 |
a n = (I6A,, —27Я, 14X). Подставляя координаты вектора n в уравнение плоскости, получаем
|
1 6 *(х - 4 )- 2 7 А .(у + 3 )+ |
1 4 ^ (z - 1) = 0 |
или окончательно |
|
|
|
16* 2 7 у+ I4 z - |
159 = 0. |
в. |
Найти проекцию точки Л1(3, 1, — 1) на плоскость |
|
3х + у + z — 20 = 0 и точку, симметричную точке М отно |
||
сительно этой плоскости. |
|
|
Реш ение. Нормальный вектор данной плоскости |
||
n = (3, |
1, 1). Уравнение перпендикуляра, опущенного из |
|
точки М на плоскость, имеет вид |
<5 |
= - ~ -1 = — |
I |
||||||
(рис. 1.44). Перейдя к пара |
|
J |
|
||||||
метрическим |
уравнениям |
|
|
|
|
|
|||
прямой, получим * = 3/ + 3, |
|
|
|
|
|
||||
y = t+ 1, |
г — t — 1. Решая |
|
|
|
|
|
|||
совместно |
уравнения |
пло |
|
|
|
|
|
||
скости |
и |
прямой, имеем: |
|
|
|
|
|
||
3(3/ + 3) + / + 1+ / — |
|
|
|
|
|
||||
- 1-20 = 0, 11/ — 11 = 0, |
|
|
|
|
|
||||
откуда |
(s* 1. |
Подставляя |
|
|
|
|
|
||
найденное 'значение i |
в па |
|
|
|
|
|
|||
раметрические |
уравнения |
|
|
|
|
|
|||
прямой, находим проекцию Q |
|
Рис. 1.44 |
|
||||||
точки М на плоскость: XQ =6, |
|
|
|||||||
Уо = 2, z<j=0, т. е. Q(6, 2, 0). |
|
|
|
|
|
||||
Координаты точки JV, симметричной точке М относи |
|||||||||
тельно плоскости (Р), определяем из формул: |
|
|
|||||||
X Q = (*М + *«)/2, Уо = {Ум + y N ) / 2. ZQ — (гм + zN)/2 |
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 = (3 + дг#)/2, 2 = (1 + у ы)/2, |
0 = (- 1 |
+ |
г м)/2, |
|
|||||
откуда xN= 9, уы = 3, |
— 1, т. е. N(9, 3, |
1). |
|
|
|||||
7. Записать уравнение плоскости, проходящей через |
|||||||||
точку |
Af0(3, 1, |
—2) |
и прямую |
|
|
|
= ~- |
|
|
135
Реш ение. Запишем уравнение плоскости, проходя щей через точку Мо-.
Л (* - 3 ) + В (у - 1 )+ С (г + 2)~0.
Нормальный вектор п = {А, В, С) этой плоскости перпендикулярен к направляющему вектору s = (5, 2, I) данной прямой (рис. 1.45). Так как точка М\(А, —3, 0)
принадлежит данной прямой, то вектор Л10М| =(1, —4, 2)
также перпендикулярен к вектору п. Следовательно,
n||[s, AfoAfi], т. е, п = Я[$, МаМ\). Имеем:
i |
j |
J k |
= 8i - 9j - 22k. |
[s, AfoM,] = 5 |
2 |
2 1 |
|
1 |
- 4 |
2 |
|
Тогда п={8Л, —9 A , —22X). Подставляя координаты
вектора п в уравнение искомой плоскости, получаем
8Х(х - 3) - Щ у - I) - 22Х(г + 2) = 0,
т. е.
8х — 9у — 22г — 59 = 0.
8. Записать канонические уравнения прямой, прохо
дящей через точку Мо(3, —2, 4) параллельно плоскости
Зх — 2у — Зг — 7 = 0 и пересекающей прямую х~ 2 =
= У + 4 _ |
■г~ 1 |
— 2 |
2 |
Реш ение. Нормальный вектор п * (3, —2, 3) данной |
|
плоскости |
перпендикулярен к направляющему вектору |
s = (/, т , р) искомой прямой. Отсюда (n, s) = 0, т. е. 3/—
— 2т — Зр = 0. Направляющий вектор данной прямой Si= (3, —2, 2); точка М )(2, —4, 1) принадлежит этой
136
прямой. Так как данная и искомая прямые пересекаются,
то векторы s, St, М0М ( — ( — 1, —2, 5) компланарны (рис. 1.46). Следовательно, (М^М\. Si, s) = 0( т. е.
-I |
- 2 |
5 |
= 0 или 6/ + 17т + 8р = 0. |
3 |
- 2 |
2 |
|
7 |
т |
р |
|
М,
V
Таким образом, для определения координат вектора s
получаем систему уравнений
3 1 — 2 т —
6/ -j- 17m + 8р = 0,1
эквивалентную системе
3/— 2т — 3р ~ 0,1
21m+l4p = 0,J
откуда находим; т = — -|р, / — у р. Тогда s |
Р. |
2\
—у Р , р\ или s= (5, —6, 9). Подставляя координаты направляющего вектора в формулу (1.13), получаем
jt — 3 _ у + 2 _ г + 4 |
|
5 - 6 |
9 |
9. Доказать, |
что прямые |
х + 7 __ |
у + 4 |
г + 3 |
||
|
|
|
|
3 |
4 |
— 2 |
и ^ ~ |
21- = |
—4 |
= z~ 2 (£2) |
скрещиваются, |
и найти |
|
6 |
|
— 1 |
|
|
|
|
расстояние между ними (см. рис. 1.39).
137
Реш ение. Расстояние между скрещивающимися пря мыми находим по формуле
d= \(М Л . Si, S2)I/I[S|, s2J|,
где Sj — (3, 4, —2); sz = (6, —4, — 1); Mi = (—7, —4, —3); Мг = (21, —5, 2); MiM2==(28, - 1 , 5). Имеем
28 |
- t |
5 |
(Mi/M2, St, s2) = 3 |
-4 |
—2 as - 5 0 7 # 0, |
6 |
- 4 |
- 1 |
т. e. векторы MiM2,si, s2 некомпланарны, и поэтому прямые скрещиваются. Вычисляем:
i |
j |
k |
[si, s2] = 3 |
4 - 2 |
= - 121 — 9j — 36k — |
6—4 — 1
=—3 (4! + 3j + 12k),
|[$i, Ssjl = У з 2{ 16 + 9 + 144) = 39.
Тогда
|
|
A_ |
|
Si. |
$2)1 __ |
507 |
__ IQ |
|
|
|
|
|
|
i[s„ |
s,]| |
|
39 |
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||
1.255. |
Составить |
канонические |
уравнения |
прямой, |
||||||
"Приходящей |
через |
точку |
М\( —2, |
1, |
5) параллельно: |
|||||
1) вектору |
а = ( I, |
—3, |
4); 2) прямой |
- I |
|
— |
||||
г + 3 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
"l v |
|
|
|
|
|
|
* + ! _ » - ! |
__ |
||
— ; |
3) оси Оде; 4) оси Оу. ( Ответ: 1) |
|||||||||
г — 5 . <>\ |
*-И |
у —I |
г —5. |
|
I |
-3 |
|
|||
|
х + 2 _ |
у ~ |
1 __ |
|||||||
4 |
’ ' |
- I |
2 |
5 |
=3> . |
|
|
|||
г - 5 ■Л\ * + 2 _ У — I _ г —5 \ |
|
/ |
|
|
||||||
0 |
’ |
0 |
I |
|
0 |
|
|
|||
1.256. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки: 1) М](1, 5, 1), М2(4, 6, 9);. 2) AI,(2, 3, 1), М*(5, - 4 . 4); 3) Af,(0, - 2 , 3),
1.257. Составить канонические уравнения прямой,
заданной общими уравнениями:
П /3*— у + 2г |
— 7 |
= 0, |
/ |
х -J- у — Зг — 1= 0, |
|||||
\ |
х + Зу — 2z |
— 3 |
= 0; l) \2х — у — 92 |
— 2 = 0; |
|||||
/ * — 2у + 3z |
+ 1= 0, |
|
|
|
|
||||
\2х+ |
у — 4г — 8 = 0. |
|
|
|
|
||||
(Ответ: |
1) ± z ± = y - ^ |
= |
5 |
2) х~ ' |
= |
= |
|||
V |
7 |
—2 |
|
|
4 |
—4 |
1 |
— I • |
|
£ —2 _ |
У — г+ I \ |
|
|
|
|
|
|||
I |
|
2 |
I / |
|
|
|
|
||
1.258. Составить канонические уравнения прямой, про ходящей через точку М|(2, 3, — 5) параллельно прямой
Зх — у + 2г — 7=0,\
* + Зу — 2г + 3 *« 0.1
1.259. Доказать параллельность прямых
* —5 _ у —2 _ 2 + 7 |
* + Зу + г + 2 = 0,1 |
|||||
t . |
—1 |
1 |
х'~ у — Зг — 2 |
= |
0.) |
|
1.260. Доказать перпендикулярность прямых |
|
|||||
X- 1 |
_ У + 2 |
_ г-1 |
2х + у — 4z |
+ 2 |
= |
0,1 |
2 |
3 |
—6 |
4* — у — 52 |
-j- 4 =0.) |
||
1.261. Найти угол между указанными прямыми:
х — 3 __ у + 2 __ г |
дг + 2 __ у — 3 __ 2 + 5 . |
||||||
' “ |
31 |
|
V2 ’ |
' |
|
1 “ |
’ |
0v j3x — 4у — 22 |
|
=0, |
/4х + у — 6г — 2 =0, |
|
|||
•■Ч2х+ у - 2 г + 1=0, |
I |
у — 32 -2 = 0. |
|
||||
(Ответ-: ]) |
<р= 60°; |
2) |
coscp= 98/195, |
ф = 59°48/.) |
|||
1.262. Доказать, |
что прямые |
* |
|
и |
|||
-* р 1- — у |
11 — Z~|~~ |
пересекаются. |
Найти их |
точку |
|||
пересечения. {Ответ: (3, —3, —2).)
1.263. Найти проекцию точки А (5, 2, — 1) на плоскость 2х — у + Зг + 23 = 0. {Ответ: (1,4, -7).)
139